一類(lèi)算子方程邊值問(wèn)題的可解性

金啟勝

(安慶職業(yè)技術(shù)學(xué)院 公共基礎(chǔ)部，安徽 安慶 246003)

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一類(lèi)算子方程邊值問(wèn)題的可解性

金啟勝

(安慶職業(yè)技術(shù)學(xué)院 公共基礎(chǔ)部，安徽 安慶 246003)

摘要：利用泛函的極小函數(shù)研究了一類(lèi)算子方程邊值問(wèn)題的可解性，得到對(duì)稱(chēng)正算子方程有解的充分必要條件，以及泛函存在極小函數(shù)的充分條件。并對(duì)三種邊值問(wèn)題的實(shí)例進(jìn)行了驗(yàn)證。

關(guān)鍵詞：對(duì)稱(chēng)算子；正算子；正定算子；極小函數(shù)；Green第二公式

0引言

(1)

的線性定解問(wèn)題。其中L,Lj是線性微分算子，f(x)是已知函數(shù)。

此線性定解問(wèn)題對(duì)應(yīng)于Hilbert空間H中一個(gè)線性算子方程Au=f(x)，其中A的定義域DA是H的一個(gè)線性稠密子集合。比如當(dāng)H=L2(Ω)時(shí)，取

Au的值與Lu的值在DA上是相同的。故求解方程(1)就是在DA上求解方程：

Au=f(x)。

定義1對(duì)任意的u,v∈DA，如果算子A滿足等式(Au,v)=(u,Av)，則稱(chēng)A為對(duì)稱(chēng)算子。

定義2設(shè)A是定義在Hilbert空間H的某一線性稠密子集DA上的線性算子，如果對(duì)DA中任意元素u，有(Au,u)≥0且等號(hào)成立時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)u=0，則稱(chēng)A為正算子。

定義3設(shè)A是DA上線性算子，如果存在常數(shù)γ>0，對(duì)任意的u∈DA都有(Au,u)≥γ2(u,u)，則稱(chēng)A是DA上的正定算子。

在DA上引入新內(nèi)積[u,v]=(Au,v)；和新內(nèi)積對(duì)應(yīng)的新范數(shù)記為：

根據(jù)算子A的正定性可知，原空間H和新空間H*的范數(shù)滿足：‖u‖‖u‖*。

2主要結(jié)論及證明

定理1 若A為正算子，則方程Au=f(x)至多有一個(gè)解u∈DA。

證明如果Au=f(x)有兩個(gè)解u,v，則Au=f(x)，Av=f(x)。二式相減得：

A(u-v)=0，所以(A(u-v),u-v)=0，又A為正算子，所以u(píng)-v=0，即u=v。

定理2設(shè)A為對(duì)稱(chēng)正算子，若方程Au=f(x)有解u0∈DA，則u0必是泛函：

F(u)=(Au,u)-2(u,f)

(2)

的極小函數(shù)；反之，若u0∈DA是F(u)的極小函數(shù)，則有Au0=f(x)。

證明泛函F(u)和算子A的定義域相同。設(shè)Au0=f(x)，對(duì)任何v∈DA，v≠u(mài)0，令η=v-u0，因?yàn)镈A是線性子集合，則η∈DA。根據(jù)算子A的對(duì)稱(chēng)性得：

F(v)=F(u0+η)=(A(u0+η),u0+η)-2(u0+η,f)，

=(Au0,u0)+2(Au0,η)+(Aη,η)-2(u0,f)-2(η,f)，

=F(u0)+2(Au0-f,η)+(Aη,η)=F(u0)+(Aη,η)>F(u0)。

所以u(píng)0必是泛函F(u)=(Au,u)-2(u,f)的極小函數(shù)。

反之，設(shè)u0∈DA是F(u)的極小函數(shù)，η∈DA，則u0+λη∈DA，λ∈R。當(dāng)

如果Au0-f∈DA，取η=Au0-f，所以Au0-f=0，即Au0=f(x)。

ηn→Au0-f在H中成立，于是由(Au0-f,ηn)=0得(Au0-f,Au0-f)=0，所以Au0=f(x)，即u0是算子方程Au=f(x)的解。

定理3若A為對(duì)稱(chēng)正定算子，則泛函F(u)在H*中存在極小函數(shù)。

?u∈H*。

所以泛函F(u)在u=u0時(shí)取得極小值。

3應(yīng)用舉例

設(shè)Ω是Rm(m≥2)中有界區(qū)域，對(duì)于位勢(shì)方程-Δu=f(x),x∈Ω，考慮三種邊值問(wèn)題的邊界條件：

其中σ0是正常數(shù)，ν是?Ω的單位外法向。求解這三類(lèi)邊值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求對(duì)應(yīng)的泛函的極小函數(shù)問(wèn)題。這就必須先驗(yàn)證各自對(duì)應(yīng)的算子為對(duì)稱(chēng)正算子。取Hilbert空間為L(zhǎng)2(Ω)。

