以題代點(diǎn)談動(dòng)態(tài)立體幾何的解答

◇　浙江　謝晨時(shí)

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通法研究

以題代點(diǎn)談動(dòng)態(tài)立體幾何的解答

◇浙江謝晨時(shí)

近年高考命題對(duì)立體幾何知識(shí)的考查逐漸擺脫傳統(tǒng)、死板的考查形式與方法,每年的試卷上都會(huì)出現(xiàn)有特色的立體幾何試題,推出了一系列既能考查考生空間想象能力,又能考查創(chuàng)新意識(shí)的題目,讓人耳目一新.如“動(dòng)態(tài)”立體幾何問(wèn)題的考查使立體幾何命題綻放出新的活力.

圖1

A存在點(diǎn)E,使A1C1∥平面BED1F;

B存在點(diǎn)E,使B1D⊥平面BED1F;

C對(duì)于任意的點(diǎn)E, 平面A1C1D⊥平面BED1F;

D對(duì)于任意的點(diǎn)E,四棱錐B1-BED1F的體積均不變

分析本題雖為一道選擇題,但集線面平行、線面垂直、面面垂直、空間幾何體體積問(wèn)題于一身,能有效考查同學(xué)們靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力．題目中還滲透了一些“動(dòng)態(tài)”的點(diǎn)、線、面元素,給靜態(tài)的立體幾何題賦予了活力,使題意更加新穎、解法更加靈活、思維更加廣闊.也正因?yàn)槟承c(diǎn)、線、面位置的不確定,成為考生進(jìn)行常規(guī)思考、轉(zhuǎn)化的障礙.但又因?yàn)槠涫强勺兊?、開(kāi)放的,更有助于同學(xué)們空間想象能力及綜合能力的培養(yǎng).只有多方著力、尋求轉(zhuǎn)化,才能探索出解決動(dòng)態(tài)立體幾何的基本策略.

1把握平行原理，探索線面平行

對(duì)于選項(xiàng)A．空間平行關(guān)系包括線線平行、線面平行及面面平行．欲使A1C1∥平面BED1F,只需在面BED1F內(nèi)找到一條直線與A1C1平行即可,易得知若點(diǎn)E為CC1的中點(diǎn),則A1C1∥EF.故選項(xiàng)A正確．

2先設(shè)后驗(yàn)，探索線面垂直

對(duì)于選項(xiàng)B.如圖2所示,連接B1D、A1D．設(shè)B1D⊥平面BED1F,則B1D⊥D1F．

圖2

易知A1D為B1D在面ADD1A1內(nèi)的射影,由射影定理知A1D⊥D1F，顯然不成立.故選項(xiàng)B錯(cuò)誤．

3動(dòng)中尋定，探索面面垂直

圖3

對(duì)于選項(xiàng)C.欲證面面垂直,只需在其中一個(gè)面內(nèi)找到一條線與另外一個(gè)面垂直即可．如圖3所示，注意到面BED1F雖然為動(dòng)面,但其中包含確定的因素,即BD1為面內(nèi)固定的線,而AD1為BD1在面ADD1A1內(nèi)的射影,且AD1⊥A1D,由三垂線定理可知BD1⊥A1D．同理BD1⊥A1C1,所以BD1⊥面A1DC1,所以面BED1F⊥面A1DC1．故選項(xiàng)C正確．

4轉(zhuǎn)化視角，探究幾何體的體積

圖4

對(duì)于選項(xiàng)D.如圖4所示,連接BD1,則四棱錐B1-BED1F的體積VB1-BED1F=VE-BB1D1+VF-BB1D1.面BD1B1為定面,點(diǎn)E到面BB1D1的距離為三棱錐E-BB1D1的高,而點(diǎn)E在線CC1上,CC1∥面BB1D1,故CC1到面BB1D1的距離為定值,所以三棱錐E-BB1D1的體積為定值．同理三棱錐F-BB1D1的體積為定值．所以四棱錐B1-BED1F的體積為定值．故選項(xiàng)D正確．

5拓展延伸，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題推陳出新

本題可以拓展出新的問(wèn)題:

拓展1四邊形BED1F將正方體分割為體積相等的2部分．

拓展2求四邊形BED1F面積的最小值．

圖5

羅增儒教授曾說(shuō):“以能力立意命題,利于題型設(shè)計(jì),易形成綜合自然、新穎脫俗的試題.” 本題構(gòu)思精巧、立意深遠(yuǎn),能較好地考查考生的空間想象能力,有利于甄別考生的思維層次,突出了理性思維的能力考查.通過(guò)對(duì)題目的拓展,增加了問(wèn)題的考查功能．

(作者單位：浙江省寧海縣正學(xué)中學(xué))