分析基于APOS理論的小學(xué)數(shù)學(xué)概念課設(shè)計(jì)
——以“生活中的比”為例

□ 深圳市坪山新區(qū)坑梓中心小學(xué) 王銳利

?

分析基于APOS理論的小學(xué)數(shù)學(xué)概念課設(shè)計(jì)
——以“生活中的比”為例

□ 深圳市坪山新區(qū)坑梓中心小學(xué) 王銳利

數(shù)學(xué)概念是學(xué)好數(shù)學(xué)知識(shí)的必要條件之一。數(shù)學(xué)概念課教學(xué)設(shè)計(jì)最大的困難就是，如何讓學(xué)生充分聯(lián)系數(shù)學(xué)概念與生活實(shí)際應(yīng)用。杜賓斯基的APOS學(xué)習(xí)理論為我們的概念課教學(xué)設(shè)計(jì)提供了有效的理論支持：學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解經(jīng)歷操作階段（Action）、過程階段（Process）、對(duì)象階段（Object）、圖式階段（Scheme）。

根據(jù)杜賓斯基的APOS學(xué)習(xí)理論，在數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)中，首先處理的數(shù)學(xué)問題要有社會(huì)或現(xiàn)實(shí)生活背景，并要求學(xué)生開展各種各樣的數(shù)學(xué)活動(dòng)。一個(gè)人是不可能在對(duì)數(shù)學(xué)概念沒有生活感知的基礎(chǔ)上直接學(xué)習(xí)到數(shù)學(xué)概念的。更確切地說,學(xué)生應(yīng)該透過心智結(jié)構(gòu)（mental structure）對(duì)所學(xué)的數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生印象。如果學(xué)生對(duì)于一個(gè)數(shù)學(xué)概念在課堂上無法建立起與之對(duì)應(yīng)的心智結(jié)構(gòu)，那么他是無法真正習(xí)得該數(shù)學(xué)概念的。下面我以“生活中的比”這節(jié)課的設(shè)計(jì)為例，具體闡述如何以“杜賓斯基概念教學(xué)理論”設(shè)計(jì)一節(jié)數(shù)學(xué)概念課。

一、情境導(dǎo)入，聯(lián)系生活

皮亞杰認(rèn)為，數(shù)學(xué)抽象活動(dòng)的基本性質(zhì)是一種“自反抽象”。它與通常所謂的“經(jīng)驗(yàn)抽象”有著重要的區(qū)別。所謂的“經(jīng)驗(yàn)抽象”即是以真實(shí)的事物或現(xiàn)象作為直接的原型，也就是由一類物質(zhì)對(duì)象中抽象出共同的特性。

出示一張被遮擋的圖片，如圖所示：

教師提問：“大家猜一猜，這張照片會(huì)是誰呢？”在經(jīng)過提示后，學(xué)生可能會(huì)想到“是老師自己”，在猜測(cè)的過程中活躍課堂的氛圍，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。老師將這張照片進(jìn)行編輯，想不想看看？請(qǐng)大家仔細(xì)觀察，編輯后的哪幾張照片與原來的照片A比較像？出示A、B、C、D、E五張照片，如圖所示：

生：B和D。

師：大家都是這樣認(rèn)為B、D與A比較像，那為什么呢？我們能否從數(shù)學(xué)的角度來研究這個(gè)問題？大家想不想試一試？

二、動(dòng)手操作——操作階段（Action）

操作行為是數(shù)學(xué)認(rèn)知的基礎(chǔ)性行為。沒有操作、體驗(yàn)，學(xué)生對(duì)知識(shí)的感知就沒有附著點(diǎn)，對(duì)概念的理解如同無源之水、無本之木。實(shí)際操作和頭腦中的心理操作——思想實(shí)驗(yàn)，將是學(xué)生對(duì)概念構(gòu)建心智結(jié)構(gòu)（mental structure）的基石。沒有物理操作和心理的操作，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念這一現(xiàn)象不可能發(fā)生。

約定：照片縱向的邊稱為照片的長(zhǎng)，照片橫向的邊稱為照片的寬。

課前準(zhǔn)備：每個(gè)小組會(huì)有一套學(xué)具：ABCDE五張照片和兩張透明的方格紙、一把直尺。

如圖所示：

組成四人一個(gè)小組，通過已準(zhǔn)備好的學(xué)具找一找照片的長(zhǎng)和寬，并且試著發(fā)現(xiàn)照片相像的奧秘。

三、過程研究——過程階段（Process）

此階段是學(xué)生通過對(duì)課堂特定的“教學(xué)活動(dòng)”進(jìn)行思考，經(jīng)歷思維的內(nèi)化、壓縮過程。在此過程中，學(xué)生逐步在思維上、心理上形成對(duì)知識(shí)的心智結(jié)構(gòu)（mental structure），當(dāng)學(xué)生在頭腦中對(duì)正在進(jìn)行的活動(dòng)描述和反思時(shí)，抽象出概念所特有的性質(zhì)。正是通過此階段的設(shè)計(jì)，學(xué)生雖然并未完全認(rèn)識(shí)“比的概念”，但是已經(jīng)能夠根據(jù)此情境在不知不覺之中理解了“研究比的概念的原因”。在潛意識(shí)里，學(xué)生無形之中已經(jīng)接受了比的概念。

