覆蓋空間下粗糙集和Vague軟集融合方法研究

陳鵬崗, 馮曉毅, 毛曉菲

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覆蓋空間下粗糙集和Vague軟集融合方法研究

陳鵬崗, 馮曉毅, 毛曉菲

摘要：針對(duì)覆蓋近似空間下粗糙集、Vague集和軟集3種不確定性理論方法融合擴(kuò)展的問(wèn)題，提出了一種新的基于近鄰域的覆蓋粗糙Vague軟集模型，并討論了相關(guān)性質(zhì)。又針對(duì)該模型的不確定性度量問(wèn)題，定義了一種新的覆蓋粗糙Vague軟集的不確定性度量方法。該方法通過(guò)引入覆蓋粒度空間下知識(shí)熵的概念定義覆蓋粒度空間的不確定程度，同時(shí)采用粗糙度定義覆蓋粗糙Vague軟集本身的粗糙性，最后將二者結(jié)合度量覆蓋粗糙Vague軟集的不確定性程度。算例分析表明，該度量方法是有效可行的,并且隨著覆蓋粒度的增大覆蓋粗糙Vague軟集的不確定性程度也隨之增大。覆蓋粗糙Vague軟集模型在胃電信號(hào)(EGG)分析及胃疾病輔助診斷問(wèn)題研究中有很好的應(yīng)用前景。

關(guān)鍵詞：覆蓋粗糙集;Vague集;軟集;不確定性

體表胃電信號(hào)(EGG)是研究胃動(dòng)力學(xué)特性和功能性胃疾病診斷的重要依據(jù)。胃電是一種典型的有用信號(hào)和噪聲相選加的復(fù)合信號(hào)，其檢測(cè)過(guò)程中會(huì)引入大量的強(qiáng)背景噪聲。在實(shí)際應(yīng)用中，由于胃電的檢測(cè)過(guò)程中存在著很多不確定性，這些先驗(yàn)知識(shí)往往難以獲得，因此胃電的檢測(cè)與分析更類似一個(gè)在不確定的環(huán)境中提取與分析未知信號(hào)的過(guò)程。近年來(lái)，基于粗糙集、Vague集、軟集等不確定理論發(fā)展起來(lái)的各類融合模型為解決胃電信號(hào)數(shù)據(jù)分析等問(wèn)題研究提供了強(qiáng)有力工具和參考模型。

實(shí)踐證明，任何單一的理論和方法都很難獨(dú)自解決所有問(wèn)題，甚至很難全面反映和處理某一個(gè)具體問(wèn)題，因此研究各種不確定模型的擴(kuò)展理論及其應(yīng)用問(wèn)題十分必要。粗糙集[1]理論基于集合中對(duì)象間的不可分辨性，在分析處理不確定信息時(shí)無(wú)須任何先驗(yàn)信息，其分析方法是相對(duì)客觀的。基于覆蓋關(guān)系建立的覆蓋粗糙集模型是對(duì)經(jīng)典粗糙集模型的擴(kuò)展，由于其較好的應(yīng)用前景得到了研究者的廣泛關(guān)注[2-7]。Vague集[8]理論作為模糊集的推廣，在處理不確定性信息時(shí)比傳統(tǒng)的模糊集有更強(qiáng)的表達(dá)能力及靈活性，是一種新型的處理模糊性問(wèn)題的數(shù)學(xué)分析工具，有許多學(xué)者將其和其他處理不確定性信息模型結(jié)合開(kāi)展研究。軟集理論[9]是Moldtsov在1999年提出的一種新的處理不確定性和不精確性信息的數(shù)學(xué)工具，該理論克服了Vague集只能處理一部分不確定性信息的不足，目前在文本分類、數(shù)據(jù)挖掘、模糊決策、圖像檢索等領(lǐng)域成功應(yīng)用。上述3種理論都關(guān)注信息系統(tǒng)中知識(shí)的不準(zhǔn)確、不完備、不精準(zhǔn)問(wèn)題，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)既相互聯(lián)系又相互補(bǔ)充，因此可以進(jìn)行融合，以發(fā)揮各自的優(yōu)勢(shì)，彌補(bǔ)各自的不足。

