一類具線性擴散作用的退化拋物方程解的存在性

梁　波,高　馨,汪　穎,彭曦霆

(大連交通大學 理學院，遼寧 大連 116028)

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一類具線性擴散作用的退化拋物方程解的存在性

梁波*,高馨,汪穎,彭曦霆

(大連交通大學 理學院，遼寧 大連 116028)

摘要：研究一類具線性擴散作用的退化拋物方程解的存在性問題.在初邊值滿足一定條件時，利用時間離散化并構(gòu)造極小元泛函的方法，結(jié)合龐開來不等式和楊不等式，獲得離散問題的存在性.其次,通過構(gòu)造此退化拋物方程的逼近解,獲得逼近解的一致性估計，進而保證收斂性結(jié)果,最后證得弱解的存在性.

關(guān)鍵詞：退化拋物方程; 弱解; 存在性

0引言

主要研究如下具有線性擴散項的四階退化拋物方程初邊值問題：

(1)

v=Δv=0,x∈?Ω,t>0

(2)

v=(x,0)=v0(x),x∈Ω

(3)

定義1若一個函數(shù)v滿足如下條件：

(c)在L2(Ω)中，v(x,0)=v0(x),

稱v為問題(1～3)的弱解.

為了敘述方便，這里假設(shè)k=1,當k≠1時，使用相同的證明方法.同時，文中的符號C始終表示一般的常數(shù)，不同的位置值可能不同.本文主要結(jié)論如下：

下面將分成兩部分來給出定理1中弱解存在性的證明，第一部分考慮半離散問題弱解的存在性，第二部給出逼近解的收斂極限.

1離散化問題

(4)

vk+1|?Ω=0

(5)

其中k=0,1,…,N-1,v0是初始值函數(shù).存在性如下：

滿足：

(6)

注：這里我們稱滿足(6)的函數(shù)vk+1為(4～5)的弱解.

證明為符號方便，此證明過程中，以v表示vk+1.文獻〔3〕中，采用壓縮映像原理，證明弱解的存在性.而本文參考文獻〔4〕中的極小元泛函方法，定義泛函如下

由于J(v)中第二項、第三項非負及龐開來不等式、楊不等式，可以得到

此外，我們有

‖vk‖W2,p(Ω)≤C‖Δvk‖Lp(Ω)≤C

故存在函數(shù)v使得

2逼近解極限

關(guān)于一致性估計，文獻〔5〕中提出，使用Galerkin方法構(gòu)造逼近解，利用能量估計方法得到解的一致性估計，而本文首先證明離散問題的存在性.

對于問題(1～3)定義逼近解如下：

(7)

其中vh(x,0)=v0(x),χk+1(t)是區(qū)間[kh,(k+1)h]上的特征函數(shù).我們將利用{vh}的子序列的極限獲得(1～3)的解，為此需要對{vh}做一致性估計.

引理 2對于問題(4～5)的弱解vk滿足

(8)

(9)

其中C是不依賴于h和k的常數(shù).

證明在等式(6)中取φ=vk+1，得到

利用楊不等式可得，

整理后得到

將上面不等式關(guān)于k從0到N-1累加，則有

因此(8)成立.另一方面，在積分等式(6)中取φ=vk+1-vk，有

∫Ω|Δvk+1|p-2Δvk+1Δ(vk+1-vk)dx+∫Ω▽vk+1(▽vk+1-vk)dx=0

由于完全平方項恒為非負，得到

∫Ω|Δvk+1|pdx≤∫Ω|Δvk+1|p-1|Δvk|dx+∫Ω|▽vk+1||▽vk|dx

利用楊不等式，有

對于任意正整數(shù)m且1≤m≤N-1，將上式關(guān)于k從0到m累加，有

∫Ω|Δvm|pdx≤∫Ω|Δv0|pdx+CT≤C

故(9)成立.

