航天器相對運動地面動力學(xué)實驗研究

齊 彧，孫 俊，師 鵬，趙育善，*

航天器相對運動地面動力學(xué)實驗研究

齊 彧1，孫 俊2，3，師 鵬1，趙育善1，*

（1.北京航空航天大學(xué)宇航學(xué)院，北京100083； 2.上海航天控制技術(shù)研究所，上海200233；3.上海市空間智能控制技術(shù)實驗室，上海200233）

研究了航天器相對運動地面動力學(xué)實驗的構(gòu)建問題及實驗結(jié)果的可信性問題。首先利用相似性理論紿出了航天器相對運動地面動力學(xué)實驗的建立方法，而后針對地面實驗環(huán)境與空間真實環(huán)境之間的力學(xué)環(huán)境差異提出補償辦法，之后針對航天器相對運動地面動力學(xué)實驗中的干擾因素迸行分析并紿出相應(yīng)的補償策略，然后利用動力學(xué)等效性建立航天器相對運動地面動力學(xué)實驗控制策略，該控制策略中包括力學(xué)差異補償以及實驗環(huán)境干擾補償，數(shù)值仿真結(jié)果與地面實驗結(jié)果均證明該控制策略能夠滿足地面實驗要求，最后以相似性理論為依托建立相似性度量函數(shù)，并利用這一函數(shù)證明了航天器相對運動地面實驗結(jié)果的可信性。仿真結(jié)果表明，紿出的航天器相對運動地面動力學(xué)實驗方案可行，其實驗結(jié)果可信，對地面實驗的開展具有重要的參考價值。

相對運動；動力學(xué)實驗；相似性；可信度；線性二次型最優(yōu)控制

隨著空間科技的不斷發(fā)展，航天任務(wù)復(fù)雜度逐漸增高，越來越多的航天器需要在空間中完成一系列的復(fù)雜操作從而完成既定的航天任務(wù)。為了確保航天任務(wù)的順利進行與開展，幾乎所有的航天器在發(fā)射之前均需進行大量的地面實驗從而確保空間任務(wù)的順利開展，這些實驗包括材料強度實驗、機構(gòu)驗證實驗、電子電路實驗等［1-4］。與數(shù)值仿真實驗相比，直接利用地面實驗設(shè)備建立地面動力學(xué)實物實驗，對于驗證航天器控制系統(tǒng)方案設(shè)計的正確性以及檢驗實際控制系統(tǒng)的功能等方面具有不可替代的驗證作用［5］。

本文首先利用相似性理論給出真實空間環(huán)境中大尺度、長時間的航天器相對運動過程與地面實驗環(huán)境中小尺度、短時間相對運動動力學(xué)實驗之間的相似性對應(yīng)關(guān)系，而后利用地面實驗設(shè)備補償?shù)孛鎸嶒灜h(huán)境與空間真實環(huán)境之間的動力學(xué)差異，然后對于地面實驗環(huán)境中的干擾力進行詳細的分析與建模，并利用相似對應(yīng)關(guān)系給出航天器相對運動地面實驗的控制策略，最后建立相似性度量函數(shù)從而證明航天器相對運動地面動力學(xué)實驗結(jié)果的可信性。

1 相似性理論

相似性理論是一種通過研究個別現(xiàn)象，從而推知所有與之相似現(xiàn)象特點的科學(xué)研究方法。隨著科技水平的不斷提高，相似性理論的研究取得了很多成果，但是其主要集中于材料、結(jié)構(gòu)、機構(gòu)以及航天員訓(xùn)練［6-7］等方面，在航天器的動力學(xué)問題上應(yīng)用至今為止非常少。何兆偉等［8］提出利用相似性理論建立航天器地面實驗，但是并沒有解決地面實驗結(jié)果的可信度問題。利用地面實驗的方法模擬航天器在空間環(huán)境中的運動不僅能夠更加直觀地觀察航天器的運行狀況，也能夠提前對于航天器的運動規(guī)律有所了解。

相似性理論的基礎(chǔ)是相似三定理［9］，通過相似三定理可以建立實驗系統(tǒng)的相似準(zhǔn)則，從而得到系統(tǒng)原型與實驗?zāi)Ｐ椭g的對應(yīng)關(guān)系。對于一般的航天器相對運動動力學(xué)過程，描述動力學(xué)系統(tǒng)的變量如表1所示。

表1 航天器相對運動地面動力學(xué)實驗量綱列表Tab le 1 Dim ensions for spacecraft relative m otion’s ground-based astrodynam ical experim ent

通過表1可以發(fā)現(xiàn)航天器相對運動地面動力學(xué)實驗中基本量綱為：質(zhì)量［M］、長度［L］、時間［T］。相應(yīng)的，動力學(xué)實驗過程中任意物理量A的量綱均可以由式（1）表示。

式中：β、γ、η稱為量綱指數(shù)。由π定理可知，所有完整的關(guān)系式都可以通過無量綱化從而得到相似準(zhǔn)則［10］。對于航天器動力學(xué)實驗而言，共有14個物理量，其中無量綱物理量1個，基本量綱數(shù)量為3，故可以導(dǎo)出11個無量綱數(shù)如式（2）所示。

