永磁同步電動機的隨機位置控制

方四明

(皓泰投資集團有限責任公司，新疆克拉瑪依　834000)

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永磁同步電動機的隨機位置控制

方四明

(皓泰投資集團有限責任公司，新疆克拉瑪依834000)

摘要：通過在相電壓和外部負載中分別加入維納過程和馬爾科夫過程，建立考慮隨機干擾量影響的永磁同步電動機動態(tài)模型。以轉(zhuǎn)子位移、轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速和三相相電流為狀態(tài)，研究轉(zhuǎn)子位移的隨機跟蹤問題。基于建立的動態(tài)模型，考慮馬爾科夫跳變參數(shù)的隨機反步控制技術,設計了實現(xiàn)轉(zhuǎn)子位移跟蹤的隨機反饋控制器。對建立的動態(tài)模型和設計的隨機反饋控制器組成的閉環(huán)系統(tǒng)進行穩(wěn)定性分析。分析結果表明，閉環(huán)系統(tǒng)有唯一解，且位置跟蹤誤差的L4范數(shù)可依概率被調(diào)節(jié)到原點任意小的鄰域。

關鍵詞：永磁同步電動機；反步法；馬爾可夫過程

永磁同步電動機具有高效率、高功率因數(shù)的特點，近年來其控制問題獲得了廣泛研究[1-10]。文獻[11]用非線性控制方法研究了帶有隨機扭矩估計的永磁同步電動機控制問題。文獻[12]設計了永磁同步伺服電動機的自適應模糊滑模控制器。文獻[13]設計了永磁同步電動機的混合速度控制器。以上結果均是在理想條件下給出的，即電壓是穩(wěn)定的且外部負載為常數(shù)。本文則考慮了更為實際的情況，即電壓中帶有隨機干擾且外部負載隨機切換。

本文的研究目標是設計隨機反步控制器[14]，使得永磁同步電動機在具有隨機干擾的情況下完成位置跟蹤。首先，通過自適應反步控制技術和選擇合適的參數(shù)，使得永磁同步電動機在有外部隨機干擾的情況下能夠依概率跟蹤一個n階連續(xù)可導的有界信號，且跟蹤誤差可被調(diào)節(jié)到任意小。其次，通過在原有動態(tài)模型電壓中加入維納過程[15]、在外部負載中加入馬爾可夫過程[16]，建立更為實際的永磁同步電動機動態(tài)模型。

1數(shù)學準備

帶有馬爾可夫跳變參數(shù)的隨機非線性系統(tǒng)

dx(t)=f(x(t),t,r(t))dt+g(x(t),t,r(t))dW(t),

由文獻[17], 對任意的t>0,有

∫0t∫R[φ(x(s),r(s)+h(r(s),θ))-φ(x(s),r(s))]μ(ds,dθ)，

(1)

式中：μ(ds,dθ)=v(ds,dθ)-m(dθ)ds是鞅測度。

設τ1,τ2是有界停時，見幾乎處處滿足0≤τ1≤τ2，且φ(x,t,r)和Lφ(x,t,r)在t∈[τ1,τ2]上幾乎處處有界，對式(1)兩邊取期望,得

(2)

對于一個二次連續(xù)函數(shù)Ψ:R→R，通過式(1)可得

鄧肯公式為

因為馬爾科夫過程是不可約的, 滿足一個唯一的穩(wěn)態(tài)分布π=(π1,…,πN)，這個穩(wěn)態(tài)分布可以解如下方程得到：

(3)

假設r(0)滿足π分布, 由文獻[18]，

假設對任意的t≥0,f和g在x∈Rn上是局部Lipschitz的, 即對任意的R>0,存在常數(shù)CR≥0,使得

|f(x1,t,r)-f(x2,t,r)|+|g(x1,t,r)-g(x2,t,r) |F≤CR|x1-x2|，

對任意 (t,r)∈R+和(x1,x2)∈UR={ξ:|ξ|≤R}成立。

定義[17]：稱隨機過程x(t)是依概率有界的,如果隨機變量x(t)關于t依概率一致有界, 即

引理1：對于系統(tǒng)(2)，F(xiàn)和G滿足局部Lipschitz條件。對任意的l>0,定義

ηl=inf{t:t≥t0,|ξ(t)|≥l}，

式中ηl為首遇時。

假設存在正定函數(shù)V(ξ)∈C2和參數(shù)d,D≥0, 滿足

那么對任意的ξ(t0)=ξ0∈Rn和r(t0)=i0∈S,系統(tǒng)(2)存在唯一的解ξ(t)=ξ(ξ0,i0;t,r)。

引理2：假設系統(tǒng)(2)在t∈[t0,∞)上幾乎必然有唯一的解, 且存在正定函數(shù)V∈C2(Rn×S)和常數(shù)dc>0滿足EV(ξ,r)≤dc和式(3)。那么, 對任意的ξ0∈Rn和i0∈S, 系統(tǒng)(2)的解依概率有界。

