基于自助最大熵法的滾動(dòng)軸承無失效數(shù)據(jù)可靠性評(píng)估

夏新濤，朱文換，孫立明，葉亮，邱明

(1. 河南科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，河南 洛陽 471003；2. 洛陽軸研科技股份有限公司，河南 洛陽 471039)

為確保安全運(yùn)行，試驗(yàn)機(jī)、飛機(jī)、高鐵、汽車等機(jī)械系統(tǒng)對(duì)滾動(dòng)軸承試驗(yàn)或服役時(shí)期的可靠性要求越來越高[1]。在軸承試驗(yàn)或服役過程中，由于諸多原因造成滾動(dòng)軸承的性能指標(biāo)達(dá)不到使用要求，使其產(chǎn)生疲勞、磨損、燒傷等失效，甚至發(fā)生惡性事故。因此，在軸承試驗(yàn)或服役期間滾動(dòng)軸承無失效時(shí)或者沒有發(fā)現(xiàn)失效時(shí)，應(yīng)事先分析滾動(dòng)軸承的無失效數(shù)據(jù)[2]，對(duì)滾動(dòng)軸承的失效概率進(jìn)行估計(jì)[3-6,13]，即根據(jù)滾動(dòng)軸承的無失效數(shù)據(jù)對(duì)滾動(dòng)軸承的可靠性進(jìn)行預(yù)測。

目前，無失效數(shù)據(jù)可靠性評(píng)估采用的研究方法主要有經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)法和Bayes統(tǒng)計(jì)法，最常用的是Bayes統(tǒng)計(jì)法[2-10]，其前提是已知所研究滾動(dòng)軸承壽命的概率分布，如對(duì)數(shù)正態(tài)分布[3]、指數(shù)分布[6]、Weibull分布[5,8-9]、二項(xiàng)分布、均勻分布等。而滾動(dòng)軸承的多種失效導(dǎo)致了其概率分布未知，因此，現(xiàn)有方法對(duì)概率分布未知的滾動(dòng)軸承壽命無失效數(shù)據(jù)可靠性的研究有一定的缺陷。

現(xiàn)融合自助法[11]和最大熵原理[12]，運(yùn)用自助最大熵法，首先處理滾動(dòng)軸承壽命試驗(yàn)或服役過程中概率分布已知和未知時(shí)的無失效數(shù)據(jù)，然后構(gòu)建壽命失效數(shù)據(jù)的可靠性函數(shù)，進(jìn)而預(yù)測壽命失效數(shù)據(jù)可靠性的真值函數(shù)及其上下界函數(shù)，實(shí)現(xiàn)滾動(dòng)軸承壽命無失效數(shù)據(jù)可靠性評(píng)估。

需要說明的是，提出的自助最大熵法是針對(duì)滾動(dòng)軸承試驗(yàn)或服役期間沒有發(fā)生任何失效時(shí)獲取的無失效數(shù)據(jù)，即所考察的無失效數(shù)據(jù)不同于定時(shí)截尾試驗(yàn)中獲得的無失效數(shù)據(jù)。因此，自助最大熵法不適用于定時(shí)截尾試驗(yàn)軸承均無失效的相同無失效數(shù)據(jù)的分析,定時(shí)截尾試驗(yàn)中軸承均無失效時(shí)的情況需要進(jìn)一步研究。

1 建立無失效數(shù)據(jù)可靠性模型

1.1 數(shù)據(jù)采集

假設(shè)滾動(dòng)軸承無失效數(shù)據(jù)為隨機(jī)變量x，對(duì)其壽命無失效數(shù)據(jù)進(jìn)行定期采樣，獲取原始數(shù)據(jù)，構(gòu)成一個(gè)無失效數(shù)據(jù)序列X,

X=(x(1),x(2),…,x(n));

n=1,2,…,N，

(1)

式中：x(n)為第n個(gè)無失效數(shù)據(jù)；n為無失效數(shù)據(jù)的序號(hào)；N為無失效數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)。