式中：πi為無量綱數(shù)。由相似三定理可知，通過無量綱數(shù)可以導(dǎo)出航天器相對運動過程中各變量在空間運動原型與地面實驗?zāi)Ｐ烷g的比例因子要求，該比例因子要求如式（3）所示。

式中：λA為對應(yīng)于物理量A的比例因子。其物理意義為航天器相對運動過程中該物理量與地面動力學(xué)實驗過程中該物理量的比值。滿足式（3）的地面實驗?zāi)Ｐ涂梢哉J為與空間中航天器的相對運動完全相似。通過式（3）可以得知，在航天器相對運動地面動力學(xué)實驗中只需確定質(zhì)量比例因子λm、周期比例因子λP以及位置比例因子λr即可求得地面實驗過程中所有比例因子的值，從而確定地面實驗?zāi)Ｐ团c空間相對運動之間的對應(yīng)關(guān)系。相似性理論可以將空間中的大尺度運動縮小到地面實驗環(huán)境中的小尺度運動，而不改變其運動規(guī)律，即地面實驗中的運動規(guī)律完全對應(yīng)于空間中航天器的真實相對運動。

2 航天器相對運動地面動力學(xué)實驗建立

相似性理論能夠建立航天器相對運動地面動力學(xué)實驗與航天器空間真實相對運動之間的相似對應(yīng)關(guān)系，進而指導(dǎo)地面實驗方案的建立。但是地面實驗環(huán)境與空間環(huán)境存在動力學(xué)條件上的差異，這種不同主要表現(xiàn)在地面重力環(huán)境與空間微重力環(huán)境之間的重力差異以及地面?zhèn)詫嶒灜h(huán)境與空間非債性力學(xué)環(huán)境間的債性力差異，在建立航天器相對運動地面動力學(xué)實驗的過程中主要體現(xiàn)為動力學(xué)方程上的差異。

2．1 力學(xué)環(huán)境構(gòu)建

如何利用地面實驗設(shè)備消除航天器相對運動地面動力學(xué)實驗與空間相對運動之間的力學(xué)環(huán)境差異是地面實驗開始之前必須解決的問題。在一般性的動力學(xué)實驗中，需要利用實驗設(shè)備模擬系統(tǒng)原型的力學(xué)環(huán)境，進而使得實驗?zāi)Ｐ团c系統(tǒng)原型之間滿足力學(xué)相似條件。對于航天器相對運動地面動力學(xué)實驗而言，需要利用地面實驗設(shè)備做到以下兩點，方能使得航天器相對運動地面動力學(xué)實驗與空間航天器真實相對運動之間滿足動力學(xué)相似：①平衡衛(wèi)星模擬器重力，建立微重力環(huán)境；②施加額外作用力以補償債性力。

在此利用氣浮平臺系統(tǒng)建立航天器相對運動地面動力學(xué)實驗。圖1為實驗過程中使用的氣浮平臺系統(tǒng)實物圖，該實驗系統(tǒng)主要由大理石實驗平臺以及衛(wèi)星模擬器兩部分組成。

實驗過程中衛(wèi)星模擬器通過平面氣浮軸承懸浮于大理石實驗平臺上，為航天器相對運動地面動力學(xué)實驗提供理想的微重力實驗環(huán)境［11］。同時衛(wèi)星模擬器能夠通過噴射氣瓶中的壓縮氣體實現(xiàn)對空間中航天器債性力的補償。需要特別指出的是該套地面實驗設(shè)備的最長實驗時間為30m in，這在一定程度上限制了周期比例因子的選擇，同時氣浮平臺尺寸為5m×8m，這在一定程度上限制了位置比例因子的選擇。

圖1 氣浮平臺實驗系統(tǒng)Fig.1 Air-floating testbed employed for experiment

2．2 航天器相對運動動力學(xué)方程

航天器相對運動動力學(xué)方程建立在目標(biāo)航天器軌道坐標(biāo)系中，該坐標(biāo)系原點在目標(biāo)航天器質(zhì)心，z軸指向地球球心；x軸在軌道平面內(nèi)，垂直于地心與目標(biāo)航天器質(zhì)心連線，向前；y軸垂直于軌道平面，向右。該相對運動方程最早由Hill提出故也被稱為Hill方程［12］，其適用范圍要求目標(biāo)航天器在圓軌道或近圓軌道上運動，且不考慮攝動。在航天器相對運動過程中，兩航天器的相對距離相對于其軌道高度非常小，兩航天器所受到的攝動力如非球形引力攝動、第三體引力攝動、太陽光壓攝動和大氣引力攝動等大小和方向都基本相同，在得到相對運動方程時兩者相減可以抵消。在不考慮攝動的情況下，相對運動方程的具體表達式為［13-14］

式中：xr、yr、zr為主動航天器在目標(biāo)航天器軌道坐標(biāo)系中的相對位置；ω為目標(biāo)航天器的軌道角速度；arx、ary、arz為主動航天器控制加速度在目標(biāo)航天器軌道坐標(biāo)系3個軸上的分量。

為了便于區(qū)分空間相對運動與航天器相對運動地面動力學(xué)實驗過程中的各個變量，本文中下標(biāo)r代表空間中航天器相對運動的變量，下標(biāo) t代表航天器相對運動地面動力學(xué)實驗過程的變量。為表述方便將式（4）改寫成矩陣形式，得到式（5）所示的航天器相對運動方程：

