非局部擴散的非自治拋物方程動力學行為

常偉偉,李曉軍

(河海大學 理學院，江蘇 南京 210098)

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非局部擴散的非自治拋物方程動力學行為

常偉偉,李曉軍

(河海大學 理學院，江蘇 南京 210098)

摘要：考慮帶非局部擴散的非自治拋物方程解的長時間行為,當時間符號項于(?；H-1(Ω))和(?;L2(Ω))中平移有界時,證明該系統(tǒng)所對應的過程在L2(Ω)與(Ω)中存在一致吸引子。

關鍵詞：一致吸引子；非局部擴散；非自治拋物方程

0引言

(1)

其中：Ω?N為有界開集；a∈C(,+)為局部Lipschitz連續(xù)函數(shù)，滿足

0

(2)

其中：m,M為正常數(shù)。l∈(L2(Ω))′,f∈C()且存在常數(shù)η>0,cf≥0滿足

(3)

(f(s)-f(r))(s-r)≤η(s-r)2,?s,r∈。

(4)

1預備知識

首先給出解的定義及其有關結果。

(5)

由式(2)、式(3)及定義1可知：方程(1)的弱解滿足u′∈L2(τ,T;H-1(Ω))。因此，由文獻[12]中的定理7.2可知：u∈C([τ,T];L2(Ω))。進一步，對任意的τ≤s≤t,方程(1)的弱解滿足能量等式：

(6)

(7)

下面給出方程(1)的適定性,證明見文獻[7]。

定理1假設a是局部Lipschitz連續(xù)且滿足式(2)，f∈C()滿足式(3)和式(4)，l∈(L2(Ω))′。如果(;H-1(Ω))，則對任意uτ∈L2(Ω)，方程(1)有唯一弱解u(t)存在，且連續(xù)地依賴于初值。進一步如果(;L2(Ω))，則對?ε>0,T>τ+ε，弱解u滿足u∈C((τ,T)。若，則且u是強解。

考慮下面抽象非自治發(fā)展方程：

?tu=Aσ(t)(u),t∈。

(8)

對任意的s∈,由方程(8)給定一發(fā)展算子Aσ(s)(.):E1→E0，其中，E1,E0是Banach空間，函數(shù)參數(shù)是σ(s),s∈，表示方程依賴于時間，稱為時間符號。σ(s)的函數(shù)值屬于某一度量空間或Banach空間Ξ，也就是說，對任意的(或a.e.)s∈,σs∈Ξ。

給定方程(8)的初值：

(9)

其中：E是一個Banach空間，滿足E1?E?E0。假設對任意的符號σs∈∑，∑?Ξ是一個參數(shù)集，方程(8)和式(9)對任意的τ∈和uτ∈E是唯一可解的。因此，方程(8)和式(9)的解可以用雙參數(shù)算子來表示：

u(t)=Uσ(t,τ)uτ,uτ∈E,?t≥τ,t,τ∈,σ=σ(s)∈∑。

定義3定義于Banach空間E上的雙參數(shù)映射族{Uσ(t,τ),t≥τ,τ∈},σ∈∑，稱為關于符號σ∈∑的一族過程，如果對任意的σ∈∑，

Uσ(t,τ):E→E,t≥τ,τ∈,

滿足下面的多重特性：

(Ⅰ)Uσ(t,s)Uσ(s,τ)=Uσ(t,τ),?τ≤s≤t,τ∈。

(Ⅱ)Uσ(τ,τ)=Id是恒等算子,τ∈。

由方程(8)和式(9)的唯一可解性知，下面的平移等同性有效：

Uσ(t+h,τ+h)=UT(h)σ(t,τ), ?σ∈∑,t≥τ,τ∈,h≥0,

定義4集合B0?E稱為過程{Uσ(t,τ)}，σ∈∑的一致吸收集，如果對任意的τ∈，B∈B(X)，都存在t0=t0(τ,B)≥τ，則下式成立：

定義5集合A∑是過程{Uσ(t,τ)}，σ∈∑的一致(w.r.t.σ∈∑)吸引子，如果A∑是一致(w.r.t.σ∈∑)吸引Ε中的任何有界集(一致吸引特性)，且包含于任何一個閉的一致吸引集A′中，即A∑?A′(最小特性)。