生：A長(zhǎng)為6、寬為4；B長(zhǎng)為3、寬為2；C長(zhǎng)為3、寬為8；D長(zhǎng)為12寬為8；E長(zhǎng)為12、寬為2。

生①：A圖片的長(zhǎng)是B圖片長(zhǎng)的2倍，A圖片的寬也是B圖片寬的2倍。

生③：照片的長(zhǎng)和寬同時(shí)擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)，照片仍然會(huì)相像。

師：同學(xué)們的討論、研究的成果，非常有道理，能夠從不同的角度來分析問題、解決問題。

四、對(duì)象研究——對(duì)象階段（Object）

在此階段，是通過前面的抽象，認(rèn)識(shí)到了比的概念本質(zhì)。此時(shí)此刻，就是需要老師正式對(duì)其賦予形式化的定義及符號(hào)，使其達(dá)到精致化，成為一個(gè)具體的對(duì)象，在以后的學(xué)習(xí)中以此為對(duì)象去進(jìn)行新的活動(dòng)。因而，比的概念就非常自然地出現(xiàn)在學(xué)生的面前。

師：其實(shí)，長(zhǎng)除以寬，把兩個(gè)數(shù)相除，在數(shù)學(xué)里面也可以叫作這兩個(gè)數(shù)的比。像這樣的兩個(gè)數(shù)相除，也叫作兩個(gè)數(shù)的比。

（板書：兩數(shù)相除，也叫作兩個(gè)數(shù)的比）

師：就以A照片為例：長(zhǎng)除以寬，也叫做長(zhǎng)與寬的比。

師：這里的6：4就是A照片長(zhǎng)與寬的比！兩個(gè)圓點(diǎn)就叫作比的比號(hào)；比號(hào)前面的一項(xiàng)就叫做比的前項(xiàng)，比號(hào)后面的一項(xiàng)叫比的后項(xiàng)；比的前項(xiàng)除以后項(xiàng)就叫作比值。

在這一對(duì)象階段（Object），學(xué)生以之前的操作階段、過程階段為基礎(chǔ)，非常自然地理解了比的概念。

五、形成圖式——圖式階段（Scheme）

為了進(jìn)一步鞏固學(xué)生對(duì)比的概念穩(wěn)固的心智結(jié)構(gòu)，就需要在圖式階段經(jīng)過長(zhǎng)期的學(xué)習(xí)活動(dòng)來完善、強(qiáng)化。起初的概型包含反映概念的特例、抽象過程、定義及符號(hào)，經(jīng)過圖式階段（Scheme）的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠逐步完善地建立起與其他概念、規(guī)則、圖形等的聯(lián)系，在頭腦中形成綜合的心理圖式。在學(xué)生初步的認(rèn)識(shí)了比的概念、理清了比的概念與已經(jīng)學(xué)習(xí)的“分?jǐn)?shù)”、“除法”之間的關(guān)系之后，學(xué)生需要反復(fù)演練概念抽象的過程，在頭腦中形成“比的概念”的心電圖。

師：現(xiàn)在我們接觸了比，咱們學(xué)習(xí)知識(shí)就是為了應(yīng)用。那比到底怎么用呢？要不現(xiàn)在來試一試，好不好？

1.根據(jù)生活中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象寫比。

（1）照片BD的長(zhǎng)與寬的比分別是多少呢？

（2）我們班男生人數(shù)與女生人數(shù)的比是多少？

（3）路程與速度的比：一輛汽車行駛120km大約需要2小時(shí)。路程與時(shí)間的比是多少？

2.根據(jù)具體的生活情境寫出比的意義。

（1）ABD三張照片的長(zhǎng)和寬的比分別為6：4、3：2，12：8，它們表達(dá)什么意義呢？為什么三張照片長(zhǎng)和寬的比可以解釋ABD三張照片相像？

（2）甘蔗汁和水的配比為1：2。

（3）樹高和影長(zhǎng)的比為6：3。

舉出第一個(gè)實(shí)例，不僅可以與“對(duì)象階段”中的形成比的概念呼應(yīng)，而且還能夠在熟悉的背景下，根據(jù)具體的生活情境進(jìn)一步理解比的概念、分析比的意義。

六、值得嘗試、探討的問題

小學(xué)數(shù)學(xué)概念課的教學(xué)是小學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)的難點(diǎn)之一。其中重要的困惑就在于學(xué)生難以形成對(duì)概念的“固著點(diǎn)”，就更加談不上形成了對(duì)概念的“心電圖”、“心智結(jié)構(gòu)”。杜賓斯基的APOS數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論為小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)提供了可行的嘗試；只是在概念課的教學(xué)設(shè)計(jì)過程中，教師需要在充分的考察學(xué)生的學(xué)習(xí)基本功、認(rèn)知水平的基礎(chǔ)之上，選擇適合學(xué)生心智結(jié)構(gòu)的“操作活動(dòng)”、“現(xiàn)實(shí)生活背景”，這對(duì)教師的教學(xué)能力也是一大挑戰(zhàn)。