式（5）所示方程即為描述航天器相對運動的動力學(xué)方程。在航天器相對運動地面動力學(xué)實驗中，需要在地面實驗環(huán)境下建立與式（5）滿足相似關(guān)系的動力學(xué)實驗。

2．3 航天器相對運動地面動力學(xué)實驗動力學(xué)方程

對于航天器相對運動地面動力學(xué)實驗而言，其衛(wèi)星模擬器的運動與其所受到的作用力之間的關(guān)系滿足經(jīng)典的牛頓力學(xué)關(guān)系，為了與式（5）對應(yīng)，將地面實驗動力學(xué)方程寫成

式中：

式中：Xt為衛(wèi)星模擬器的狀態(tài)；Ut為衛(wèi)星模擬器所受到的控制加速度。

由于地面實驗時間與實驗尺寸受到實驗環(huán)境的限制，故需要利用位置比例因子與周期比例因子建立真實空間中長時間、大尺度的空間相對運動與地面實驗環(huán)境中的短時間、小尺度的地面實驗體運動之間的對應(yīng)關(guān)系，進而得到

式中：

為了能夠在地面環(huán)境下建立航天器相對運動地觀動力學(xué)實驗，需要在實驗環(huán)境中建立與空間相似的力學(xué)環(huán)境，故將式（6）改寫成

式中：

式（8）即為航天器相對運動地面動力學(xué)實驗的動力學(xué)方程，式（8）中等號右邊第1項代表航天器相對運動方程的地面實驗過程，第2項代表地面實驗過程中模擬空間航天器相對運動所需施加的主動控制力，第3項是為了模擬空間中航天器所受債性力而施加的補償加速度。

對比式（5）與式（8），可以發(fā)現(xiàn)式（8）的前兩項與式（5）滿足相似關(guān)系，這是航天器相對運動地面動力學(xué)實驗?zāi)軌蜷_展的前提。兩式的區(qū)別在于式（8）的最后一項，該項即為地面實驗中債性環(huán)境與空間非債性環(huán)境之間差異的體現(xiàn)，故在航天器相對運動地面動力學(xué)實驗中，需要施加債性力補償?shù)窒剑?）中最后一項的影響。

3 地面實驗環(huán)境干擾因素分析

第2節(jié)給出利用氣浮平臺系統(tǒng)建立與空間真實相對運動動力學(xué)相似的地面實驗方法。然而由于氣浮平臺系統(tǒng)在實驗過程中，不可避免地受到各種干擾因素的影響，這些干擾使得地面實驗結(jié)果與空間相對運動之間的相似性對應(yīng)關(guān)系受到影響，進而影響地面實驗結(jié)果的可信度。本節(jié)將會針對氣浮平臺系統(tǒng)各個干擾因素進行詳細的分析，并建立主要干擾力的動力學(xué)模型，從而為建立航天器相對運動地面動力學(xué)實驗中的補償系統(tǒng)打下基礎(chǔ)。

3．1 實驗環(huán)境干擾力

地面實驗環(huán)境干擾力應(yīng)在航天器相對運動地面動力學(xué)實驗開始前予以考慮，例如將氣浮平臺系統(tǒng)安放于建有隔震地基的地面上以減小地面震動帶來的干擾；實驗過程中須保證實驗場所密閉以減少空氣流動以及實驗環(huán)境溫度、濕度變化引起的干擾。上述手段能夠?qū)嶒灜h(huán)境干擾控制在一定范圍內(nèi)。對于航天器相對運動地面動力學(xué)實驗而言，實驗環(huán)境干擾力的影響基本可以忽略。

3．2 側(cè)向干擾力

氣浮平臺系統(tǒng)的側(cè)向干擾力主要來源于兩方面：一是大理石氣浮平臺臺面的粗糙度引起的摩擦阻力，二是大理石氣浮平臺臺面的水平度引起的側(cè)向干擾力［15］。本文所使用的氣浮平臺系統(tǒng)工作時，平面氣浮軸承與大理石平臺之間的氣膜厚度約為15μm，測量結(jié)果顯示平臺粗糙度最大誤差3.10μm，小于氣膜厚度，故可以認為衛(wèi)星模擬器與氣浮平臺之間不會存在摩擦力。

在航天器相對運動地面動力學(xué)實驗開始之前，需要對氣浮平臺進行調(diào)平，從而確保實驗平臺的水平從而減小側(cè)向干擾力的影響。如果實驗平臺的平面并非完全水平，則衛(wèi)星模擬器在自身重力作用下會產(chǎn)生如圖2所示的側(cè)向干擾力fL。圖中：mt為地面實驗衛(wèi)星模擬器質(zhì)量；g為重力常數(shù)；αt為平臺傾角。

圖2 氣浮平臺側(cè)向干擾力示意圖Fig.2 Schematic diagram for lateral disturbance force of air-floating testbed

本文中所使用的氣浮平臺采用兩個輔助支撐點支撐，3個主動支撐點用螺紋機構(gòu)調(diào)節(jié)平臺水平，經(jīng)電子水平儀校準(zhǔn)后平臺傾角小于10μm／m。