1.2 數(shù)據(jù)生成

根據(jù)自助原理，通過自助再抽樣將原始無失效數(shù)據(jù)生成大量無失效數(shù)據(jù)。在進(jìn)行自助抽樣前，需選定抽樣個(gè)數(shù)。首先令第1組選取的抽樣個(gè)數(shù)為L1，然后等間隔地選擇抽樣個(gè)數(shù)Li(i為抽樣個(gè)數(shù)的組號(hào)，一般取4～10)，直到Li=N為止；然后對(duì)抽樣個(gè)數(shù)不同的多組原始無失效數(shù)據(jù)分別進(jìn)行自助再抽樣，根據(jù)自助原理從X中等概率可放回地進(jìn)行抽樣，抽取n次，可得到一個(gè)自助樣本Xib，且其共有N個(gè)數(shù)據(jù)。連續(xù)重復(fù)抽取B次，得到B個(gè)自助再抽樣樣本，即大量無失效數(shù)據(jù)XB為

XB=(Xi1,Xi2,…Xib,…XiB);b=1,2,…,B,

(2)

Xib=(xib(1),xib(2),…,xib(n));

n=1,2,…，N,

式中：Xib為第i組自助樣本Xi的第b個(gè)自助樣本；B為第i組自助樣本XB的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)，一般取1 000～100 000；xib(n)表示自助樣本Xib中的第n個(gè)數(shù)據(jù)。

自助樣本Xib的均值為

(3)

1.3 預(yù)測數(shù)據(jù)的概率分布

根據(jù)最大熵原理，原始無失效數(shù)據(jù)生成的大量無失效數(shù)據(jù)應(yīng)滿足最大熵準(zhǔn)則。用最大熵法可以獲取大量無失效數(shù)據(jù)的概率分布的最好估計(jì)。

對(duì)于原始無失效數(shù)據(jù)生成的大量無失效數(shù)據(jù)，用一連續(xù)變量u來表示大量無失效數(shù)據(jù)序列XB中的自助樣本Xib，定義最大熵H(u)為

(4)

式中：f(u)為無失效數(shù)據(jù)的概率密度函數(shù)；Ω為變量u的積分區(qū)間。

(4) 式的約束條件為

(5)

(6)

式中：m為所用原點(diǎn)矩的階數(shù)；mk為第k階原點(diǎn)矩。

根據(jù) (2) 式可得無失效數(shù)據(jù)的各階原點(diǎn)矩為

(7)

令

H(u)→max ，

(8)

(9)

令

(10)

可得到

(11)

(12)

(13)

(14)

(14) 式為最大熵概率密度函數(shù)的解析式。

將(14)式代入 (5) 式可得

(15)

求解可得

(16)

(17)

將 (16) 、(17)式分別對(duì)λk進(jìn)行微分可得

(18)

(19)

比較(18)式和(19)式，m階原點(diǎn)矩應(yīng)滿足

(20)

通過(20)式可建立求解λ1,…,λk,…,λm的m個(gè)方程組，再由(18)式求出λ0，可得無失效數(shù)據(jù)的概率密度函數(shù)f(u)的解析式。

由f(u)解析式可得無失效數(shù)據(jù)的概率分布函數(shù)F(u)為

(21)

1.4 構(gòu)建可靠性函數(shù)

定義一個(gè)有關(guān)滾動(dòng)軸承壽命無失效數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)的估計(jì)參數(shù)G(u)為

G(u)=N[1-F(u)]。

(22)

假設(shè)有關(guān)滾動(dòng)軸承壽命的經(jīng)驗(yàn)失效概率分布函數(shù)P(u)為

(23)

式中：c為經(jīng)驗(yàn)概率系數(shù)，其取值會(huì)影響可靠性函數(shù)的計(jì)算結(jié)果。

當(dāng)c為0.01～0.5時(shí)，c越小，可靠性函數(shù)的取值范圍越?。环粗?，可靠性函數(shù)的取值范圍越大[13]。在滾動(dòng)軸承壽命試驗(yàn)或服役過程中，假設(shè)無失效數(shù)據(jù)的取值區(qū)間是[xmin,xmax]=[x(1),x(N)]。根據(jù)現(xiàn)有的可靠性研究成果和工程實(shí)踐[7,13-14]，當(dāng)壽命x的取值接近xmin時(shí)，失效數(shù)據(jù)的可靠性高；當(dāng)壽命x的取值接近xmax時(shí)，失效數(shù)據(jù)的可靠性低。在x=xmax之前，滾動(dòng)軸承壽命試驗(yàn)或服役過程中沒有出現(xiàn)失效，即僅獲得了無失效數(shù)據(jù)；在x=xmax時(shí)，失效數(shù)據(jù)的估計(jì)可靠性函數(shù)的可信度通常為85%～95%[7,13-14]，對(duì)應(yīng)的c值約為0.1。

