淺談利用導(dǎo)數(shù)解決方程問題

◇　江蘇　劉智娟

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淺談利用導(dǎo)數(shù)解決方程問題

◇江蘇劉智娟

導(dǎo)數(shù)是解決函數(shù)零點(diǎn)、最值問題的重要的工具，方程根的問題通常轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)問題處理，因此可借助導(dǎo)數(shù)來處理，下面舉例說明.

1利用導(dǎo)數(shù)判斷方程根的個(gè)數(shù)

分析判斷某區(qū)間內(nèi)方程根的個(gè)數(shù)可以轉(zhuǎn)化為判斷函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù),此時(shí)先利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性,再利用零點(diǎn)存在性定理或數(shù)形結(jié)合的思想,求出方程在區(qū)間上根的個(gè)數(shù).

當(dāng)a<0時(shí),因?yàn)閤>0,所以f′(x)>0恒成立,所以函數(shù)f(x)在(0,+∞)上是單調(diào)增函數(shù). 又因?yàn)閤→0,f(x)→-∞;x→+∞,f(x)→+∞,所以函數(shù)f(x)在(0,+∞)上有且只有1個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)a>0時(shí),令f′(x)>0,解得x>a,所以函數(shù)f(x)在(0,a)上是單調(diào)減函數(shù),在(a,+∞)上是單調(diào)增函數(shù),所以

fmin(x)=f(a)=a-alna=a(1-lna).

當(dāng)a(1-lna)>0時(shí),即0

當(dāng)a(1-lna)=0時(shí),即a=e,此時(shí)函數(shù)f(x)在(0,+∞)上有且只有1個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)a(1-lna)<0時(shí),即a>e,此時(shí)函數(shù)f(x)在(0,+∞)上有2個(gè)零點(diǎn).

解法2原方程解的個(gè)數(shù)可轉(zhuǎn)化為方程alnx=x的解的個(gè)數(shù),即g(x)=alnx的圖象與直線y=x的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù),當(dāng)a=0時(shí),原方程無正實(shí)數(shù)根.

圖1

當(dāng)a<0時(shí),2個(gè)函數(shù)的圖象有1個(gè)交點(diǎn),原方程有1個(gè)實(shí)數(shù)根(如圖1所示);當(dāng)a>0、直線y=x與g(x)=alnx相切時(shí),設(shè)切點(diǎn)為

(x0,alnx0).

圖2

當(dāng)a>e時(shí),根據(jù)函數(shù)h(x)=alnx的圖象的特征知,2個(gè)函數(shù)的圖象有2個(gè)交點(diǎn),原方程有2個(gè)實(shí)數(shù)根; 當(dāng)0

又因?yàn)閤≠1,所以h(x)在(0,1)、(1,e)上均為減函數(shù),在(e,+∞)上是增函數(shù).

圖3

當(dāng)x∈(0,1)時(shí),x→0,g(x)→+∞;x→1,g(x)→-∞, 當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),x→1,g(x)→+∞,g(e)=e,x→+∞,g(x)→+∞,(如圖3所示)

當(dāng)a>e時(shí),2個(gè)函數(shù)的圖象有2個(gè)交點(diǎn);當(dāng)a=e或a<0時(shí),2個(gè)函數(shù)的圖象有1個(gè)交點(diǎn);當(dāng)0≤a

2已知方程有解,利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)范圍

分析利用函數(shù)與方程思想,將方程在區(qū)間上有解問題,轉(zhuǎn)化為2個(gè)函數(shù)圖象有交點(diǎn),此時(shí)根據(jù)例1的3種解法,求解參數(shù)的取值范圍.

當(dāng)a≤1時(shí),因?yàn)閤∈(1,+∞),所以f′(x)>0恒成立,所以f(x)在(1,+∞)上是單調(diào)增函數(shù),所以f(x)>f(1)=1>0,f(x)=x-alnx在(1,+∞)上的圖象與x軸沒有交點(diǎn),此時(shí)方程x-alnx=0在區(qū)間(1,+∞)上無解.

解法2設(shè)函數(shù)g(x)=alnx,x∈[1,+∞)的圖象與y=x的圖象有交點(diǎn),根據(jù)例1解法2知,當(dāng)a≥e時(shí),2個(gè)函數(shù)的圖象有交點(diǎn),所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是[e,+∞).

當(dāng)已知方程在某區(qū)間上有幾個(gè)解,求參數(shù)的取值范圍,常常利用方法2,即利用函數(shù)與方程、變量分離和等價(jià)轉(zhuǎn)化,轉(zhuǎn)化為2個(gè)函數(shù)有幾個(gè)交點(diǎn),從而求出參數(shù)的取值范圍.

變式已知方程x-alnx=0在區(qū)間(1,+∞)上有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解.求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

答案: (e,+∞).

(作者單位：江蘇省大豐高級(jí)中學(xué))