3．3 氣體黏性靡擦阻力

在衛(wèi)星模擬器運動時，平面氣浮軸承與氣浮平臺之間存在一層氣膜，由于氣體具有黏性，則運動時必然受到氣膜的黏性摩擦阻力，其表達式為

式中：μ為動力黏度，本實驗系統(tǒng)使用壓縮空氣，黏度值為18.448×10-6Pa·s；Af為平面氣浮軸承面積，其值為0.004m2；vt為衛(wèi)星模擬器運動速度，一般情況下，要求衛(wèi)星模擬器在氣浮平臺上的運動速度vt＜5 cm／s；h為平面氣浮軸承與氣浮平臺之間的氣膜厚度。

3．4 迎風(fēng)阻力

衛(wèi)星模擬器在運動的過程中，將受到迎風(fēng)阻力的影響，迎風(fēng)阻力的表達式為

式中：ρ為空氣密度，其值為1.205 kg／m3；As為衛(wèi)星模擬器的迎風(fēng)面積，經(jīng)實驗測得該套地面實驗系統(tǒng)所用衛(wèi)星模擬器迎風(fēng)面積為0.26m2；Cd為空氣阻力系數(shù)，其值為0.48。

3．5 冷氣推力誤差

在航天器相對運動地面動力學(xué)實驗中，衛(wèi)星模擬器需要利用自身冷氣推力系統(tǒng)模擬空間中航天器的控制力，與此同時，該冷氣推力系統(tǒng)也用于補償債性力。由于冷氣推力系統(tǒng)的控制閥門存在一定的時延現(xiàn)象，故需要對冷氣推力系統(tǒng)的推力偏差進行分析。圖3為冷氣推力系統(tǒng)提供100mN推力情況下的實測推力以及仿真推力的變化圖。實驗過程中，在100ms時給定冷氣推力系統(tǒng)持續(xù)500ms的開啟指令，并要求冷氣推力系統(tǒng)輸出100mN的額定推力。

圖3 冷氣推力系統(tǒng)實驗與仿真結(jié)果Fig.3 Experiment and simulation results of gas propellant system

由于冷氣推力系統(tǒng)是通過電磁閥門控制氣體流動從而產(chǎn)生氣體推力的推進系統(tǒng)，故在使用過程中電磁閥門的開啟與關(guān)閉均會產(chǎn)生一定的延時，同時從電磁閥門動作到氣體充滿管路并產(chǎn)生推力也會經(jīng)過一定的時間?？紤]上述影響因素，本文采用延時環(huán)節(jié)加債性環(huán)節(jié)來模擬冷氣推力系統(tǒng)的工作過程，其中電磁閥門延時可以取電磁閥門標(biāo)定動作時間10ms，債性環(huán)節(jié)時間常數(shù)τ通過實驗方法測得其值為18.5ms。從圖3中可以看到，利用前述方法建立的仿真推力與實測推力符合較好。

4 航天器相對運動地面動力學(xué)實驗控制

航天器在空間運行的過程中會受到各種攝動力的影響，從而對相對運動構(gòu)型造成影響。一般情況下，需采用閉環(huán)反饋控制保證航天器相對運動構(gòu)型的穩(wěn)定。對于航天器相對運動地面動力學(xué)實驗而言，地面實驗環(huán)境亦存在諸多干擾因素，需要建立一種實時反饋控制以保證地面實驗結(jié)果的正確性。

本節(jié)將利用線性二次型最優(yōu)控制理論建立空間中真實航天器的控制策略，而后利用動力學(xué)相似準(zhǔn)則建立航天器相對運動地面動力學(xué)實驗的控制策略，并給出針對地面實驗干擾力的補償策略。

4．1 真實航天器相對運動控制策略

假設(shè)在真實空間中，理想情況下航天器的相對運動狀態(tài)為

實際情況下航天器的相對運動狀態(tài)為

將式（13）與式（12）分別代入式（5）并相減后得到

式中：

進而得到控制系統(tǒng)的控制方框圖如圖4所示。圖中：fs代表航天器相對運動過程中各種攝動力的影響；K為反饋增益矩陣，對于控制系統(tǒng)而言反饋增益矩陣 K是決定控制系統(tǒng)性能的關(guān)鍵參數(shù)。在此利用二次型最優(yōu)控制算法求解反饋增益矩陣K。

圖4 控制系統(tǒng)方框圖Fig.4 Control system block diagram

最優(yōu)控制問題中有一類被稱為線性二次型最優(yōu)控制問題，即LQR問題。該問題可以描述為：對于式（14）所示的系統(tǒng)，設(shè)計控制律使得如下二次型連續(xù)時間代價函數(shù)最小［16］。

式中：半正定對稱矩陣 Q代表跟蹤誤差加權(quán)矩陣；正定對稱矩陣R代表控制矩陣。線性系統(tǒng)的LQR控制律的設(shè)計步驟如下：首先求解式（16）所示的黎卡提方程式，得到矩陣P，若正定矩陣P存在，則表示系統(tǒng)是穩(wěn)定的［17］。

求解黎卡提方程后，可以得到其對應(yīng)的系統(tǒng)反饋增益矩陣：

最后得到作用于主動航天器的控制加速度。

4．2 航天器相對運動地面動力學(xué)實驗控制策略

航天器相對運動地面動力學(xué)實驗?zāi)康脑谟诮⑴c空間航天器相對運動滿足動力學(xué)相似的地面實驗，故地面實驗中所使用的控制策略與控制方法必須與空間中航天器所采用的控制方法相同。

