角接觸球軸承剛度計(jì)算與分析

王東峰，方斌，李慶榮，張進(jìn)華

(1.洛陽軸研科技股份有限公司，河南 洛陽 471039；2.河南省高性能軸承技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河南 洛陽 471039；3.滾動(dòng)軸承產(chǎn)業(yè)技術(shù)創(chuàng)新戰(zhàn)略聯(lián)盟，河南 洛陽 471039；4. 西安交通大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，西安 710049；5.西安市鐵路公安處，西安 710000)

符號(hào)說明

A——內(nèi)、外溝曲率中心距

Dw——鋼球直徑

Dpw——球組節(jié)圓直徑

E——等效彈性模量

f——溝道曲率系數(shù)

Fc——鋼球離心力

Fx，F(xiàn)y，F(xiàn)z——外載荷在x，y，z方向的分量

Jw——鋼球轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

k0——橢圓率參數(shù)，接觸區(qū)長半軸與短半軸之比

K——鋼球與套圈的接觸剛度

K0——鋼球與套圈的Hertz接觸常數(shù)

K′——軸承剛度

l——受載前內(nèi)外溝曲率中心的距離

m——鋼球質(zhì)量

Mg——鋼球受到的陀螺力矩

My，Mz——外載荷在y，z軸的轉(zhuǎn)矩

n——軸承轉(zhuǎn)速

Q——鋼球與套圈的接觸載荷

R——溝道半徑

Rs——內(nèi)溝道曲率中心軌跡的半徑

x——外溝曲率中心與球心的距離

Z——鋼球個(gè)數(shù)

α——接觸角

φ——鋼球的方位角

θ——鋼球的姿態(tài)角

φ——鋼球的位置角

λ——載荷分配系數(shù)

γy——y軸方向的內(nèi)外圈相對(duì)角位移

γz——z軸方向的內(nèi)外圈相對(duì)角位移

δ——鋼球與套圈的接觸變形

δx,δy,δz——x,y,z軸方向的內(nèi)外圈相對(duì)位移

ω——內(nèi)圈的旋轉(zhuǎn)角速度

ωw1——鋼球的自轉(zhuǎn)角速度

ωw2——鋼球的公轉(zhuǎn)角速度

Δ——球心與溝道曲率中心的距離

下標(biāo)

a——軸向

r——徑向

e——外圈

i——內(nèi)圈

k——第k個(gè)鋼球

隨著機(jī)床主軸特性向高速、高精度、高剛性的方向發(fā)展，主軸的動(dòng)態(tài)性能在其設(shè)計(jì)過程中需加以考慮。角接觸球軸承作為機(jī)床主軸的核心零部件，其性能參數(shù)對(duì)主軸整體性能的影響至關(guān)重要。通過試驗(yàn)確定主軸軸承性能參數(shù)的成本較高，有必要通過建立合適的數(shù)學(xué)模型，對(duì)機(jī)床主軸角接觸球軸承的特性進(jìn)行仿真分析。

角接觸球軸承仿真計(jì)算作為典型的非線性問題引起了眾多的研究[1-7]，文獻(xiàn)[1]分析了溝道接觸應(yīng)力和變形的關(guān)系，并建立平衡方程分析了球軸承在任意外載荷下的載荷分布；文獻(xiàn)[2]建立了完善的球軸承擬靜力學(xué)模型，并綜合考慮了離心力和陀螺力矩的作用，并結(jié)合溝道控制理論建立模型；文獻(xiàn)[3]建立了角接觸球軸承動(dòng)態(tài)下剛度矩陣的5自由度求解模型；文獻(xiàn)[4]進(jìn)一步介紹了動(dòng)剛度矩陣的推導(dǎo)過程并將其應(yīng)用于主軸模型。文中在上述研究的基礎(chǔ)上，對(duì)角接觸球軸承的剛度問題進(jìn)行了研究。

