近幾年北京高考?jí)狠S題分類賞析與求解策略

◇　北京　呂大軍　王芝平(特級(jí)教師)

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難點(diǎn)挑戰(zhàn)

近幾年北京高考?jí)狠S題分類賞析與求解策略

◇北京呂大軍王芝平(特級(jí)教師)

新課標(biāo)高考以來(lái),北京數(shù)學(xué)卷整體設(shè)計(jì)更加平實(shí)大氣,不糾纏于細(xì)枝末節(jié),對(duì)數(shù)學(xué)思維考查的比例較大,題型簡(jiǎn)潔清新,形成了北京卷試題獨(dú)有的風(fēng)格和魅力.特別是各題型的壓軸題背景新穎、內(nèi)涵豐富,而其解法具有質(zhì)樸、思想深刻等特點(diǎn),注重考查考生抽象概括能力、推理論證能力、數(shù)據(jù)處理能力及分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.特別是第20題跳出了以往 “偏、難、怪”和無(wú)人問(wèn)津的怪圈,既有非常好的選拔功能，又為中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)指明了方向.下面分類賞析.

1分類賞析

1.1回歸數(shù)學(xué)概念,考查知識(shí)遷移

圖1

A5;B7;C9;D11

本題考查閱讀理解、抽象建模、提取代數(shù)表達(dá)式幾何意義及動(dòng)手操作能力.

圖2

圖3

1.2注重動(dòng)態(tài)變化,考查操作能力

在考題中通過(guò)創(chuàng)建動(dòng)態(tài)的情景,增強(qiáng)了問(wèn)題的操作性、趣味性,體現(xiàn)了“在玩中學(xué)、在學(xué)中思、在思中得”的理念,因而成為試卷中一道靚麗的風(fēng)景線.

A{9,10,11}；B{9,10,12}；

C{9,11,12}；D{10,11,12}

圖4

賞析此題以“整點(diǎn)”問(wèn)題為背景,通過(guò)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)知識(shí)考查了數(shù)形結(jié)合與分類討論思想，以及考生的自主探索能力，實(shí)踐操作能力，觀察、歸納、猜想的能力,能很好的甄別考生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng).如圖4,雖然C、D是動(dòng)點(diǎn),但它們卻在直線y=4上,且CD=4.易知四邊形ABCD是平行四邊形.其內(nèi)部的整點(diǎn)都在直線y=k(k=1,2,3)落在四邊形ABCD內(nèi)部的線段上,因?yàn)檫@樣的線段長(zhǎng)度總等于4,所以每條線段上的整點(diǎn)有3或4個(gè).所以9≤N(t)≤12.再根據(jù)不同取值進(jìn)行討論:

當(dāng)t=0時(shí),N(t)=9;當(dāng)0

圖5

賞析本題主要考查函數(shù)的周期性、圖象與零點(diǎn)等基礎(chǔ)知識(shí),但主要考查考生在整個(gè)動(dòng)態(tài)環(huán)境中對(duì)問(wèn)題的辨析和精確描述的能力.

答案: 4; π+1.

1.3突出閱讀理解,考查知識(shí)應(yīng)用

近年高考試卷中適當(dāng)加大了應(yīng)用問(wèn)題的考查力度,創(chuàng)設(shè)了實(shí)際問(wèn)題的背景,既考查了知識(shí),又兼顧了能力,并合理控制了試題的難度.

A2;B3;C4;D5

賞析涉及一個(gè)現(xiàn)實(shí)生活中比較生動(dòng)的邏輯問(wèn)題. 學(xué)生根據(jù)對(duì)成績(jī)高低的理解,可以將“優(yōu)秀”“合格”“不合格”3個(gè)等級(jí)數(shù)字化,把問(wèn)題抽象成平面直角坐標(biāo)系中對(duì)點(diǎn)進(jìn)行排序的問(wèn)題,通過(guò)列舉的方法得到結(jié)論B.解題過(guò)程強(qiáng)調(diào)“想”而不是“算”,突出對(duì)考生理解能力與思維水平的考查.