在航天器相對運動地面動力學(xué)實驗中，衛(wèi)星模擬器所受到的作用力主要有兩種：第1種作用力是地面實驗環(huán)境所帶來干擾力，包括前述的環(huán)境干擾力Fe、側(cè)向干擾力fL、氣體黏性摩擦阻力Fμ以及迎風(fēng)阻力Fd；第2種是衛(wèi)星模擬器上冷氣推力系統(tǒng)提供的推力，冷氣推力系統(tǒng)是衛(wèi)星模擬器主動控制力的唯一來源，在航天器相對運動地面動力學(xué)實驗中冷氣推力系統(tǒng)需要對實驗體施加3種作用力。

1）地面實驗控制力

首先，冷氣推力系統(tǒng)需要提供相對運動實驗的控制力，為了保證航天器相對運動地面動力學(xué)實驗與空間真實相對運動的動力學(xué)相似性關(guān)系，地面實驗系統(tǒng)需要使用與空間相對運動完全相似的控制策略，故航天器相對運動地面動力學(xué)實驗過程中的控制加速度為

由式（19）可以看到，地面實驗所使用的控制策略與空間真實相對運動的控制策略完全相同。

2）地面實驗債性補償力

由于航天器地面實驗與空間真實相對運動之間存在動力學(xué)差異，故需要冷氣推力系統(tǒng)對債性力進行補償。

由式（8）可知，所需的債性補償力為

3）地面實驗干擾補償力

冷氣推力系統(tǒng)還需要對地面實驗環(huán)境中的部分干擾力進行補償。對干擾力的補償是所有地面動力學(xué)實驗的難點，這是由于干擾力作用形式復(fù)雜、不易計算與測量，故其補償難度較大，補償精度較低。本文所考慮的4種干擾力中，環(huán)境干擾力Fe與側(cè)向干擾力fL均為實驗環(huán)境中固有的干擾力，在實驗過程中干擾力的大小與方向均呈現(xiàn)隨機變化，實驗過程中無法計算與測量，故無法對其進行相應(yīng)的補償，只能在實驗開始之前加以考慮，減小其對地面實驗的影響。氣體黏性摩擦阻力Fμ以及迎風(fēng)阻力Fd都是由于衛(wèi)星模擬器在氣浮平臺上運動產(chǎn)生的阻力，故可以通過冷氣推力系統(tǒng)進行補償，相應(yīng)的氣體黏性摩擦阻力的補償力Ftμ以及迎風(fēng)阻力的補償力Ftd的表達式分別為

式中：Lv為速度轉(zhuǎn)換矩陣，其具體表達式為

在建立了航天器相對運動地面動力學(xué)實驗中所需要控制力及各種補償力的模型之后，可以建立航天器相對運動地面動力學(xué)實驗的控制系統(tǒng)方框圖，如圖5所示。從圖中可以看出，地面實驗控制系統(tǒng)需要補償衛(wèi)星模擬器的債性力以及地面實驗中的部分干擾力，并提供與空間相對運動滿足動力學(xué)相似關(guān)系的控制力，這些作用力均是通過冷氣推力系統(tǒng)加以實現(xiàn)的。假設(shè)航天器相對運動地面動力學(xué)實驗中，補償力能夠精確補償衛(wèi)星模擬器所受到的干擾力，則地面實驗控制系統(tǒng)與航天器相對運動的控制系統(tǒng)滿足動力學(xué)相似關(guān)系。然而由于地面實驗環(huán)境中的干擾往往無法做到精確補償，加之地面實驗所使用的冷氣推力系統(tǒng)不可避免地存在時延現(xiàn)象，故航天器相對運動地面動力學(xué)實驗結(jié)果不可能與空間真實相對運動滿足完全相似的對應(yīng)關(guān)系。

圖5 航天器相對運動地面動力學(xué)實驗控制系統(tǒng)方框圖Fig.5 Control system block diagram for ground-based astrodynamical experiment for spacecraft relative motion

5 航天器相對運動地面動力學(xué)實驗結(jié)果

本節(jié)以空間航天器相對運動為系統(tǒng)原型，建立航天器相對運動地面動力學(xué)實驗系統(tǒng)模型，而后利用數(shù)值仿真技術(shù)模擬地面動力學(xué)實驗結(jié)果并與真實地面實驗結(jié)果進行對照，最后建立航天器相對運動地面動力學(xué)實驗的相似性度量函數(shù)，并利用這一函數(shù)證明地面實驗結(jié)果的可信性。由文獻［18］可知，在無外力作用的情況下，式（5）存在式（23）所示的解析解。

在設(shè)計航天器相對運動構(gòu)型時，為避免航天器相對運動的發(fā)散，令式（23）中長期項為零，得到

將式（24）代入式（23），從而獲得穩(wěn)定的相對運動規(guī)律：

從式（25）中可以看到，滿足式（24）要求的航天器在相對運動過程中，x方向的運動距離與速度均為z方向的2倍［19］，故航天器在xz平面上的相對運動軌跡投影為偏心率e＝0.866的封閉橢圓。由于y方向上的運動是簡諧振動且與x、z方向上的運動解耦。故在地面實驗中可以不考慮y方向的運動，僅對xz平面上的運動進行模擬。如果航天器的初始條件進一步滿足式（26），則橢圓的中心為目標(biāo)航天器。

