不確定隨機(jī)閉環(huán)物流網(wǎng)絡(luò)的機(jī)會(huì)約束模型及性質(zhì)

運(yùn)蕾蕾,張興芳

(聊城大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山東 聊城 252059)

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不確定隨機(jī)閉環(huán)物流網(wǎng)絡(luò)的機(jī)會(huì)約束模型及性質(zhì)

運(yùn)蕾蕾,張興芳

(聊城大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山東 聊城 252059)

摘要：提出了同時(shí)具有隨機(jī)性和不確定性的閉環(huán)物流網(wǎng)絡(luò)問題。基于機(jī)會(huì)理論,視具有隨機(jī)性的參數(shù)(產(chǎn)地和銷售地之間的單位運(yùn)輸成本)為具有概率分布函數(shù)的隨機(jī)變量,具有不確定性的參數(shù)(客戶區(qū)和銷售地之間的單位運(yùn)輸成本及客戶需求)為不確定分布的不確定變量。在產(chǎn)銷平衡、運(yùn)費(fèi)及客戶需求的機(jī)會(huì)約束下,建立了以閉環(huán)物流運(yùn)費(fèi)(不確定隨機(jī)變量)的期望最小為目標(biāo)的閉環(huán)物流新模型,稱為不確定隨機(jī)閉環(huán)物流網(wǎng)絡(luò)的機(jī)會(huì)約束模型。給出了在特殊不確定分布下的模型性質(zhì),由此得到與其等價(jià)的具體形式。

關(guān)鍵詞：閉環(huán)物流；不確定隨機(jī)閉環(huán)物流；機(jī)會(huì)理論；機(jī)會(huì)約束

0引言

隨著經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展,人們的生活水平日益提高,產(chǎn)品需求量的增加及交通運(yùn)輸?shù)陌l(fā)展,產(chǎn)生了物流網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化問題。隨著社會(huì)的進(jìn)步,人們也越來越重視經(jīng)濟(jì)效益和環(huán)境保護(hù),以及廢舊產(chǎn)品的回收和再利用。 1998年,文獻(xiàn)[1]首次將包含廢舊產(chǎn)品的回收和再利用的物流網(wǎng)絡(luò)稱為閉環(huán)物流網(wǎng)絡(luò)。閉環(huán)物流網(wǎng)絡(luò)包括：產(chǎn)品從產(chǎn)地運(yùn)往銷售地再到客戶區(qū)的正向物流；可回收產(chǎn)品從客戶區(qū)經(jīng)銷售地再運(yùn)回工廠或垃圾站的逆向物流。很多學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了深入研究 ,建立了各種模型,并給出了多種解法[2-5]。文獻(xiàn)[2]給出了閉環(huán)供應(yīng)鏈架構(gòu)及其對(duì)環(huán)境的影響。 文獻(xiàn)[3]對(duì)廢舊產(chǎn)品回收再制造物流網(wǎng)絡(luò)的經(jīng)營成本以及廢舊資源的再利用進(jìn)行了研究，建立了一個(gè)閉環(huán)物流網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化模型。文獻(xiàn)[4]利用混合整數(shù)線性規(guī)劃的方法,提出了一種多產(chǎn)品、有能力限制的再制造閉環(huán)物流網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化設(shè)計(jì)模型,并確定了網(wǎng)絡(luò)中各種設(shè)備的數(shù)量和位置。