2問題描述和控制器設計

式中：ia、ib和ic為相電流；Ls和Rs分別為狀態(tài)電感和電阻；θr為轉(zhuǎn)子位置；ωr為轉(zhuǎn)子速度；λf為永磁磁通；Va、Vb和Vc分別為相電壓；δ1、δ2和δ3為參數(shù)；W1、W2和W3是獨立標準維納過程。由文獻[3],轉(zhuǎn)子速度和位置的狀態(tài)空間描述可寫為

dθr=ωr，

定義一個新的變換

通過選取

可得如下關聯(lián)系統(tǒng)：

φ3(x1)dW,

(4)

接下來,在系統(tǒng)(4)的基礎之上設計backstepping控制器。

引入誤差變量

(5)

(6)

式中x1*=θr*。

由式(4)～(6)得

de1=(e2+α1)dt。

(7)

選取李亞普諾夫函數(shù)

由式(6)和(7)得

通過選取

可得

引入

(8)

由式(4)(6)和(8)可得

∫0t∫R(e2(s,r(s)+h(r(s),θ))-e2(s,r(s)))μ(ds,dθ)。

(9)

考慮李亞普諾夫函數(shù)

(10)

由式(8)～(10)得

(11)

設計可鎮(zhèn)定函數(shù)為

(12)

將式(12)代入式(11)

(13)

由(4)和(8)可得

(14)

選取李亞普諾夫函數(shù)

(15)

由式(13)～(15)得

通過選擇

可得

(16)

引入

(17)

(18)

由式(4)(17)(18)得

(19)

(20)

考慮李亞普諾夫函數(shù)

(21)

由式(16)(19)～(21)得

通過選取u2和u3為

可得

(22)

由式(22)，令V=V4，得

(23)

3穩(wěn)定性分析

通過選取合適的設計參數(shù), 不等式右側可任意小。

證明：引入Ξ(t,r(t))=Ξ(e1(t),e2(t,r(t)),e3(t,r(t)),e4(t),e5(t))。對l>0，定義首遇時ηl=inf{t:t≥t0,|Ξ(t,r(t))|≥l}。令tl=ηl∧t,對任意的t≥t0成立。因為Ξ

進而可得

(24)

由式(24)可得

(25)

由引理1， V=Vn和式(25)，對任意初始值，閉環(huán)系統(tǒng)存在唯一的解。進而由(24)得

令l→∞可得

進而可得

EV(Ξ)≤dV,

由引理2得，閉環(huán)系統(tǒng)的解對任意的Ξ0∈Rn和i0∈S依概率有界。而且，

進而可得

再由c=min{4c1,c2,c3,4c4,4c5}和的任意性可知，通過選取合適的參數(shù)，其右端可以調(diào)到任意小。

4結語

本文給出了永磁同步電動機更為實際的動態(tài)模型，即電壓中加入了隨機干擾、外部負載中加入了隨機跳變。通過應用隨機反步法技術，閉環(huán)系統(tǒng)存在一個依概率有界的唯一解，且跟蹤誤差的L-范數(shù)可依概率被調(diào)節(jié)到原點任意小的鄰域。本論文尚未對所設計的隨機反饋控制器進行數(shù)值仿真與實驗驗證，這將作為我們后續(xù)的工作。

參考文獻：

[1]王宏,于泳,徐殿國.永磁同步電動機位置伺服系統(tǒng)[J].中國電機工程學報,2004,24(7):151-155.

WANG Hong，YU Yong，XU Dianguo.The servo system of synchronous motor position[J].Proceedings of the CSEE，2004，24(7):151-155.

[2]任海鵬,劉丁,李潔.永磁同步電動機中混沌運動的延遲反饋控制[J].中國電機工程學報,2003,23(6):175-178.

REN Haipeng，LIU Ding，LI Jie.The delay feedback control of the chaotic motion of synchronous motor[J].Proceedings of the CSEE,2003，23(6)，175-178.

[3]王江,李韜,曾啟明.基于觀測器的永磁同步電動機微分代數(shù)非線性控制[J].中國電機工程學報,2005,25(2):87-92.

WANG Jiang，LI Tao，ZENG Qiming.Observer based differential algebra control of synchronous motor[J].Proceedings of the CSEE，2005，25(2):87-92.

[4]王家軍,趙光軸,齊冬蓮.反推式控制在永磁同步電動機速度跟蹤控制中的應用[J].中國電機工程學報,2004,24(8):95-98.

WANG Jiajun，ZHAO Guangzhou，QI Donglian.The application of backstepping control in speed tracking control of synchronous motor[J].Proceedings of the CSEE，2004,24(8):95-98.

[5]王江,王靜,費向陽.永磁同步電動機的非線性PI速度控制[J].中國電機工程學報,2005,25(7):125-130.

WANG Jiang，WANG Jing，F(xiàn)EI Xiangyang.Nonlinear PI speed control of synchronous motor[J].Proceedings of the CSEE，2005,25(7):125-130.

[6]李長紅,陳明俊,吳小役.PMSM調(diào)速系統(tǒng)中最大轉(zhuǎn)矩電流比控制方法的研究[J].中國電機工程學報,2005,25(21):169-174.

