任務(wù)驅(qū)動，引導(dǎo)學(xué)生思維不斷向前伸展
——“多邊形的內(nèi)角和”教學(xué)實錄和反思

◇嚴育洪

任務(wù)驅(qū)動，引導(dǎo)學(xué)生思維不斷向前伸展
——“多邊形的內(nèi)角和”教學(xué)實錄和反思

◇嚴育洪

“多邊形的內(nèi)角和”是蘇教版數(shù)學(xué)四年級下冊“綜合與實踐”領(lǐng)域的內(nèi)容，屬于規(guī)律探索類課型。教材安排這一實踐活動的價值不是僅僅得出一個結(jié)論，而是重在讓學(xué)生經(jīng)歷規(guī)律探索的過程與方法，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，發(fā)展學(xué)生的思維。

一 任務(wù)驅(qū)動：由“十六邊形的內(nèi)角和”開場

師：三角形有幾個內(nèi)角？

生：3個。

師：四邊形有幾個內(nèi)角？

生：4個。

師：十六邊形有幾個內(nèi)角？

生：16個。

師：我們已經(jīng)知道，三角形的內(nèi)角和是180°，那誰知道十六邊形的內(nèi)角和是多少度？

（學(xué)生面面相覷）

師：要研究十六邊形的內(nèi)角和，我們可以從幾邊形的內(nèi)角和開始想起？

生：三邊形。

【反思】由三角形的內(nèi)角和突然提出十六邊形的內(nèi)角和問題，學(xué)生無法一下子獲得結(jié)果，于是這一問題就成了一個懸念，也成了學(xué)生迫切想解決的問題，驅(qū)動學(xué)生自覺進行由簡單到復(fù)雜的研究。

二 任務(wù)重心：從“四邊形的內(nèi)角和”展開

（一）喚醒。

師：（出示三角尺）三角尺有什么用？

生：可以用來畫三角形。

生：可以用來測量直角。

生：可以用相同的三角尺拼出平行四邊形、長方形、三角形。

師：是的，我拿的這個三角尺是個特殊的直角三角形，它的內(nèi)角和是多少度？

生：這個直角三角形的內(nèi)角和是180°。

(如圖1演示)

師：這個三角形特殊嗎？它的內(nèi)角和是多少度？

圖1

生：它是等腰三角形，內(nèi)角和還是180°。

（如圖2演示）

師：現(xiàn)在我們看到的是一般三角形，它的內(nèi)角和是多少度？

圖2

生：不管是什么三角形，內(nèi)角和都是180°。

【反思】最簡單的多邊形是“三邊形”，也就是三角形，所以“三角形內(nèi)角和”是“多邊形內(nèi)角和”的知識起點。另外，兩個完全一樣的三角形可以拼成一個特殊的四邊形，這一活動經(jīng)驗也可以成為學(xué)生探究四邊形內(nèi)角和的生長點，進而發(fā)現(xiàn)多邊形都可以分割成三角形來研究內(nèi)角和。

（二）攻關(guān)。

1.長方形的內(nèi)角和。

師：從三角形的內(nèi)角和，你想到了什么？

生：想到了四邊形、五邊形、六邊形……的內(nèi)角和。

師：你覺得四邊形的內(nèi)角和會是多少度？

生：我想三角形3個內(nèi)角的和是180°，180°除以3，每個角就是60°，四邊形有4個內(nèi)角，內(nèi)角和就是 60°×4=240°。

生：我覺得可能是360°。

師：你為什么覺得是360°？

生：正方形和長方形的內(nèi)角和是90°×4=360°，由此我猜想四邊形的內(nèi)角和都是360°。

師：這個同學(xué)的探究思路很好，他先從特殊的想起，然后進行大膽的猜想。好，現(xiàn)在他的問題是其他四邊形的內(nèi)角和是不是360°，我們繼續(xù)研究。

2.直角梯形的內(nèi)角和。

（如圖3演示，師給出能用三角尺量角的特殊直角梯形）

圖3

師：要求這個直角梯形的內(nèi)角和，我們需要知道另外兩個角的度數(shù)。有量角器的同學(xué)可以量一量，沒有量角器的同學(xué)可以用三角尺試著拼一拼。