因此，在研究Vague集和其他軟計(jì)算理論的結(jié)合以及不確定性度量和相關(guān)應(yīng)用背景問(wèn)題方面，仍有大量的工作要做。針對(duì)Vague集、粗糙集和軟集的結(jié)合問(wèn)題，如文獻(xiàn)[10]首次將粗糙集與軟集思想進(jìn)行融合，提出了粗糙軟集的概念。文獻(xiàn)[11]則將Fuzzy集與軟集思想進(jìn)行融合，提出了Fuzzy軟集的概念。文獻(xiàn)[12]將Vague集與軟集思想進(jìn)行融合，提出了新的Vague軟集的基本概念并研究了相關(guān)性質(zhì)、相似度量和不確定性度量等問(wèn)題，但是沒(méi)有研究Vague軟集的相關(guān)應(yīng)用問(wèn)題。分析發(fā)現(xiàn)，類比覆蓋粗糙Vague集模型，可以進(jìn)一步在覆蓋近似空間下將Vague軟集和粗糙集進(jìn)行融合，分別基于全鄰域(∪Md(x))和近鄰域(∩Md(x))定義2種新的覆蓋粗糙Vague軟集數(shù)學(xué)模型,并研究其相關(guān)性質(zhì),這是對(duì)覆蓋粗糙集、Vague集和軟集等理論的進(jìn)一步擴(kuò)展。同時(shí),探討Vague軟集的相關(guān)應(yīng)用問(wèn)題也是一個(gè)重要的研究方向。另外,求屬性重要性、屬性核和屬性約簡(jiǎn)是模糊數(shù)學(xué)理論中的幾個(gè)主要問(wèn)題,而不確定性度量作為各種軟計(jì)算理論模型的一個(gè)重要數(shù)學(xué)特征,是上述問(wèn)題的關(guān)鍵。

本文在上述研究的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步在覆蓋近似空間下將粗糙集、Vague集和軟集3種不確定性理論方法進(jìn)行融合,提出了一種全新的處理不確定信息的數(shù)學(xué)模型——覆蓋粗糙Vague軟集,并研究了相關(guān)性質(zhì)及其不確定性度量方法,為下一步將該數(shù)學(xué)模型及其不確定性度量方法應(yīng)用于胃電信號(hào)數(shù)據(jù)預(yù)處理問(wèn)題奠定了相關(guān)理論基礎(chǔ)。

1預(yù)備知識(shí)

下面對(duì)有關(guān)基礎(chǔ)理論進(jìn)行描述。

1.1粗糙集

定義1(集合的下近似和上近似)給定知識(shí)庫(kù)(近似空間)K=(U,S),其中U為論域,S表示論域U上的等價(jià)關(guān)系簇,則?X?U和論域U上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系R∈IND(K),定義子集(概念或信息粒)X關(guān)于知識(shí)R的下近似和上近似分別為

圖1　集合X的上近似、下近似和邊界域

1.2Vague軟集

文獻(xiàn)[13-15]提出的Vague軟集模型描述如下:

定義3(Vague軟集)設(shè)U是一個(gè)論域,E是一個(gè)參數(shù)集,A?E,且F:A→P(U)是一個(gè)映射,即?e∈A,F(e)為U上的一個(gè)Vague集,稱(F,A)為U上的一個(gè)Vague軟集。

定義5(Vague軟集的補(bǔ)集)設(shè)(F,A)為U上的一個(gè)Vague軟集,稱(F,A)c=(Fc,A)為(F,A)的補(bǔ),其中Fc:A→V(U),具體為?e∈A,x∈U,有tFc(e)(x)=fF(e)(x),1-fFc(e)(x)=1-tF(e)(x)。

定義6(相對(duì)空的Vague軟集)設(shè)U是一個(gè)論域,E是一個(gè)參數(shù)集,A?E,(F,A)為U上的一個(gè)Vague軟集,若?e∈A,x∈U,tF(e)(x)=0,1-fF(e)(x)=0,則稱(F,A)為U上的一個(gè)相對(duì)空的(相對(duì)于參數(shù)集A)Vague軟集,記為φA。