根據(jù)可靠性理論，預(yù)測滾動(dòng)軸承壽命失效數(shù)據(jù)的可靠性函數(shù)r(u)為

根據(jù)(24)式及生成的多組大量無失效數(shù)據(jù)，可預(yù)測出滾動(dòng)軸承壽命失效數(shù)據(jù)的多組可靠性函數(shù)。

1.5 預(yù)測真值函數(shù)及其上下界函數(shù)

設(shè)有S個(gè)失效數(shù)據(jù)，分別獲取同一失效數(shù)據(jù)所對(duì)應(yīng)的多組可靠性函數(shù)的取值，將其構(gòu)成一個(gè)滾動(dòng)軸承壽命失效數(shù)據(jù)的可靠性數(shù)據(jù)序列R

R=(R1,R2,…,Rs);s=1,2,…,S，

(25)

Rs=(rs(1),rs(2),…,rs(j),…,rs(i));

j=1,2,…,i，

式中：s為失效數(shù)據(jù)可靠性數(shù)據(jù)序列的序號(hào)；Rs為第s個(gè)失效數(shù)據(jù)的可靠性數(shù)據(jù)序列；j為壽命失效數(shù)據(jù)的可靠性數(shù)據(jù)的序號(hào)；rs(j)為Rs中的第j個(gè)數(shù)據(jù)。

根據(jù)自助原理，從失效數(shù)據(jù)的可靠性數(shù)據(jù)序列Rs中等概率可放回地進(jìn)行抽樣，抽取i次，可得到一個(gè)自助樣本Rsb，且其共有i個(gè)數(shù)據(jù)。連續(xù)重復(fù)抽取B次，得到B個(gè)自助再抽樣樣本，即失效數(shù)據(jù)的大量可靠性數(shù)據(jù)序列RB為

RB=(Rs1,Rs2,…,Rsb);b=1,2,…,B，

(26)

式中：Rsb為RB的第b個(gè)自助樣本。

運(yùn)用最大熵原理，對(duì)于由 (26) 式模擬出的B個(gè)RB，用一連續(xù)變量z來表示失效數(shù)據(jù)的可靠性數(shù)據(jù)的自助樣本Rsb，根據(jù) (4)～(20) 式，可得壽命失效數(shù)據(jù)可靠性的概率密度函數(shù)φ為

φ=φ(z) 。

(27)

預(yù)測滾動(dòng)軸承壽命失效數(shù)據(jù)可靠性的真值函數(shù)RT為

(28)

假設(shè)顯著性水平α∈[0,1]，置信水平P為

P=1-α，

(29)

對(duì)應(yīng)置信水平P=α/2處的置信區(qū)間的下邊界函數(shù)RL=Rα/2，且滿足

(30)

對(duì)應(yīng)置信水平P=1-α/2處的置信區(qū)間的上邊界函數(shù)RU=R1-α/2，且滿足

(31)

因此，在置信水平P下，滾動(dòng)軸承壽命失效數(shù)據(jù)可靠性的上界函數(shù)和下界函數(shù)可以用失效數(shù)據(jù)可靠性的取值區(qū)域D表示

D={RL,RU}={Rα/2,R1-α/2}。

(32)

2 研究案例

2.1 已知分布無失效數(shù)據(jù)

某滾動(dòng)軸承的無失效數(shù)據(jù)見表1，共有6組11個(gè)數(shù)據(jù)。根據(jù)現(xiàn)有的可靠性研究[4]，認(rèn)為滾動(dòng)軸承壽命服從Weibull分布。

表1 滾動(dòng)軸承的無失效數(shù)據(jù)

由表1可得滾動(dòng)軸承的無失效數(shù)據(jù)序列X11(N=11)，如圖1所示。

圖1 滾動(dòng)軸承的無失效數(shù)據(jù)序列X11

將這11個(gè)滾動(dòng)軸承的無失效數(shù)據(jù)通過選擇抽樣個(gè)數(shù)進(jìn)行分組:抽樣個(gè)數(shù)L1=5，L2=7，L3=8，L4=11，共4組自助抽樣。