(1)對(duì)應(yīng)于Dirichlet問(wèn)題的算子-Δ定義域?yàn)椋?/p>

若u,v∈D1，由Green第二公式得：

所以-Δ是D1上的對(duì)稱(chēng)算子。另外，當(dāng)u∈D1時(shí)，有：

當(dāng)且僅當(dāng)u恒等于常數(shù)時(shí)等號(hào)成立。由u的連續(xù)性及邊界條件得在Ω上u≡0。所以-Δ是D1上的對(duì)稱(chēng)正算子。

(2)對(duì)于Neumann問(wèn)題，不是對(duì)任何函數(shù)都是可解的。因?yàn)閷?duì)方程-Δu=f(x),x∈Ω兩邊在Ω上積分，運(yùn)用基本解公式及邊界條件得：

另外，任何一個(gè)解加上一個(gè)常數(shù)后仍然是問(wèn)題的解，為了保證解唯一就必須附加條件。比如所求解滿足∫Ωudx=0，顯然此時(shí)的解唯一。選擇對(duì)應(yīng)于Neumann問(wèn)題的算子-Δ定義域?yàn)椋?/p>

(3)對(duì)應(yīng)于Robin問(wèn)題的算子-Δ定義域?yàn)椋?/p>

(-Δu,v)-(u,-Δv)=-∫Ω(vΔu-uΔv)dx，

所以-Δ是D3上的對(duì)稱(chēng)算子。另外，當(dāng)u∈D3時(shí)，有：

(-Δu,u)=-∫ΩuΔudx，

(-Δu,u)=0?u≡0，所以-Δ是D3上的對(duì)稱(chēng)正算子。

所以根據(jù)定理2得，(1)、(2)、(3)三問(wèn)題的求解依次化為下列泛函：

分別在集合D1，D2，D3上求極小函數(shù)問(wèn)題。

最后，我們驗(yàn)證泛函的極小函數(shù)存在問(wèn)題，即驗(yàn)證算子-Δ在對(duì)應(yīng)的線性集合上是正定的。對(duì)于本文中提到的三種邊值問(wèn)題，我們只驗(yàn)證Robin問(wèn)題的算子-Δ是D3上的正定算子。對(duì)于算子-Δ在D1，D2上是正定的可類(lèi)似進(jìn)行驗(yàn)證。

設(shè)區(qū)域Ω在第一象限，且完全含于閉域Ω1={0xa,0yb}之內(nèi)。根據(jù)不等式(-Δu,u)

為此我們令u=gv，其中v是未知函數(shù)，g是待定函數(shù)。

≥-v2gΔg+(v2ggx)x+(v2ggy)y。

將上面不等式在Ω上積分，并且利用散度定理得到：

-?Ωv2gΔgdxdy?，即

c1?Ωu2dxdy?，取，即得不等式

所以，算子-Δ是D3上的正定算子。

參考文獻(xiàn)：

[1]陳祖墀.偏微分方程[M].合肥:中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社,2004.

[2]曾志芳,朱傳喜.半序空間中三元算子方程的可解性問(wèn)題的研究[J].系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)，2014,34(5):582-588.

[3]馮育強(qiáng),劉三陽(yáng).半序空間中一類(lèi)算子方程的可解性[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2003,46(2):411-416.

[4]姚福元.一類(lèi)算子方程的可解性[J].科學(xué)通報(bào)，1991,36(11):804-806.

責(zé)任編輯：程艷艷

Solvability of Boundary Value Problem of a Class of Operator Equations

JIN Qisheng

(Department of Public Fundamental Courses, Anqing Vocational and Technical College, Anqing 246003, China)

Abstract：This paper discusses the solvability of boundary value problem of a class of operator equations by using the minimum function, getting the necessary and sufficient conditions for symmetric positive solutions to operator equations, as well as the sufficient condition for the existence of the minimum function in functions. And three kinds of boundary value problems are verified by examples.

Keywords：symmetric operator; positive operator; positive definite operator; minimum function; second formula of Green

收稿日期：2016-04-29

基金項(xiàng)目：2015年安徽省質(zhì)量工程項(xiàng)目(2015jyxm539)；2016年安徽省自然科研項(xiàng)目(KJ2016A447)

作者簡(jiǎn)介：金啟勝(1972-)，男，安徽桐城人，副教授，碩士，主要從事微分方程方面研究。

中圖分類(lèi)號(hào)：O175.2

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1009-3907(2016)06-0054-04