利用上述推導(dǎo)可以設(shè)計滿足長期穩(wěn)定性要求的橢圓繞飛軌跡。表2給出的理想初始狀態(tài)對應(yīng)的相對運動軌跡為xz平面內(nèi)半長軸為50m、偏心率為0.866的封閉橢圓。

在航天器相對運動的過程中，主動航天器初始狀態(tài)可能不滿足編隊構(gòu)型的需求。假設(shè)初始時刻航天器為表2中實際初始狀態(tài)，則需要利用航天器控制系統(tǒng)能夠快速完成對初始狀態(tài)誤差的修正，從而完成相應(yīng)的航天器相對運動任務(wù)。

下面將以表2中的航天器相對運動為例，利用第1節(jié)和第2節(jié)相似性理論結(jié)合現(xiàn)有的地面實驗設(shè)備建立航天器相對運動地面動力學(xué)實驗方案。

表2 航天器相對運動初始參數(shù)列表Tab le 2 Initial param eter list for spacecraft relative m otion

5．1 實驗方案

使用圖1所示的氣浮平臺系統(tǒng)建立航天器相對運動地面動力學(xué)實驗方案，該實驗系統(tǒng)的詳細參數(shù)如表3所示。

表3 航天器相對運動地面動力學(xué)實驗系統(tǒng)參數(shù)列表Table 3 Param eter list for ground-based astrodynam ical experim ent system for spacecraft relative motion

考慮表2中航天器相對運動軌跡其最大距離為半長軸的2倍，同時完成橢圓相對運動軌跡需要的時間為一個軌道周期，對比表3中的實驗環(huán)境參數(shù)，在實驗過程中需預(yù)留0.5 m的安全余量以及5min的實驗準(zhǔn)備時間，進而得到該實驗的位置比例因子與周期比例因子：

在得到位置比例因子與周期比例因子后，可以建立相應(yīng)的航天器相對運動地面動力學(xué)實驗方案。假設(shè)地面動力學(xué)實驗中的等效偏差狀態(tài)為

地面實驗中控制系統(tǒng)參數(shù)為

利用數(shù)值仿真方法可以得到理想情況下航天器相對運動地面動力學(xué)實驗中衛(wèi)星模擬器的運行軌跡如圖6中虛線所示。從圖6中實驗軌跡以及仿真軌跡均可以看出，前述控制方法能夠有效地控制航天器相對運動軌跡，快速消除初始誤差對于航天器相對運動的影響。仿真結(jié)果顯示衛(wèi)星模擬器最大運行速度為26.3mm／s，地面實驗中最大運行速度為25.8 mm／s，滿足地面實驗系統(tǒng)中對于衛(wèi)星模擬器最大速度的要求。數(shù)值仿真的計算結(jié)果可以被認為是理想情況下地面實驗的實驗結(jié)果。

所謂的理想情況是指地面實驗中各種干擾力均被精確補償，從而不會對航天器相對運動地面動力學(xué)實驗結(jié)果產(chǎn)生影響，這與數(shù)值仿真的假設(shè)條件完全相同，故將數(shù)值仿真結(jié)果作為理想情況下的地面實驗是合理的。數(shù)值仿真及地面實驗中的衛(wèi)星模擬器位置偏差、速度偏差以及所需的控制加速度如圖7所示。從圖7中數(shù)值仿真部分可以看到，衛(wèi)星模擬器在控制系統(tǒng)的作用下，50 s時其位置偏差小于1 cm，速度偏差小于1mm／s，控制結(jié)果收斂。為便于觀察，圖7中僅截取前70 s的仿真計算結(jié)果。由圖7中控制加速度可知，該航天器相對運動地面動力學(xué)實驗方案所需的最大加速度發(fā)生在初始時刻，這是由于初始時刻的狀態(tài)偏差最大，故需要施加的控制加速度也最大。實際上地面實驗系統(tǒng)的冷氣推力系統(tǒng)需要為衛(wèi)星模擬器提供控制力以及債性補償力，故其變化規(guī)律與實驗所需的控制加速度之間并不滿足正比關(guān)系，但是相比于控制力，各種補償所需的推力很小，故冷氣系統(tǒng)與控制加速度變化規(guī)律基本一致。

圖6 航天器相對運動地面動力學(xué)實驗結(jié)果及數(shù)值仿真Fig.6 Experimental result and numerical simulation of spacecraft relative motion’s ground-based astrodynamical experiment

圖7 地面實驗結(jié)果與數(shù)值仿真結(jié)果的偏差及控制力變化Fig.7 Result errors and control forces of spacecraft relativemotion’s ground-based astrodynamical experiment and numerical simulation

從圖7中地面實驗冷氣推力系統(tǒng)推力變化可以看到，航天器相對運動地面動力學(xué)實驗所需最大冷氣推力為2.41 N，小于冷氣推力系統(tǒng)能夠提供的最大推力，故該地面實驗方案可行。