設(shè)置信水平P=95%，根據(jù)自助最大熵法，分別對(duì)這4種情況的無失效數(shù)據(jù)建立失效數(shù)據(jù)的可靠性模型。

由自助最大熵法可得，理論上B的取值越大，預(yù)測的結(jié)果就越準(zhǔn)確。在實(shí)際的案例分析中，當(dāng)B取值過大時(shí)，會(huì)導(dǎo)致生成大量數(shù)據(jù)所用的時(shí)間過長；當(dāng)B取值大到一定程度時(shí)，預(yù)測結(jié)果不再發(fā)生變化。因此，結(jié)合實(shí)際研究情況，在確?？焖佾@取最佳預(yù)測結(jié)果的前提下，優(yōu)選B=30 000。

在建立失效數(shù)據(jù)的可靠性模型時(shí)，令B=30 000，c=0.1，進(jìn)而可預(yù)測出4組滾動(dòng)軸承壽命失效數(shù)據(jù)的可靠性函數(shù)，如圖2所示。

圖2 4組滾動(dòng)軸承壽命失效數(shù)據(jù)的可靠性函數(shù)

由圖2可知，由于樣本的抽樣個(gè)數(shù)不同，獲得的每組有關(guān)滾動(dòng)軸承失效數(shù)據(jù)的可靠性函數(shù)的具體變化有一定差別，但總體上來看，隨著滾動(dòng)軸承試驗(yàn)或服役時(shí)間的不斷增加，其壽命的可靠性均呈下降趨勢。該趨勢符合滾動(dòng)軸承壽命在軸承試驗(yàn)或服役過程中逐漸衰減的實(shí)際規(guī)律。

基于滾動(dòng)軸承壽命同一失效數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的可靠性數(shù)據(jù)序列，運(yùn)用自助最大熵法，令B=30 000，可得滾動(dòng)軸承壽命失效數(shù)據(jù)的可靠性真值函數(shù)及其上下界函數(shù)，如圖3所示。圖中還給出了運(yùn)用現(xiàn)有方法(多層Bayes估計(jì)法)對(duì)該滾動(dòng)軸承無失效數(shù)據(jù)可靠性的分析結(jié)果[4]。

圖3 滾動(dòng)軸承壽命失效數(shù)據(jù)可靠性的真值函數(shù)及其上下界函數(shù)

由圖3可知，當(dāng)x=1 000 h時(shí)，由這2種方法得到的結(jié)果之間的差異最大。設(shè)x=1 000 h，用自助最大熵法預(yù)測的滾動(dòng)軸承壽命失效數(shù)據(jù)可靠性估計(jì)真值RT(1 000)=89.82%。根據(jù)多層Bayes估計(jì)法，在滾動(dòng)軸承壽命概率分布已知的條件下，假設(shè)滾動(dòng)軸承壽命失效數(shù)據(jù)服從Weibull分布，當(dāng)x=1 000 h時(shí)，計(jì)算的滾動(dòng)軸承壽命失效數(shù)據(jù)可靠性為95.27%。二者最大差值為5.45%，相差很小，說明用自助最大熵法對(duì)滾動(dòng)軸承壽命無失效數(shù)據(jù)的可靠性進(jìn)行評(píng)估是可行的。

2.2 未知分布無失效數(shù)據(jù)

因滾動(dòng)軸承壽命無失效數(shù)據(jù)來源于其運(yùn)行時(shí)間，擬定一組數(shù)據(jù)作為壽命無失效數(shù)據(jù)，構(gòu)成模擬無失效數(shù)據(jù)序列X10(N=10)，如圖4所示。由于模擬無失效數(shù)據(jù)是主觀擬定的，其概率分布是未知的。

圖4 模擬的無失效數(shù)據(jù)序列X10

將這10個(gè)模擬無失效數(shù)據(jù)通過選擇抽樣個(gè)數(shù)進(jìn)行分組：抽樣個(gè)數(shù)L1=4，L2=6，L3=8，L4=10，共4組自助抽樣。