[學(xué)生測量。反饋時，教師特別展示采用拼三角尺測量的學(xué)生的作品（如圖4和圖5），得到這個梯形的內(nèi)角和是 90°+90°+120°+60°=360°]

圖4

圖5

師：像圖4這樣拼，如果把三角尺拿掉，會留下一條線段，恰好把這個梯形分成了2個三角形（如圖6）?？戳诉@張分割圖，如果不量，你能看出這個梯形的內(nèi)角和是多少度嗎？

圖6

生：可以，它分成了2個三角形，所以它的內(nèi)角和是 180°×2=360°。

師：這樣分呢？（如圖7）

圖7

生：分成了1個長方形和1個三角形，360°+180°=540°……（喃喃自語）怎么多了 180°？

師：是啊，怎么多了 180°？

生：我知道，把這個梯形分成1個長方形和一個三角形后，多出來2個直角，這2個直角不是梯形的內(nèi)角（如圖8），所以要減去180°。

圖8

（觀察這些圖形分割后的情況，如圖9）

圖9

師：你覺得哪種分割方法便于計算呢？分的時候有什么訣竅？

我國城市馬拉松與國外相比起步比較晚，美國波士頓馬拉松開始于1897年，是全球首個城市馬拉松比賽，中國最早開展馬拉松的城市北京成功舉辦首屆馬拉松在1981年比美國晚了100多年。還有人們觀念的滯后，越來越重的生活壓力迫使人們把精力過多的放在了經(jīng)濟條件的改善方面，忽視了對身體和精神的充實。隨著時代的發(fā)展、人們觀念的更新，國家對體育越來越重視，同時也看到了體育給國民帶來的好處，馬拉松作為城市發(fā)展的一個載體，越來越受到有識之士的關(guān)注。國內(nèi)各個城市國內(nèi)有條件的城市可以加強有馬拉松比賽經(jīng)驗城市的交流與合作，充分利用城市資源積極籌辦馬拉松賽。

生：都分成三角形，這樣算起來比較方便。

生：分的時候要連接頂點。

3.一般四邊形的內(nèi)角和。

師：我們現(xiàn)在已經(jīng)知道長方形、直角梯形這些特殊四邊形的內(nèi)角和是360°，那么，是不是任意四邊形的內(nèi)角和都是360°呢？

（學(xué)生畫任意四邊形進行研究，發(fā)現(xiàn)四邊形的內(nèi)角和都是360°。在展示一個學(xué)生以下作品時，如圖10，有同學(xué)提出還可以連接這個圖形上面的2個頂點，如圖11?！敖Y(jié)果不可能是0°??！”學(xué)生紛紛感到困惑。對這一生成，教師這樣應(yīng)對：“第二個同學(xué)的添補法，在計算內(nèi)角和時，問題出在哪兒呢？大家不妨課后研究?！保?/p>

圖10

圖11

【反思】對四邊形的內(nèi)角和，學(xué)生產(chǎn)生了兩種想法。為了判斷哪個是正確的，接下來的研究便成了學(xué)生的自覺行為，也就是說，繼而開展的教學(xué)活動成了學(xué)生的內(nèi)在需要。在探究活動的設(shè)計中，教師利用一個能夠采用三角尺量角的特殊梯形，一方面量出了角的度數(shù)，從而算出四邊形的內(nèi)角和；另一方面在不同擺拼三角尺的方法中巧妙地留下了痕跡，引出分割線，啟發(fā)學(xué)生根據(jù)分割成的已知內(nèi)角和的圖形直接得到梯形的內(nèi)角和，進而從特殊到一般自然地引向任意四邊形內(nèi)角和的研究。在各種分割方法的比較中，學(xué)生清楚地發(fā)現(xiàn)便于計算的分割方法。對生成問題的處理，由于時間關(guān)系，留作課后研究，讓學(xué)生帶著問題走出課堂。