在真實的地面實驗環(huán)境中，衛(wèi)星模擬器會受到各種干擾因素的影響?，F(xiàn)有的航天器相對運動地面動力學(xué)實驗中雖然引入了干擾力補償系統(tǒng)，但是無法做到對各種干擾力的精確補償。進而導(dǎo)致真實地面實驗結(jié)果與理想地面實驗結(jié)果之間產(chǎn)生差異。圖8為真實地面實驗結(jié)果與理想地面實驗結(jié)果之間的差異變化圖，為了與圖7相對應(yīng)，圖8中同樣只僅給出前70 s的差異變化。

圖8中位置誤差、速度誤差以及控制加速度誤差均為地面實驗實際結(jié)果與理想地面實驗結(jié)果之間的誤差。實驗過程中最大位置誤差2.8 cm，最大速度誤差7 mm／s?？梢钥吹秸鎸嵉孛鎸嶒炦^程中衛(wèi)星模擬器位置與速度均與理想情況下的實驗結(jié)果偏差不大，由此也再次證明了該航天器相對運動地面動力學(xué)實驗方案的可行性。圖8中衛(wèi)星模擬器位置、速度以及加速度誤差，主要來源于實驗過程中各種干擾力的作用，同時由于實驗觀測設(shè)備精度所限，也會產(chǎn)生一部分觀測誤差。

圖8 航天器動力學(xué)實驗結(jié)果誤差Fig.8 Error of spacecraft relative motion’s ground-based astrodynamical experiment result

5．2 實驗結(jié)果可信性分析

雖然在控制系統(tǒng)的作用下，地面實驗軌跡收斂于理想軌跡，但是由于航天器相對運動地面動力學(xué)實驗中，很多干擾因力的作用呈現(xiàn)隨機性，故地面實驗過程中的誤差不會收斂，需要不斷利用控制系統(tǒng)修正這一部分誤差，故而地面實驗結(jié)果可信度如何是地面實驗結(jié)果分析的關(guān)鍵。對于航天器相對運動地面動力學(xué)實驗而言，本文建立一種相似性度量函數(shù)，用于衡量地面實驗結(jié)果滿足相似性要求的程度，從而證明地面實驗結(jié)果的可信性。度量地面實驗結(jié)果的可信程度，實際上就是量化地面實驗?zāi)Ｐ团c空間真實相對運動之間的相似性差異。差異越小，則地面實驗與空間真實運動之間的相似度越高，進而地面實驗過程越貼近真實情況，相應(yīng)的地面實驗結(jié)果的可信度越高。在此利用比例因子坐標(biāo)系中地面實驗?zāi)Ｐ团c空間真實運動之間的距離函數(shù)作為相似性度量函數(shù)衡量地面實驗的相似性程度。其表達式為

式中：t0為地面實驗的開始時間；tf為地面實驗的結(jié)束時間；t為當(dāng)前實驗時間；n為實驗中測量狀態(tài)的個數(shù)；Si為t時刻第i個狀態(tài)變量理想情況下的比例因子值；λi（t）為t時刻實驗過程中第i個狀態(tài)變量的比例因子值。式（30）的物理意義如圖9所示。為便于理解，圖9中僅取位置比例因子與速度比例因子加以說明。

圖9 比例因子坐標(biāo)系視圖Fig.9 Coordinate system of scaling factors

在圖9所示的比例因子坐標(biāo)系中，與航天器真實相對運動完全相似的理想地面實驗其比例因子為常值，對應(yīng)圖9中的點S0。然而真實地面實驗結(jié)果無法滿足完全相似這一條件，故其比例因子不再是一個固定的點，而是變成了一條隨時間變化的曲線，即圖9中的Se（t）。圖9中的d（t）代表t時刻航天器相對運動地面動力學(xué)實驗與理想地面實驗之間比例因子坐標(biāo)系中的“距離”，這一“距離”可以用來衡量t時刻地面實驗滿足相似性的程度，相似性程度越高則“距離”越小。對時間t進行積分即得到式（30）所示的相似性度量函數(shù)，這一函數(shù)可以反映出整個航天器相對運動地面動力學(xué)實驗與空間真實運動之間的相似性程度。如果地面實驗過程與空間真實運動滿足完全相似關(guān)系，則Se（t）不隨時間變化且與S0重合，對應(yīng)的相似性度量函數(shù)的值為零。換而言之，航天器相對運動地面動力學(xué)實驗的相似性度量函數(shù)值越大則其與航天器空間真實相對運動情況的相似性越差，對應(yīng)的其實驗結(jié)果可信性越低。

航天器相對運動地面動力學(xué)實驗中，需要對衛(wèi)星模擬器的位置［xt，zt］與速度［vxt，vzt］共4個狀態(tài)變量進行測量。在建立相似性度量函數(shù)時，可以選用極坐標(biāo)代替直角坐標(biāo)，這是由于極坐標(biāo)中的4個狀態(tài)量均具有不同的量綱，能夠綜合地反映出航天器相對運動地面動力學(xué)實驗的相似性程度。極坐標(biāo)下狀態(tài)變量與直角坐標(biāo)下狀態(tài)變量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為

對應(yīng)的，采用極坐標(biāo)的航天器相對運動地面動力學(xué)實驗的相似性度量函數(shù)為

式（32）綜合衡量了航天器相對運動地面動力學(xué)實驗中的位置比例因子、角度比例因子、速度比例因子以及角速度比例因子的偏差，能夠綜合地評定地面實驗結(jié)果與空間真實運動之間的相似性程度。需要注意的是，該相似性度量函數(shù)沒有單位，但是其具有明確的物理意義。經(jīng)過計算，得到在表2所給出的地面實驗系統(tǒng)內(nèi)，其實驗結(jié)果的相似性度量函數(shù)值為3.57×10-6，由此可見該航天器相對運動地面動力學(xué)實驗的相似性程度較高，其結(jié)果可信度也較高。