上述文獻(xiàn)關(guān)于閉環(huán)物流網(wǎng)絡(luò)的研究都假定涉及的參數(shù)是確定的。然而,在現(xiàn)實(shí)問題中,許多參數(shù)難以確定。當(dāng)參數(shù)具有足夠的樣本數(shù)據(jù)時(shí),可以用概率論進(jìn)行處理。當(dāng)參數(shù)沒有歷史的數(shù)據(jù)時(shí),只能基于相關(guān)領(lǐng)域?qū)＜夜烙?jì)事件發(fā)生的可能性程度(或信度)來處理這種參數(shù)。主觀概率和模糊集理論已經(jīng)分別給出了處理專家信度的方法。文獻(xiàn)[6-8]基于規(guī)范性公理、對(duì)偶性公理、次可加性公理和乘積公理的不確定測(cè)度提出了處理不確定性的不確定理論。目前，不確定理論已經(jīng)應(yīng)用到許多領(lǐng)域[9-11]。然而，在一個(gè)系統(tǒng)中往往一些不確定參數(shù)有歷史的數(shù)據(jù),而另一些沒有。為解決這種既含有隨機(jī)性又含有不確定性的問題,文獻(xiàn)[8，12]提出了機(jī)會(huì)理論。目前，機(jī)會(huì)理論已經(jīng)被應(yīng)用到多個(gè)領(lǐng)域[13-14]。

本文基于機(jī)會(huì)理論，研究同時(shí)帶有隨機(jī)性和不確定性的閉環(huán)物流網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化問題。在該問題中,產(chǎn)地與銷售地之間的單位運(yùn)輸成本為具有概率分布函數(shù)的隨機(jī)變量，客戶區(qū)與銷售地之間的單位運(yùn)輸成本和客戶需求為具有不確定分布的不確定變量,以整個(gè)閉環(huán)物流的運(yùn)費(fèi)(不確定隨機(jī)變量)的期望最小為目標(biāo),總成本小于其期望值的不確定測(cè)度,客戶需求的機(jī)會(huì)和產(chǎn)銷平衡為約束。本文將上述問題形式化,并研究特殊不確定分布下的模型性質(zhì)，從而得到與其等價(jià)的具體形式。

1預(yù)備知識(shí)

定義1[6-8]如果不確定變量ξ的不確定分布φ存在反函數(shù)φ-1(α),α∈(0,1),則稱不確定分布φ是正規(guī)的,且稱φ-1(α)為ξ的逆不確定分布。

定義2[6-8]如果不確定變量ξ有一個(gè)不確定分布：

則稱它為Zigzag不確定分布,記作Z(a,b,c),a

定義3[6-8]如果不確定變量ξ有一個(gè)不確定分布：

則稱ξ為線性的,且稱ξ的不確定分布為線性不確定分布,記作L(a,b),其中a,b是實(shí)數(shù)且a

定義4[6-8]若ξ是不確定變量,則稱

為ξ的期望值,其中,兩個(gè)積分中至少有一個(gè)是有限的。

定理1[6-8]設(shè)ξ為不確定變量,并且有正規(guī)的不確定分布φ。如果ξ存在期望值,那么

設(shè)(Γ,L,M)是一個(gè)不確定空間,(Ω,A,Pr)是一個(gè)概率空間，則稱乘積(Γ,L,M)×(Ω,A,Pr)為一個(gè)機(jī)會(huì)空間。

定義6[12]設(shè)ξ是機(jī)會(huì)空間(Γ,L,M)×(Ω,A,Pr)到實(shí)數(shù)集的一個(gè)函數(shù)。如果對(duì)于任何Borel集B,Θ={ξ∈B}是L×Α的一個(gè)事件,則稱ξ為不確定隨機(jī)變量。

定理2[12]設(shè)f:Rn→R是一個(gè)可測(cè)函數(shù),且ξ1,ξ2,…,ξn是機(jī)會(huì)空間(Γ,Υ,M)×(Ω,A,Pr)的不確定隨機(jī)變量，則：

ξ(γ，ω)=f(ξ1(γ,ω),ξ2(γ,ω),…,ξn(γ,ω)),(γ,ω)∈?！力?/p>

是一個(gè)不確定隨機(jī)變量。

定理3[12,8]設(shè)獨(dú)立的隨機(jī)變量η1,η2,…,ηm分別服從概率分布函數(shù)ψ1,ψ2,…,ψm,且獨(dú)立的不確定變量τ1,τ2,…,τn分別有不確定分布γ1,γ2,…,γn,則不確定隨機(jī)變量ξ=f(η1,η2,…,ηm,τ1,τ2,…,τn)的機(jī)會(huì)分布為：