定義7(相對(duì)全的Vague軟集)設(shè)U是一個(gè)論域,E是一個(gè)參數(shù)集,A?E,(F,A)為U上的一個(gè)Vague軟集,若?e∈A,x∈U,tF(e)(x)=1,1-fF(e)(x)=1,則稱(F,A)為U上的一個(gè)相對(duì)全的(相對(duì)于參數(shù)集A)Vague軟集,記為μA。

1.3覆蓋粗糙Vague集

文獻(xiàn)[16-17]提出的覆蓋粗糙Vague集模型描述如下:

2新的覆蓋粗糙Vague軟集

本文在現(xiàn)有覆蓋粗糙Vague集和Vague軟集研究的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步將2種模型融合,定義了一種新的覆蓋粗糙Vague軟集模型。

2.1覆蓋粗糙Vague軟集的定義

從定義9可以看出,在覆蓋空間(U,C)上定義的粗糙Vague軟集,表示的是在覆蓋知識(shí)C上用論域上一對(duì)可定義的下近似和上近似子集來(lái)逼近所討論的模糊對(duì)象集合, 從而可以發(fā)現(xiàn)模糊信息系統(tǒng)中一些隱藏的知識(shí)。

2.2覆蓋粗糙Vague軟集的性質(zhì)

下面討論覆蓋粗糙Vague軟集的一些重要性質(zhì)。

性質(zhì)(1)～性質(zhì)(5)依據(jù)Vague軟集的相關(guān)性質(zhì)證明較為簡(jiǎn)單,從略。這里僅對(duì)性質(zhì)(6)和(7)進(jìn)行證明,如下所示:

性質(zhì)(6)的證明過(guò)程如下:

由定義3可知:

性質(zhì)(7)的證明過(guò)程如下:由定義7可得

=inf{inf{t(F,A)(y)|y∈∩Md(x)}}

=sup{sup{f(F,A)(y)|y∈∩Md(x)}}

2.33種模型之間的關(guān)系

下面分別討論Vague軟集、覆蓋粗糙Vague集和覆蓋粗糙Vague軟集的關(guān)系。3種模型都是機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域處理不確定性信息的數(shù)學(xué)模型,但是根據(jù)上述3種模型的定義可以看出,Vague軟集兼具Vague集和軟集的代數(shù)特征,其本質(zhì)是具有Vague集區(qū)間特征的軟集。而覆蓋粗糙Vague集兼具粗糙集和Vague集的代數(shù)特征,其本質(zhì)是上下上近似算子均為Vague集的覆蓋粗糙集。本文提出的覆蓋粗糙Vague軟集兼具粗糙集和Vague軟集的代數(shù)特征,其本質(zhì)是上下上近似算子均為Vague軟集的覆蓋粗糙集,是對(duì)覆蓋粗糙Vague集和Vague軟集的進(jìn)一步推廣和擴(kuò)展。3種模型的關(guān)系如圖2所示。

圖2　3種模型之間的關(guān)系

3覆蓋粗糙Vague軟集的不確定性度量

引起覆蓋粗糙Vague軟集不確定性的因素主要有2個(gè)：①覆蓋粒度空間的知識(shí)具有顆粒型。在具有較細(xì)關(guān)系的2個(gè)覆蓋粒度空間上,其知識(shí)熵也具有偏序關(guān)系,即粒度空間越細(xì),知識(shí)熵越大,覆蓋粒度空間不確定性越小。反之,粒度空間越粗,知識(shí)熵越小,覆蓋粒度空間不確定性越大。②其本身邊界域的大小。因此類比經(jīng)典粗糙集,通過(guò)覆蓋粗糙Vague軟集本身的代數(shù)特征來(lái)定義覆蓋粗糙Vague軟集本身的粗糙度。

3.1知識(shí)熵

定義10(知識(shí)熵)設(shè)U為非空有限論域,C為U上的一個(gè)覆蓋,則覆蓋近似空間(U,C)的知識(shí)熵定義如下:

性質(zhì)2[18]設(shè)U為非空有限論域,C為U上的一個(gè)覆蓋,則覆蓋近似空間(U,C)的知識(shí)熵具有如下性質(zhì):

1) 0≤E(U,C)≤log|U|;

2) 當(dāng)?xi∈U(IndC(xi)=U)時(shí),E(U,C)取最小值0;