三 任務(wù)推進：向“多邊形的內(nèi)角和”攀登

師：我們已經(jīng)知道四邊形內(nèi)角和為360°，順著這樣的結(jié)果，如果我們接著猜想，下一個你會想到什么？

生：我會想到五邊形的內(nèi)角和。

生：嚴老師，我才不上您的當呢。五邊形內(nèi)角和應(yīng)該是540°，因為它可以分成3個三角形。

（生在黑板上畫了1個五邊形，然后把它分成了3個三角形）

師：那其他五邊形是不是這樣呢？大家要不要畫畫看看？

生：不畫也能想得出來，五邊形內(nèi)角和就是540°。

師：好，我們接下來該研究誰的內(nèi)角和了？

生：（齊）六邊形的內(nèi)角和。

生：（發(fā)現(xiàn)新大陸似的）嚴老師，六邊形內(nèi)角和才是720°呢！因為它可以分成4個三角形，180°×4=720°。

師：是這樣嗎？

生：（齊）是！

（突然有一個學(xué)生在黑板上畫了這樣1個七邊形，如圖12。在其他學(xué)生從七邊形內(nèi)部分割成5個三角形（如圖 13）算出 180°×5=900°后，這個學(xué)生在七邊形外部進行了這樣的頂點連接，如圖14，“狡猾”地對大家提出了這樣一個問題：“這樣連接該怎么算呢？”學(xué)生傻了眼，竊竊私語。終于有一個學(xué)生說：“我感覺這個問題同前面那個留到課后研究的問題是一樣的。”同學(xué)們表示認同）

圖12

圖13

圖14

師：嗯，確實是這樣。這個問題也留給大家課后研究。

師：到現(xiàn)在你能完成課一開始提出的“十六邊形的內(nèi)角和”這個任務(wù)了嗎？也就是十六邊形的內(nèi)角和該怎么算？

生：16-2=14，180°×14。

師：你是怎么想到16減2的？

生：其實，這里面是有規(guī)律的……

[教師根據(jù)該生的回答呈現(xiàn)下面的表格，概括出：多邊形的內(nèi)角和=（邊數(shù)-2）×180°]

【反思】在學(xué)生研究循序漸進進入五邊形內(nèi)角和時，教師換了一種教學(xué)方式，故意設(shè)置陷阱，旨在檢驗學(xué)生是否會主動調(diào)用已有學(xué)習(xí)經(jīng)驗。面對五邊形時，學(xué)生大多能夠脫離實物通過表象操作獲得正確的答案。接下來，從六邊形內(nèi)角和直接跳到十六邊形內(nèi)角和，旨在檢驗學(xué)生是否已經(jīng)意識到這些數(shù)據(jù)之間存在著一定關(guān)聯(lián)，促使學(xué)生通過尋找規(guī)律來解決問題。

四 任務(wù)延伸：為“多邊形的外角和”鋪墊

（一）回顧。

師：回顧剛才探究多邊形內(nèi)角和的過程，我們首先是從幾邊形開始研究的？

生：從四邊形開始的。

師：如果把以前學(xué)過的知識包括在內(nèi)，那么整個探究從哪里開始？

生：從三角形開始。

（板書：從簡單到復(fù)雜）

師：我們在探究四邊形的內(nèi)角和的時候，又是從什么情況開始想的？

生：從特殊的長方形開始。

（板書：從特殊到一般）

（二）展望。

師：是的，從簡單到復(fù)雜、從特殊到一般是常用的探究思路。另外，在探究過程中，由此及彼也是常用的思考方法，例如由三角形的內(nèi)角和想到四邊形、五邊形等多邊形的內(nèi)角和。你能從多邊形的“內(nèi)”角和想到什么呢？

生：可以想到多邊形有沒有外角和。

生：嚴老師，多邊形的外角是什么意思呀？

師：問得好！多邊形有沒有外角？如果有，多邊形的外角和會是怎樣的呢？這些問題將在中學(xué)數(shù)學(xué)中研究。

【反思】一堂課的結(jié)束，并不意味著知識的結(jié)束，也并不意味著學(xué)習(xí)的結(jié)束。要使學(xué)生保持探究的熱情，就要讓我們的教學(xué)有“問題”。本節(jié)課中，至少有兩個遺留問題：第一個是課中生成的凹多邊形內(nèi)角和問題，第二個是課終聯(lián)想到的多邊形外角和問題。從近期看，讓學(xué)生帶著問題走出課堂，從遠期看，又讓學(xué)生帶著問題走進中學(xué)。

（作者單位：江蘇無錫市錫山教師進修學(xué)校）