LI Changhong，CHEN Mingjun，WU Xiaoyi. The research of peak torque current ratio control in PMSM speed regulation system[J].Proceedings of the CSEE，2005,25(21):169-174.

[7]方斯琛,周波,黃佳佳.滑模控制永磁同步電動機調(diào)速系統(tǒng)[J].電工技術學報,2008,23(8):29-35.

FANG Sichen，ZHOU Bo，HUANG Jiajia.Sliding mode control of synchronous motor speed regulation system[J].Transactions of China Electrotechnical Society，2008,23(8):29-35.

[8]劉棟良,崔言飛,趙曉丹,等.基于反推控制的永磁同步電動機速度的模糊控制[J].電工技術學報,2014,29(11):38-44.

LIU Dongliang，CUI Yanfei，ZHAO Xiaodan，et al.Backstepping based fuzzy speed control of synchronous motor[J].Transactions of China Electrotechnical Society，2014,29(11):38-44.

[9]孫丹,賀益康,智大為.基于模糊邏輯的永磁同步電動機直接轉(zhuǎn)矩控制[J].電工技術學報,2003,18(1):33-38.

SUN Dan，HE Yikang，ZHI Dawei.Fuzzy logical based direct torque control of synchronous motor[J].Transactions of China Electrotechnical Society，2014,18(1):38-44.

[10]曹先慶,朱建光,唐任遠.基于模糊神經(jīng)網(wǎng)絡的永磁同步電動機矢量控制系統(tǒng)[J].中國電機工程學報,2006,26(1):137-141.

CAO Xiangqing，ZHU Jianguang，TANG Renyuan.Fuzzy neural network based vector control system of synchronous motor[J].Proceedings of the CSEE，2006,26(1):137-141.

[11]VALLA M I，SOLSONA J，MURAVCHIK C.Nonlinear control of a permanent magnet synchronous motor with disturbancetorque estimation[J].IEEE Transactions on Energy Conversion,2000,15(2):163-168.

[12]LIN F J， CHIU S L.Adaptive fuzzy sliding-mode controlfor pm synchronous servo motor drives[J].IEEE Proceeding Control Theory and Applications，1998,145(1):63-72.

[13]ELMAS C，USTUN O.A hybrid controller for the speedcontrol of a permanent magnet synchronous motor drive[J].Control Engineering Practice，2008,16(3):260-270.

[14]譚小彬，奚宏生，董安磊.一類隨機線性系統(tǒng)的魯棒自適應非線性控制設計[J].中國科學技術大學學報，2001,31(1):105-111.

TAN Xiaobin，XI Hongsheng，DONG Anlei.Robust adaptive nonlinear control design of a class of stochastic linear system[J].Journal of University of Science and Technology of China，2001,31(1):105-111.

[15]厲海濤，金光，周經(jīng)倫,等.動量輪維納過程退化建模與壽命預測[J].航空動力學報，2011,26(3):622-627.

LI Haitao，JIN Guang，ZHOU Jinglun，et al.Momentum wheelwiner process degeneration modeling and life prediction[J].Journal of Air Power，2011,26(3): 622-627.

[16]施政，朱琦.基于馬爾科夫過程的異構網(wǎng)絡性能分析與優(yōu)化[J].電子與信息學報，2012,34(9):2224-2229.

SHI Zheng，ZHU Qi.Markovian based heterogeneous network performance analysis and optimization[J].Journal of Elec-tronics and Information，2012,34(9): 2224-2229.

[17]SKOROHOD A V.Asymptotic Methods in the theory of stochastic differential equations[M].American ,Providence RI:American MathematicalSociety，1989.

[18]KHASMINSKII R Z.Stochastic stability of differential equations[M].Rockville，Maryland:S & N International Publisher,1980.

(責任編輯：郎偉鋒)

收稿日期：2015-11-26

作者簡介：方四明(1973—)，男，安徽石臺人，工程師，黨委書記兼執(zhí)行董事，主要研究方向為電機設計與控制,E-mail:htfsm@163.com.

DOI：10.3969/j.issn.1672-0032.2016.02.016

中圖分類號：TM341

文獻標志碼：A

文章編號：1672-0032(2016)02-0085-09

Stochastic Position Control for Permanent Magnet Synchronous Motor

FANGSiming

(HaotaiInvestmentGroupLtd.,Co.,Karamay834000,China)

Abstract:By adding the Wiener process and the Markov process in the phase voltage and external load, a dynamic model of the permanent magnet synchronous motor in the influence of the random disturbance is established. In the condition of the rotor position, rotor speed and tri-phase current, the problem of the random tracing of the rotor displacement is discussed. Based on the established model and the random backstepping control technology in the condition of Markovian Jumping Parameters, the random feedback controller to implement the rotor displacement tracking is designed. The stability of the closed-loop system which is made up of the established dynamic model and the random feedback controller is analyzed. The analytical results show that the closed-loop system has the unique solution and the L4-norm of the tracing error can converge to an arbitrarily small neighborhood of the origin in probability.

Key words:permanent magnet synchronous motor; back stepping; Markov process.