3) 當(dāng)?xi∈U(IndC(xi)=xi)時(shí),E(U,C)取最大值log|U|。

定理1設(shè)(U,C1)和(U,C2)為覆蓋近似空間,若C1≤3C2,則有E(U,C1)≥E(U,C2)。證明參見(jiàn)文獻(xiàn)[16]。

3.2覆蓋粗糙Vague軟集的粗糙度

定義11(覆蓋粗糙Vague軟集的粗糙度)

3.3覆蓋粗糙Vague軟集的不確定性度量方法

下面定義基于熵的覆蓋粗糙Vague軟集不確定性度量方法:

上述覆蓋粗糙Vague軟集的不確定性度量方法,既反映了覆蓋粗糙空間的粒度大小也反映了覆蓋粗糙Vague軟集本身的粗糙度,因此可以度量覆蓋粗糙Vague軟集的不確定性。

4算例分析

例1設(shè)論域(U,C)為檢測(cè)到的7位胃病患者xi(i=1,…,7)的1組胃電信號(hào)(EGG),用一覆蓋近似空間表示,記為U={x1,x2,…,x7},將7位胃病患者隨機(jī)劃分為2類,分別分析每類患者胃電信號(hào)數(shù)據(jù)的不確定性,用U上的2個(gè)覆蓋分別表示為

由于胃電信號(hào)(EGG)主要受電極擺放、胃的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)、胃壁位置變化3個(gè)參數(shù)影響,用Vague軟集(F,A)表示為

知,C2≤3C1,由定義10計(jì)算知E(U,C1)=1.079;E(U,C2)=1.550,顯然E(U,C1)

由覆蓋粗糙Vague軟集定義可得

取β=0.3,α=0.4,有

計(jì)算覆蓋粗糙Vague軟集不確定性度量為

5結(jié)論

本文在覆蓋粗糙集理論和Vague軟集理論研究的基礎(chǔ)上，在覆蓋近似空間下將粗糙集與Vague軟集進(jìn)行融合，提出了一種新的處理不確定性信息的數(shù)學(xué)模型-基于近鄰域的覆蓋粗糙Vague軟集，并給出了該模型滿足的各類性質(zhì)及證明。另外，結(jié)合覆蓋近似空間下知識(shí)熵及覆蓋粗糙Vague軟集粗糙度的概念，提出了一種覆蓋粗糙Vague軟集的不確定性度量方法，并將該模型及其不確定性度量方法應(yīng)用于胃電信號(hào)分析，實(shí)驗(yàn)表明，覆蓋粗糙Vague軟集模型為胃電信號(hào)處理及胃疾病輔助診斷問(wèn)題提供了良好的理論工具和數(shù)學(xué)模型。

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Integrating of Rough Sets and Vague Soft Sets Theory in Covering Approximation Space

Chen Penggang, Feng Xiaoyi, Mao Xiaofei

(School of Electronics and Information, Northwestern Polytechnical University, Xi′an 710072, China)

Abstract:Proposed in this paper is a novel covering rough Vague soft sets model based on neighbor domain and some related properties, which is applied to the problem of integrating rough sets ,Vague sets and soft sets theory in covering approximation space. At the same time, a new uncertainty measurement method is defined, which is applied to the problem of uncertainty measurement for covering rough Vague soft sets. In this method, first, the uncertainty of covering granular space based on knowledge entropy in covering granular space is defined. Next, the roughness for covering rough Vague soft sets itself is defined based on roughness. Then, the knowledge entropy in covering granular space and roughness for covering rough Vague soft sets are combinatively used to measure the uncertainty degree for covering rough Vague soft sets model. Experimental results show that this method is effective and practical, and the uncertainty degree for the covering rough Vague soft sets increase with the increase of the covering granularity. Experimental results show that the covering rough Vague soft sets has good application prospect in EGG analysis and the auxiliary diagnosis problem .

Keywords:covering rough sets; Vague sets; soft sets; uncertainty

收稿日期：2015-09-24

作者簡(jiǎn)介：陳鵬崗(1974—),西北工業(yè)大學(xué)博士研究生, 主要從事信號(hào)處理的研究。

中圖分類號(hào)：TP18

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào):1000-2758(2016)04-0642-08