φ(x)=∫RmF(x·，y1,y2,…,ym)dψ1(y1)…dψm(ym)，yi∈R,i=1,2,…,m，

定理 4[12,8]設(shè)η是隨機(jī)變量,τ是不確定變量,a,b是常數(shù)。 則有:

E[aη+bτ]=aE[η]+bE[τ]。

2閉環(huán)物流網(wǎng)絡(luò)的機(jī)會(huì)約束模型

2.1問題描述及符號(hào)表示

假設(shè)某生產(chǎn)商已經(jīng)建立了一種產(chǎn)品的n1個(gè)生產(chǎn)地，計(jì)劃從這些生產(chǎn)地向n2個(gè)銷售地供貨,再從銷售地銷往n3個(gè)客戶區(qū)。為了節(jié)約成本，擔(dān)負(fù)起集中回收廢舊產(chǎn)品的義務(wù)并進(jìn)行篩選,完全報(bào)廢的產(chǎn)品運(yùn)往垃圾廠集中銷毀，生產(chǎn)地則對(duì)回收的未報(bào)廢的產(chǎn)品進(jìn)行再制造。于是正向物流和逆向物流就形成了閉環(huán)物流網(wǎng)絡(luò)，見圖1。制定從生產(chǎn)地到銷售地、銷售地到客戶區(qū)、客戶區(qū)到回收站及回收站到再制造站或垃圾站的最優(yōu)分配運(yùn)輸方案，使得運(yùn)費(fèi)最小。

圖1　閉環(huán)物流網(wǎng)絡(luò)圖

為了模型化上述閉環(huán)物流網(wǎng)絡(luò)問題,作進(jìn)一步的假設(shè)：

I：生產(chǎn)地/再制造站的集合,i=1,2,…,n1,i∈I。

J：備選銷售地/回收站地點(diǎn)的集合,j=1,2,…,n2,j∈J。

K：客戶區(qū)固定位置的集合,k=1,2,…,n3,k∈K。

N：備選垃圾站地點(diǎn)的集合,n=1,2,…,n4,n∈N。

ξk：客戶區(qū)k∈K的產(chǎn)品需求量。它們是具有不確定分布φξk的不確定變量。

e：各客戶區(qū)的廢舊產(chǎn)品可回收率。

v:回收站j∈J廢舊產(chǎn)品的報(bào)廢率。

τij：從生產(chǎn)地/再制造站i到銷售地/回收站j的產(chǎn)品單位運(yùn)輸成本,i∈I,j∈J。它們是具有概率分布ψτij的隨機(jī)變量。

γjk：從銷售地/回收站j到客戶區(qū)k的產(chǎn)品單位運(yùn)輸成本,j∈J,k∈K。它們是具有不確定分布φγjk的不確定變量。

γkj：從客戶區(qū)k到銷售地/回收站j的可回收產(chǎn)品單位運(yùn)輸成本,k∈K,j∈J,γkj=γjk。它們是具有不確定分布φγkj=φγjk的不確定變量。

τji：從銷售地/回收站j到生產(chǎn)地/再制造站i的可再制造產(chǎn)品單位運(yùn)輸成本,i∈I,j∈J,τji=τij。它們是具有概率分布ψτji=ψτij的隨機(jī)變量。

pjn：從銷售地/回收站j到垃圾站n的報(bào)廢產(chǎn)品單位運(yùn)輸成本。

Iij：從生產(chǎn)地/再制造站i到銷售地/回收站j的產(chǎn)品運(yùn)輸數(shù)量。

Ujk：從銷售地/回收站j到客戶區(qū)k的產(chǎn)品運(yùn)輸數(shù)量。

Qkj：從客戶區(qū)k到銷售地/回收站j的可回收產(chǎn)品運(yùn)輸數(shù)量。

Jji：從銷售地/回收站j到生產(chǎn)地/再制造站i的可再制造產(chǎn)品運(yùn)輸數(shù)量。

Tjn：從銷售地/回收站j到垃圾站n的報(bào)廢產(chǎn)品運(yùn)輸數(shù)量。

2.2數(shù)學(xué)模型

基于上述問題的假設(shè),總花費(fèi)為：

f(x，γ，τ)=f(Iij,Ujk,Qkj,Jji,Tjn,τij，τji，γjk，γkj，i∈I,j∈J,k∈K,n∈N)=

記

根據(jù)不確定隨機(jī)變量期望的性質(zhì)(定理4),期望總花費(fèi)為：

E[f(x,γ,τ)]=E[f1]+E[f2]+f3=

于是提出模型(a)如下：

(2)