本文將用到下面的抽象結果：

定理2[13]令∑是一Banach空間的子集，且在平移半群T(t)下是連續(xù)不變的(T(t)∑=∑)，并滿足平移等同性。一族過程{Uσ(t,τ)}，σ∈∑，擁有一個緊的一致(w.r.t.σ∈∑)吸引子A∑滿足

A∑=ω0,∑(B0)=ωτ,∑(B0),?τ∈，

當且僅當{Uσ(t,τ)}，σ∈∑，滿足：

(Ⅰ)有一個有界的一致(w.r.t.σ∈∑)吸收集B0。

(Ⅱ)是一致(w.r.t.σ∈∑)ω-極限緊的。

另外，若∑是Ξ中的弱緊集，{Uσ(t,τ)}是弱連續(xù)的，且滿足條件(Ⅰ)和條件(Ⅱ),則A∑滿足：

其中：∑0為∑的弱閉包；Kσ(0)為在t=0時核Kσ的截片。

2主要結果

(10)

(11)

引理1假設f滿足式(3)、式(4)和式(10)，且h∈∑，那么方程(1)所生成的過程族{Uh(t,τ)}，h∈∑在L2(Ω)存在一致(w.r.t.h∈∑)吸收集B0。

證明方程(1)的兩邊與u作內(nèi)積得：

由Cauchy-Schwarz不等式、式(3)和式(10)可得：

(12)

故由Young不等式可得：

(13)

應用Poincare不等式和式(13)可得：

其中：0<θ

(14)

引理2在引理1的假設下，方程(1)所生成的過程族{Uh(t,τ)}，h∈∑在L2(Ω)是一致(w.r.t.h∈∑)ω-極限緊的。

(15)

由式(15)知：u∈C([τ,T];L2(Ω)),且u在(τ,T)上滿足等式(5)。

un在C([τ,T];H-1(Ω))中強收斂到u。

(16)

un(sn)在L2(Ω)中弱收斂于u(s*)。

(17)

如果證明

un在C([τ,T];L2(Ω))中強收斂到u，

(18)

由此，可得到{un(tn,τ,fn,uτn)}在L2(Ω)是相對緊。假設存在ε>0及序列{tn}?[τ,T]，不失一般性，設tn收斂到t*，有：

(19)

由式(18)推出：

(20)

另一方面，應用能量等式(6)、Young不等式、式(2)和式(10)得：

其中：z代表u或un。定義下面函數(shù)：

由u和un的正則性，Jn和J在[τ,T]上是連續(xù)非增函數(shù)，可得：

Jn(s)→J(s),?s∈[τ,T]。

故存在{tk}?[τ,T]滿足tk→t*，當k→+∞時，有：

對ε>0，存在k(ε)≥1，由J在[τ,T]上的連續(xù)性知：

Jn(tn)-J(t*)≤Jn(tk(ε))-J(t*)≤

ε,?n≥nε。

(21)

由定理1可知：

引理3在引理1的假設下，方程(1)所生成的過程族{Uh(t,τ)}，h∈∑在L2(Ω)上連續(xù)。

由引理1～引理3，應用定理2，有以下主要結果：

定理3假設f滿足式(3)、式(4)和式(10)，則由式(1)產(chǎn)生的過程族{Uh(t,τ)}，h∈∑在L2(Ω)有一致(w.r.t.h∈∑)吸引子A，A在L2(Ω)中是緊的，且吸收L2(Ω)中的所有有界集。進而

其中：B0為L2(Ω)的一致(w.r.t.h∈∑)吸收集；Kh(s)為在t=s時核Kh的截片。

證明方程(1)兩邊用-△u于L2(Ω)中作內(nèi)積，可得:

(22)

應用式(2)、式(3)和Poincare不等式，由式(22)可得：

(23)

由引理1可知，過程{Uh(t,τ)}于L2(Ω)中存在一致吸收集B0，故存在T=T(B0)，由式(13)可得：

(24)

3結束語

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基金項目：國家自然科學基金項目(11571092)

作者簡介：常偉偉(1990-)，女，河南南陽人，碩士生；李曉軍(1970-)，男，甘肅定西人，副教授，博士，碩士生導師，主要研究方向為非線性泛函分析.

收稿日期：2016-01-04

文章編號：1672-6871(2016)05-0077-06

DOI:10.15926/j.cnki.issn1672-6871.2016.05.017

中圖分類號：O175

文獻標志碼：A