1.4重視數(shù)學(xué)思想,考查創(chuàng)新能力

北京卷的最后一題(第20題),大都是在集合或數(shù)列的背景下附加“新定義、新運(yùn)算”的創(chuàng)新題目,目的在于考查考生對(duì)數(shù)學(xué)定義的閱讀理解、數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力、嚴(yán)密的邏輯思維和推理論證能力及綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和方法解決問(wèn)題的能力.這類問(wèn)題往往淡化解題技巧、突出對(duì)考生數(shù)學(xué)思維能力的考查,要求考生能從問(wèn)題中準(zhǔn)確提取有效信息,理解新的數(shù)學(xué)概念本質(zhì),進(jìn)行創(chuàng)造性的分析與推理.

(1) 寫出一個(gè)滿足a1=a5=0,且S(A5)>0的E數(shù)列A5.

(2) 若a1=12,n=2 000,證明:E數(shù)列An是遞增數(shù)列的充要條件是an=2 011.

(3) 對(duì)任意給定的整數(shù)n(n≥2),是否存在首項(xiàng)為0的E數(shù)列An,使得S(An)=0?若存在,寫出一個(gè)滿足條件的E數(shù)列An;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

賞析本題主要考查數(shù)列的增減性、絕對(duì)值和充要條件的概念、不等式的性質(zhì)等.解題的關(guān)鍵是理解新概念,將E數(shù)列的本質(zhì)用簡(jiǎn)要的方式闡述,并且進(jìn)行創(chuàng)造性的轉(zhuǎn)化:讓我們換個(gè)角度,以擬人的方式,直觀化、形象化、動(dòng)態(tài)化地表述并解決這個(gè)問(wèn)題.由于|ak+1-ak|=1,所以可設(shè)想有一個(gè)人從數(shù)軸上點(diǎn)A1(對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)為a1)出發(fā),沿?cái)?shù)軸走動(dòng),每次向正方向或負(fù)方向走1個(gè)單位(簡(jiǎn)稱1步).經(jīng)過(guò)k-1步走到點(diǎn)Ak(對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)為ak,允許重復(fù)過(guò)此點(diǎn))處.顯然如果在這k-1步中向正方向走了xk步,向負(fù)方向走了yk步,則ak=a1+xk-yk且xk+yk=k-1.我們就可以利用這個(gè)基本的模型,統(tǒng)一思考、循序漸進(jìn)地解決3個(gè)問(wèn)題.

綜合性較強(qiáng)的試題中也有考查基礎(chǔ)問(wèn)題的設(shè)問(wèn),題目敘述簡(jiǎn)潔、易于入手、層次分明. 這既有利于考生在試題的解答中獲得成功的體驗(yàn),又對(duì)考綱中落實(shí)基礎(chǔ)、重視全面、兼顧能力培養(yǎng)的要求有良好的導(dǎo)向作用.

(1) 若a1=6,寫出集合M的所有元素;

(2) 若集合M存在一個(gè)元素是3的倍數(shù),證明:M的所有元素都是3的倍數(shù);

(3) 求集合M的元素個(gè)數(shù)的最大值.

賞析本題是一道突出考查考生推理論證能力的好題,用到了數(shù)列和集合知識(shí),問(wèn)題的證明與求解方法多樣.第(2)問(wèn)考查了推理與證明的基本方法和整除思想.由遞推關(guān)系,若某一項(xiàng)是3的倍數(shù),那么它的后面的項(xiàng)全是3的倍數(shù),反之亦然.那么由分析法可知,自然要證明第1項(xiàng)是3 的倍數(shù)即可,恰恰是反證法發(fā)揮功能的時(shí)候.第(3)問(wèn)用帶余除法和同余理論可以較好解決;此問(wèn)還可以用窮舉的方法,同樣顯得既樸素又大氣.