1 軸承剛度計(jì)算

1.1 幾何關(guān)系分析

將軸承看成由內(nèi)圈節(jié)點(diǎn)和外圈節(jié)點(diǎn)組成的單元，其中內(nèi)圈節(jié)點(diǎn)相對(duì)于外圈節(jié)點(diǎn)有5個(gè)自由度，包括3個(gè)平動(dòng)自由度和2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。

圖1 受載前后鋼球中心與溝曲率中心幾何位置關(guān)系

由圖1可知，動(dòng)態(tài)條件下鋼球與內(nèi)外圈接觸角的三角函數(shù)表達(dá)式為

(1)

Aak=lsinα+δx+γyRssinφk-γzRscosφk,

Ark=lcosα+δycosφk+δzsinφk,

l=Ri+Re-Dw=(fi+fe-1)Dw,

1.2 受力分析

1.2.1 鋼球受力分析

在建立鋼球的整體平衡方程之前，需要對(duì)鋼球進(jìn)行受力分析。為了簡化分析過程，通常假設(shè)鋼球在一個(gè)套圈上作純滾動(dòng)，而在另一個(gè)套圈上同時(shí)存在滾動(dòng)和自旋運(yùn)動(dòng)，發(fā)生純滾動(dòng)的套圈通常被稱為控制套圈，鋼球受力情況就可以分為內(nèi)圈控制理論以及外圈控制理論。鋼球受力分析如圖2所示，對(duì)于外圈控制理論，可認(rèn)為λik=0，λek=2，而對(duì)于內(nèi)圈控制理論，則有λik=λek=1。

圖2 鋼球受力分析

由圖2可得，鋼球受力平衡方程為

(2)

根據(jù)Hertz接觸理論，鋼球與套圈的接觸載荷與變形關(guān)系為

(3)

1.2.2 溝道控制準(zhǔn)則與姿態(tài)角確定

鋼球姿態(tài)角θ是鋼球旋轉(zhuǎn)軸與軸承軸向軸心線之間的夾角，其值與所使用溝道控制方式有關(guān)。內(nèi)、外溝道控制理論的使用條件見表1[1]，其中E為第2類完全橢圓積分。

表1 溝道控制準(zhǔn)則與鋼球姿態(tài)角的確定

1.2.3 整體平衡方程

假設(shè)外力作用在內(nèi)圈上，則將所有鋼球與軸承內(nèi)圈之間的作用力相疊加，可以得到軸承整體的受力平衡方程為

。(4)

Newton-Raphson法具有收斂速度快、通用性強(qiáng)等特點(diǎn)，故上述非線性方程組利用該方法進(jìn)行求解。

1.3 軸承剛度計(jì)算

在上述角接觸球軸承擬靜力學(xué)模型的基礎(chǔ)上，可以使用以下2種方法求解軸承剛度。

1)根據(jù)鋼球與溝道的Hertz接觸剛度間接計(jì)算軸承整體剛度，接觸剛度為

(5)

式中：F為第1類橢圓積分；∑ρ為Hertz兩接觸體在接觸點(diǎn)處主平面內(nèi)等效曲率和。

接觸剛度的軸向和徑向分量為

(6)

(7)

利用所有鋼球接觸剛度的串并聯(lián)便可得到軸承的剛度[7]，即

(8)

2)將軸承所受外力F=[Fx,Fy,Fz,My,Mz]T對(duì)軸承內(nèi)圈相對(duì)于軸承外圈的相對(duì)位移向量δ=[δx,δy,δz,γy,γz]T求偏導(dǎo)，即可以得到軸承剛度矩陣[4]，其中對(duì)角線上的元素稱為軸承的主剛度，也是實(shí)際工程中最為常用的軸承剛度指標(biāo)。

(9)

K中的任意元素Kij(i,j=1,2,3,4,5)通過文獻(xiàn)[4]求得。

方法1求解速率快，但高速時(shí)計(jì)算精度差，不能用于精確求解高速軸承剛度；方法2雖然求解效率一般，但求解精度高。故文中選用第2種方法進(jìn)行求解。