設(shè)置信水平P=95%，根據(jù)自助最大熵法，分別對(duì)這4種情況的無失效數(shù)據(jù)建立失效數(shù)據(jù)的可靠性模型。同理，令B=30 000，c=0.1，則可預(yù)測4組模擬失效數(shù)據(jù)的可靠性函數(shù)，如圖5所示。

圖5 4組模擬失效數(shù)據(jù)的可靠性函數(shù)

由圖5可知，由于樣本的抽樣個(gè)數(shù)不同，獲得的每組模擬的失效數(shù)據(jù)可靠性函數(shù)雖有一定差別，但總隨著模擬失效數(shù)據(jù)的不斷增大，滾動(dòng)軸承壽命的可靠性整體呈下降趨勢。該趨勢符合滾動(dòng)軸承壽命隨著時(shí)間推移逐漸衰減的實(shí)際規(guī)律。

基于同一模擬失效數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的可靠性數(shù)據(jù)序列，運(yùn)用自助最大熵法，令B=30 000，可得模擬失效數(shù)據(jù)的可靠性真值函數(shù)及其上下界函數(shù)，如圖6所示。

由圖6可知，在模擬失效數(shù)據(jù)x取值范圍內(nèi)，模擬失效數(shù)據(jù)可靠性的真值函數(shù)及其上下界函數(shù)均呈遞減趨勢，則預(yù)測的模擬失效數(shù)據(jù)可靠性的真值函數(shù)及其上下界函數(shù)符合滾動(dòng)軸承可靠性逐漸衰減的實(shí)際情況，說明用自助最大熵法在概率分布未知條件下評(píng)估滾動(dòng)軸承壽命無失效數(shù)據(jù)的可靠性是可行的。

圖6 模擬失效數(shù)據(jù)可靠性的真值函數(shù)及其上下界函數(shù)

2.3 討論

已知分布無失效數(shù)據(jù)的實(shí)際案例為服從Weibull分布的壽命無失效數(shù)據(jù)可靠性評(píng)估案例,在概率分布已知的情況下，用自助最大熵法預(yù)測的壽命失效數(shù)據(jù)可靠性真值與現(xiàn)有方法得到的壽命失效數(shù)據(jù)可靠性取值相差很小，說明運(yùn)用自助最大熵法可以較準(zhǔn)確地預(yù)測壽命無失效數(shù)據(jù)的可靠性真值函數(shù)，該方法對(duì)于滾動(dòng)軸承無失效數(shù)據(jù)的可靠性評(píng)估是可行的。另外，用自助最大熵法還可以預(yù)測出壽命無失效數(shù)據(jù)的可靠性上下界函數(shù)，而用現(xiàn)有方法是無法計(jì)算的。因此，在現(xiàn)有方法的可靠性研究中，可將自助最大熵法得到的壽命無失效數(shù)據(jù)可靠性上下界函數(shù)作為參考。

仿真試驗(yàn)為概率分布未知的壽命無失效數(shù)據(jù)可靠性評(píng)估案例，由試驗(yàn)結(jié)果可知，在概率分布未知的情況下，用自助最大熵法可以得到壽命失效數(shù)據(jù)可靠性的真值函數(shù)及其上下界函數(shù)。對(duì)比圖6和圖3可知，概率分布未知時(shí)預(yù)測的壽命失效數(shù)據(jù)可靠性真值函數(shù)及其上下界函數(shù)的變化規(guī)律與概率分布已知時(shí)預(yù)測的結(jié)果大致相同，說明自助最大熵法能夠解決在概率分布未知條件下對(duì)無失效數(shù)據(jù)的可靠性進(jìn)行評(píng)估這一難題。而對(duì)于概率分布未知的情況，現(xiàn)有方法是行不通的。

3 結(jié)束語

在概率分布已知和未知的情況下，用自助最大熵法預(yù)測滾動(dòng)軸承壽命的失效數(shù)據(jù)，經(jīng)實(shí)際案例和仿真試驗(yàn)證明，該方法對(duì)壽命的概率分布沒有要求，可以實(shí)現(xiàn)壽命無失效數(shù)據(jù)的可靠性評(píng)估。對(duì)于相同的一組無失效數(shù)據(jù)，運(yùn)用現(xiàn)有方法和自助最大熵法獲得的可靠性結(jié)果是相同的，而實(shí)際工程上該結(jié)果有可能不同，在未來工作中有待深入研究。