(1) 對(duì)于數(shù)對(duì)序列P:(2, 5),(4, 1),求T1(P),T2(P)的值;

(2) 記m為a,b,c,d中最小的數(shù),對(duì)于由2個(gè)數(shù)對(duì)(a,b),(c,d)組成的數(shù)對(duì)序列P:(a,b),(c,d)和P′:(c,d),(a,b),試分別對(duì)m=a和m=d時(shí)比較T2(P)和T2(P′)的大小;

(3) 在由5個(gè)數(shù)對(duì)(11, 8),(5, 2),(16, 11),(11, 11),(4, 6)組成的所有數(shù)對(duì)序列中,寫出一個(gè)數(shù)對(duì)序列P使T5(P)最小,并寫出T5(P)的值(只需寫出結(jié)論).

賞析本題主要考查考生是否善于運(yùn)用特殊化、一般化、類比、歸納等合情推理方法研究問(wèn)題中的綜合創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力.第(1)問(wèn)的目的是讓考生結(jié)合簡(jiǎn)單的對(duì)象,理解題目中有關(guān)符號(hào)語(yǔ)言所表達(dá)的含義,并通過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算對(duì)問(wèn)題有初步了解. 在此基礎(chǔ)上,第(2)問(wèn)對(duì)n=2這種包含一般意義的簡(jiǎn)單情況進(jìn)行理論分析,希望考生圍繞如何使T2(P)取值達(dá)到最小進(jìn)行一些理性思考和證明.通過(guò)第(2)問(wèn)的研究得出如下感悟:要使T2(P)達(dá)到最小,要讓最小的數(shù)成為a1或b2.這一感悟?yàn)榻鉀Q一般情形的問(wèn)題提供思想上的線索. 第(3)是一個(gè)開(kāi)放性問(wèn)題,學(xué)生要對(duì)n=5時(shí)的一個(gè)具體實(shí)例進(jìn)行分析,發(fā)現(xiàn)規(guī)律解決問(wèn)題.利用第(2)問(wèn)得出的感悟,可以通過(guò)“猜測(cè)—嘗試”等推理方式進(jìn)行探索,在優(yōu)化問(wèn)題上給考生提供了多樣化的選擇. 有興趣的同學(xué)還可以構(gòu)造一個(gè)“搭積木”的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行研究.

2啟示與建議

2.1回歸基礎(chǔ),重視概念

誠(chéng)然，高考?jí)狠S題的千變?nèi)f化，但萬(wàn)變不離其宗,這個(gè)“宗”就是高中數(shù)學(xué)核心知識(shí)以及由內(nèi)容反映的數(shù)學(xué)思想方法.教師必須在自己“理解數(shù)學(xué)”的基礎(chǔ)上,努力幫助學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)基本概念及其蘊(yùn)含的思想方法,引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成運(yùn)用概念去思考和解決問(wèn)題的習(xí)慣,那么學(xué)生就會(huì)與數(shù)學(xué)“聲氣相通”,有能力識(shí)破考題的“七十二般變化”的“真身”,實(shí)現(xiàn)鳳凰涅槃、浴火重生.

2.2創(chuàng)新是方向

高考的目的之一是為高校選拔優(yōu)秀新生,特別是具有創(chuàng)新意識(shí)的學(xué)生.近年來(lái)北京卷壓軸題在對(duì)創(chuàng)新意識(shí)的考查方面表現(xiàn)的尤為突出,涌現(xiàn)出了一些構(gòu)思新穎、意境深遠(yuǎn)的命題,從不同的角度考查考生的思維水平.真正的目的是考查同學(xué)們的創(chuàng)新意識(shí)和學(xué)習(xí)潛能,考查同學(xué)們對(duì)所提供的信息,從邏輯關(guān)系上進(jìn)行整理和分析的能力以及對(duì)數(shù)據(jù)的整體把握能力.希望考生能用已學(xué)過(guò)的知識(shí)和方法,通過(guò)分析與綜合,找出已知和未知的聯(lián)系,組織和整理已有的規(guī)則,形成新的高級(jí)規(guī)則,嘗試解決新的問(wèn)題.我們認(rèn)為,今后高考命題的方向仍然是在保持穩(wěn)定的基礎(chǔ)上堅(jiān)持對(duì)創(chuàng)新意識(shí)的考查.