2 計(jì)算結(jié)果及分析

2.1 靜剛度計(jì)算

以7008C軸承為例進(jìn)行靜剛度計(jì)算，其結(jié)構(gòu)參數(shù)見表2。

表2 軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)

對(duì)不同預(yù)緊力下的靜剛度求解并進(jìn)行多項(xiàng)式擬合，可得軸承靜剛度隨預(yù)緊力的變化曲線如圖3所示。

圖3 軸向剛度-預(yù)緊力曲線

從圖3可以看出，軸承剛度隨預(yù)緊力的增大而增大，其剛度求解結(jié)果略小于理論值，相對(duì)誤差在5%以下，說明靜態(tài)剛度求解較為準(zhǔn)確。同理可得，在中預(yù)緊下，軸承靜剛度隨徑向外載荷變化曲線如圖4所示，由圖可以看出，隨著徑向載荷增大，軸承的軸向剛度減小，而徑向剛度增大，且徑向剛度增大趨勢比軸向靜剛度減小趨勢更為明顯。

圖4 120 N預(yù)緊力下靜剛度-徑向載荷曲線

2.2 動(dòng)剛度計(jì)算

7008C在輕中重預(yù)緊力下剛度-轉(zhuǎn)速及軸向位移-轉(zhuǎn)速曲線如圖5所示。

圖5 不同預(yù)緊力下軸承剛度、位移與轉(zhuǎn)速的關(guān)系

由圖5可知，軸承動(dòng)剛度隨轉(zhuǎn)速的增大而減小，即出現(xiàn)了剛度軟化現(xiàn)象。軸承的軸向位移隨轉(zhuǎn)速增大也減小，這是因?yàn)殡S著轉(zhuǎn)速的增大，內(nèi)外圈在鋼球離心力的作用下有遠(yuǎn)離的趨勢。此外軸向剛度和軸向位移兩者隨轉(zhuǎn)速的變化規(guī)律有一定的相似性。10 000 r/min下7008C軸承y，z方向上的徑向剛度隨外載荷的變化曲線如圖6所示，隨y方向上徑向載荷的增大，軸承y方向上的徑向剛度隨之增大，z方向上的徑向剛度減小。

圖6 y，z方向上的徑向剛度隨y方向徑向載荷的變化曲線(n=10 000 r/min)

計(jì)算結(jié)果表明，預(yù)緊力和轉(zhuǎn)速是軸承剛度最重要的2個(gè)影響因素，因此將三者放在一起研究，7008C軸承預(yù)緊力-轉(zhuǎn)速-剛度及軸承預(yù)緊力-轉(zhuǎn)速-軸向位移的擬合曲面關(guān)系如圖7所示，即可以通過其中任意2個(gè)參數(shù)來確定第3個(gè)參數(shù)。實(shí)際工作中往往通過工作剛度和工作轉(zhuǎn)速來確定所需要的初始預(yù)緊力，從而對(duì)特定工況下軸承初始預(yù)緊力的選擇給出一定的推薦數(shù)值。

圖7 軸承預(yù)緊力、轉(zhuǎn)速與剛度、軸向位移的關(guān)系圖

3 結(jié)論

1)所提出的軸承剛度計(jì)算方法是可行的。

2)軸承靜剛度隨著預(yù)緊力的增大而增大。

3)在相同預(yù)緊力作用下，隨著徑向載荷的增大，軸向靜剛度減小，而徑向靜剛度逐漸增大，且徑向靜剛度增大趨勢較軸向靜剛度減小趨勢更為明顯。

4)軸承動(dòng)剛度隨著轉(zhuǎn)速的增大會(huì)發(fā)生剛度軟化現(xiàn)象，預(yù)緊力越大，軟化點(diǎn)越高，且其剛度的變化與軸向位移的變化具有相似性。