(7)

Wi,Gj,Hn∈{0,1}， ?i∈I,?j∈J,?n∈N；

(8)

Iij,Ujk,Qkj,Jji,Tjn≥0， ?i∈I,?j∈J,?n∈N,?k∈K，

(9)

其中：α,βk(>0.5),k∈K均為常數(shù);式(1)表示不確定隨機(jī)變量f小于其期望值的不確定測(cè)度不小于α；式(2)表示銷售地的產(chǎn)品數(shù)量供應(yīng)不小于客戶區(qū)的產(chǎn)品需求量的不確定測(cè)度不小于βk；式(3)表示客戶區(qū)到回收站的回收數(shù)量不小于客戶需求的回收數(shù)量；式(4)～式(7)表示生產(chǎn)地/再制造站與銷售地/回收站的正向物流量和逆向物流量守恒；式(8)～式(9)表示各變量的取值范圍。

稱模型(a)為不確定隨機(jī)閉環(huán)物流問題的機(jī)會(huì)約束模型。注意：模型(a)的目標(biāo)是不確定隨機(jī)變量-總花費(fèi)f的期望值最小。 所以在模型(a)中,使用了Ch{f≤E[f]}≥α作為約束。它的意義在于限制風(fēng)險(xiǎn),這是科學(xué)的。

為了求解模型(a),下面探討目標(biāo)函數(shù)f(x，γ，τ)、式(1)、式(2)和式(3)。

因此，

定理7假設(shè)ψ(y)是隨機(jī)變量f1的概率分布函數(shù),φ(x)是f2的不確定分布函數(shù),則式(1)等價(jià)于

證明因ψ(y)是隨機(jī)變量f1的概率分布函數(shù),φ(x)是f2的不確定分布函數(shù),所以由定理4和定理5可知：

定理8如果不確定變量γjk=γkj有線性不確定分布L(akj,bkj),不確定變量ξk,k∈K具有Zigzag不確定分布Z(ak,bk,ck)，且βk≥0.5,則模型(a)等價(jià)于下面的模型(b)：

證明因?yàn)椴淮_定變量γjk=γkj有線性不確定分布L(akj,bkj),所以由定理1知：

3結(jié)束語

本文假設(shè)產(chǎn)地和銷售地之間的單位運(yùn)輸成本具有歷史的數(shù)據(jù),客戶區(qū)和銷售地之間的單位運(yùn)輸成本和客戶需求沒有歷史的數(shù)據(jù)，基于機(jī)會(huì)理論,利用總成本的機(jī)會(huì)約束以及不確定隨機(jī)變量的期望公式,提出了一個(gè)新的數(shù)學(xué)模型，稱為不確定隨機(jī)閉環(huán)物流網(wǎng)絡(luò)的機(jī)會(huì)約束模型。提供了不確定變量具有Zigzag分布或線性分布的模型性質(zhì)，并得到了與相應(yīng)模型等價(jià)的具體計(jì)算形式。

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基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11471152,61273044)

作者簡(jiǎn)介：運(yùn)蕾蕾(1991-),女,山東聊城人,碩士生;張興芳(1957-),女,山東聊城人,教授,碩士生導(dǎo)師,主要研究方向?yàn)椴淮_定數(shù)學(xué)理論及應(yīng)用.

收稿日期：2016-03-13

文章編號(hào)：1672-6871(2016)05-0071-06

DOI:10.15926/j.cnki.issn1672-6871.2016.05.016

中圖分類號(hào)：O29

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A