2.3從簡(jiǎn)單情形開(kāi)始

“千里之行,始于足下”.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不可能不遇到“難題”.當(dāng)遇到“難題”和新穎試題而一籌莫展、無(wú)從下手時(shí),不妨先把問(wèn)題簡(jiǎn)化一下,以突出其關(guān)鍵信息.特別地，把一個(gè)比較復(fù)雜的問(wèn)題“退”成最簡(jiǎn)單最原始的問(wèn)題,把這個(gè)最簡(jiǎn)單、最原始的問(wèn)題想通了、想透了,然后再歸納、綜合而實(shí)現(xiàn)飛躍,這是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)訣竅.啟發(fā)我們:解答任何一個(gè)有困難的數(shù)學(xué)問(wèn)題都應(yīng)該從簡(jiǎn)單情形開(kāi)始.

2.4要證明,也要猜想

困難問(wèn)題的解決往往都不是一帆風(fēng)順的,經(jīng)常是“猜想—驗(yàn)證—調(diào)整”的探究過(guò)程.緊緊抓住已經(jīng)考查過(guò)的簡(jiǎn)單情形,仔細(xì)觀察、反復(fù)推敲,從中發(fā)掘出盡可能多的信息與啟示.通過(guò)對(duì)特殊情形的直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納概括等合情推理,可以積累經(jīng)驗(yàn),甚至捕獲可能的解題思路,再用演繹推理論證其真?zhèn)?“大膽假設(shè),小心證明”是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要途徑. 遺憾的是,在傳統(tǒng)教學(xué)中我們偏重演繹推理而淡化了合情推理,這對(duì)思維能力的培養(yǎng)非常不利.類比與歸納雖然是似真的,但它們?cè)诎l(fā)現(xiàn)新的命題或發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的途徑、方法等方面的作用是不容忽視的.在大多數(shù)場(chǎng)合,我們尋找一個(gè)問(wèn)題的答案而未能成功的原因,是在于這樣的事實(shí),即有一些比手頭的問(wèn)題更簡(jiǎn)單、更容易的問(wèn)題沒(méi)有完全解決或是完全沒(méi)有解決.這時(shí),一切都有賴于找出這些比較容易的問(wèn)題并使用盡可能完善的方法和能夠推廣的概念來(lái)解決它們.

2.5在關(guān)注過(guò)程,領(lǐng)悟思想

一道題的解法以學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)為起點(diǎn),雖然處處有創(chuàng)新,但處處自然、和諧,處處反映出具有普適意義的、遷移能力強(qiáng)的數(shù)學(xué)思想方法對(duì)解題的引領(lǐng)作用.作為教師要在領(lǐng)悟數(shù)學(xué)知識(shí)蘊(yùn)含的思想方法上狠下功夫,并針對(duì)學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ),設(shè)計(jì)合乎情理、水到渠成的教學(xué)過(guò)程.要讓學(xué)生經(jīng)歷問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)和提出過(guò)程,概念的概括過(guò)程,結(jié)論的歸納過(guò)程,用概念解決問(wèn)題的演繹過(guò)程,努力把數(shù)學(xué)教得“精簡(jiǎn)實(shí)用,平實(shí)近人,引人入勝”.要重視引導(dǎo)學(xué)生不斷回到概念中去,使他們養(yǎng)成從基本概念出發(fā)思考問(wèn)題、解決問(wèn)題的習(xí)慣,引導(dǎo)學(xué)生注重概念的聯(lián)系性,培養(yǎng)他們從概念的聯(lián)系中尋找解決問(wèn)題新思路的能力.若果真如此,學(xué)生就有希望在面對(duì)陌生問(wèn)題而現(xiàn)有方法不合適時(shí),能用高屋建瓴的數(shù)學(xué)思想方法將未知的情境納入或轉(zhuǎn)換成可解決的問(wèn)題.

(作者單位：北京宏志中學(xué))