假設(shè)地面實驗結(jié)果與數(shù)值仿真結(jié)果之間誤差為最大測量誤差，則對應(yīng)的地面實驗結(jié)果的相似性度量函數(shù)值為

式中：λAmax（t）代表t時刻完全相似模型由最大測量誤差所引起的物理量 A的比例因子偏差。式（33）物理意義表征滿足動力學(xué)相似條件的航天器相對運動地面動力學(xué)實驗所得到的最大相似性度量函數(shù)值，故可以認為小于這一值的地面實驗均為可信的。利用表2中的測量誤差可以得到Qmax的值為2.73×10-3。對比航天器相對運動地面動力學(xué)實驗的相似性度量函數(shù)值Q與Qmax，可以認為航天器相對運動地面動力學(xué)實驗與航天器空間相對運動運動之間相似性關(guān)系滿足較好，故地面實驗結(jié)果可信。

6 結(jié) 論

1）建立了航天器相對運動地面動力學(xué)實驗方案，該實驗方案考慮了實驗環(huán)境及實驗設(shè)備對于實驗過程的限制，得到的實驗方案具有可行性。

2）分析了航天器相對運動地面動力學(xué)實驗過程中的干擾力，建立了干擾力的數(shù)學(xué)模型，并提出了相應(yīng)的補償措施。

3）建立了航天器相對運動地面動力學(xué)實驗控制策略，該策略能夠有效控制地面實驗過程，實驗過程位置誤差優(yōu)于2.5 cm，速度誤差優(yōu)于1.97mm／s。

4）利用相似性理論建立了航天器相對運動地面動力學(xué)實驗結(jié)果可信性分析流程，并得到地面實驗結(jié)果的可信性分析結(jié)果。

本文所建立的實驗結(jié)果可信性分析流程同樣適用于其他航天器地面實驗結(jié)果的分析。

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Tel.：010-82339286

E-mail：15811425613＠163.com

趙育善 男，博士，教授，博士生導(dǎo)師。主要研究方向：航天器軌道動力學(xué)。

Tel.：010-82317339

E-mail：yszhao＠buaa.edu.cn

Research for ground-based astrodynam ical experim ent for spacecra ft relative m otion

QIYu1，SUN Jun2，3，SHIPeng1，ZHAO Yushan1，*

（1.School of Astronautics，Beijing University of Aeronautics and Astronautics，Beijing 100083，China；2.Shanghai Aerospace Control Technology Institute，Shanghai200233，China；3.Shanghai Key Laboratory of Aerospace Intelligent Control Technology，Shanghai 200233，China）

This paper proposes a method to build the spacecraft relative motion’s ground-based astrodynamical experiment and figures out an approach to prove the reliability of ground-based experimental results. First，the spacecraft relative motion’s ground-based astrodynamical experiment is carried out with the help of similarity theory，then the compensation method for making up the dynamical difference between space environment and experimental environment，after that the dynamical model of experimental disturbances is given for further counteract.Second，an experimental controlmethod similar to space control system is designed for controlling the relative motion and compensating the inertia forces，and both the numerical simulation and experimental results show the effectiveness of control system.Finally，a similarity function used for measuring the sim ilarity degree of experimental result will be helpful in proving the reliability of spacecraft relative motion’s ground-based astrodynamical experiment.According to the results of simulation，the experimental scheme is available and reliable.This method is help ful for the development of ground-based astrodynam ical experiment.

relative motion；astrodynam ical experiment；similitude；reliability；linear quadratic optimal control

2015-09-26；Accep ted：2015-10-23；Pub lished online：2015-10-29 10：21

s：National Natural Science Foundation of China（11572019）；Spacecraft Innovation Foundation of Shanghai（SAST2015078）*Correspond ing au thor.Tel.：010-82317339 E-mail：yszhao＠buaa.edu.cn

V416.2

A

1001-5965（2016）10-2118-12

齊彧 男，博士研究生。主要研究方向：航天器地面實驗、航天器姿軌控制。

http：∥bhxb.buaa.edu.cn jbuaa＠buaa.edu.cn

DO I：10.13700／j.bh.1001-5965.2015.0637

2015-09-26；錄用日期：2015-10-23；網(wǎng)絡(luò)出版時間：2015-10-29 10：21

www.cnki.net／kcms／detail／11.2625.V.20151029.1021.001.htm l

國家自然科學(xué)基金（11572019）；上海航天創(chuàng)新基金（SAST2015078）

*通訊作者：Tel.：010-82317339 E-mail：yszhao＠buaa.edu.cn

齊彧，孫俊，師鵬，等.航天器相對運動地面動力學(xué)實驗研究［J］.北京航空航天大學(xué)學(xué)報，2016，42（10）：2118-2129. QIY，SUN J，SHIP，et al.Research for ground-based astrodynamical experiment for spacecraft relative motion［J］.Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics，2016，42（10）：2118-2129（in Chinese）.

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