立體幾何中的探索開放型的解法

◇　山東　王世雙(特級教師)

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重點(diǎn)輔導(dǎo)

立體幾何中的探索開放型的解法

◇山東王世雙(特級教師)

所謂探索開放型題是相對于有明確條件和明確結(jié)論的封閉型問題而言的．開放型問題在立體幾何的試題中常見的形式有以下幾種.

1結(jié)論探索型

給出條件,沒有給出明確結(jié)論(或者結(jié)論不唯一)的問題,需要解題者探索出結(jié)論,并加以證明.

圖1

(1) 證明:PB⊥面DEF. 試判斷四面體DBEF是否為鱉臑,若是,寫出其每個面的直角(只需寫出結(jié)論);若不是,說明理由;

因為PD=CD,點(diǎn)E是PC的中點(diǎn),所以DE⊥PC.而PC∩BC=C,所以DE⊥平面PBC. 而PB?平面PBC,所以PB⊥DE.

又PB⊥EF,DE∩EF=E,所以PB⊥平面DEF.由DE⊥平面PBC,PB⊥平面DEF,可知四面體BDEF的4個面都是直角三角形,即四面體BDEF是一個鱉臑,其4個面的直角分別為∠DEB、∠DEF、∠EFB、∠DFB.

圖2

(2) 如圖2所示,在面PBC內(nèi),延長BC與FE交于點(diǎn)G,則DG是平面DEF與平面ABCD的交線. 由(1)知,PB⊥平面DEF,所以PB⊥DG.

又因為PD⊥底面ABCD,所以PD⊥DG. 而PD∩PB=P,所以DG⊥平面PBD.故∠BDF是面DEF與面ABCD所成二面角的平面角.

圖3

解法2坐標(biāo)法.

又已知EF⊥PB,而DE∩EF=E,所以PB⊥平面DEF.

2條件探究型

給出結(jié)論,沒有給出條件的問題,要解題者分析出應(yīng)具備的條件,并加以證明.

圖4

3“是否存在”型

此種題型的解法常常從最簡單、最特殊的情況出發(fā)．有時也可借助直覺觀察或判斷,推測出命題的結(jié)論,必要時給出嚴(yán)格證明;有時需逆向思維尋找思路．

圖5

(1) 證明:PF⊥FD;

(2) 判斷并說明PA上是否存在點(diǎn)G,使得EG∥平面PFD;

(3) 若PB與平面ABCD所成的角為45°,求二面角A-PD-F的余弦值.

圖6

又PA⊥平面ABCD,所以DF⊥PA.又PA∩AF=A,所以DF⊥平面PAF,又PF?平面PAF，所以DF⊥PF.

圖7

(3) 因為PA⊥平面ABCD,所以∠PBA是PB與平面ABCD所成的角,即∠PBA=45°，故PA=AB=1.如圖7所示，取AD的中點(diǎn)M,則FM⊥AD,FM⊥平面PAD,在平面PAD中,過M作MN⊥PD于N,連接FN,則PD⊥平面FMN,則∠MNF即為二面角A-PD-F的平面角.

探索型問題取材廣泛,形式活潑,涵蓋知識面廣,解題方法靈活,需要同學(xué)們在觀察、猜想、推理、論證、總結(jié)、歸納、實踐、創(chuàng)新等方面多加強(qiáng)練習(xí),從而提升數(shù)學(xué)能力．

(作者單位：山東省淄博第五中學(xué))