引理3對于(1～3)的逼近解{vh}，存在{vh}的一個子序列(本文約定仍使用原符號表示)，滿足‖▽vh‖L∞(0,T;L2(Ω))≤C，‖vh‖L∞(0,T;W2,p(Ω))≤C，‖vt‖Lp′(0,T;W-1,p′(Ω))≤C，‖vh‖C(0,T;L2(Ω))≤C.

證明可由式(7)得，對任取t∈[0，T]總存在k，使得t∈[kh,(k+1)h]有

故‖▽vh‖L∞(0,T;L2(Ω))≤C.利用(8)和(9)可得‖vh‖L∞(0,T;W2,p(Ω))≤C.那么一定存在函數(shù)w使得

|Δvh|p-2Δvh?w弱*收斂于L∞(0,T;Lp′(Ω))

(10)

∫Ω|Δvk+1|p-2Δvk+1Δφ(x,(k+1)h)dx+∫Ω▽vk+1▽φ(x,(k+1)h)dx=0

將上式從0到N-1關(guān)于k累加，利用φ(x,Nh)=φ(x,T)=0并結(jié)合(7)和(10)得到，

(11)

利用(10)，對于φ∈C1(QT)有

我們令h→0，由(11)可得

整理得到

(12)

則

(13)

由(13)可得到

(14)

即

(15)

得到‖vt‖Lp′(0,T;W-1,p′(Ω)≤C.由文獻〔6-7〕知，‖v‖C(0,T;L2(Ω)≤C.

最后來證明|Δv|p-2Δv=w于QT.在等式(12)中取φ=v，得到

(16)

另一方面在(6)中取φ=vk+1，有

(17)

對于任意的φ和ε>0，有

(18)

恒成立，選取ζ(n)=Δvh和ηε=Δ(v-εφ),再由(17)和(18)，令N→∞得到

(19)

令ε→0，得到|Δv|p-2Δv=w幾處處于QT上成立.

最后，對任何v∈W2,p(Ω)∩W1,p(Ω)，問題(1～3)的顯然是恒存在唯一的弱解.

參考文獻：

〔1〕郭金勇.一類四階非線性拋物方程弱解的存在性〔J〕.西南師范大學學報(自然科學版),2013,45(5): 23-26.

〔2〕郭金勇.退化擬拋物方程弱解的存在性〔J〕.南京師大學報(自然科學版),2013,36(2): 15-19.

〔3〕姜靜香.一類Kirchhoff型方程退化時的弱解存在性〔J〕.渤海大學學報(自然科學版),2013,36(2): 641-647

〔4〕伍卓群,尹景學,王春朋,等.橢圓與拋物型方程引論〔M〕.北京:科學出版社,2003.

〔5〕王長佳,代群.一類具有變指數(shù)偽拋物型方程解的存在唯一性〔J〕.吉林大學學報(理學版),2014,52(4): 115-120.

〔6〕SIMON J.Compact sets in the space Lp(0,T; B)[J].Ann Math Pura Appl,1987,146(1): 65-96.

〔7〕XU M,ZHOU S.Existence and uniqueness of weak solutions for a generalized thin film equation〔J〕.Nonlinear Anal,2005,60: 755-774.

Existence of solutions for a class of degenerate parabolic equation with a linear diffusion

LIANG Bo,GAO Xin,WANG Ying,PENG Xi-ting

(School of Science,Dalian Jiaotong University,Dalian 116028,China)

Abstract：The existence of solutions for a class degenerate parabolic equation with a linear diffusion is studied.Under some assumptions on the initial value,by using the time discretization method,the minimizer functional method,the Poincare inequality and Young inequality,the existence of a discrete problem is proved.Moreover,by constructing the approximation solutions of the degenerate parabolic equation,the necessary uniform estimates are obtained and then we can gain the convergence results.Finally,the existence of the weak solutions is proved.

Key words：degenerate parabolic equation; weak solutions; existence

收稿日期：2015-02-05.

基金項目：國家自然科學基金項目(No：11201045).

作者簡介：梁波(1980-)，男，副教授，主要從事非線性偏微分方程研究.

通訊作者：Cnliangbo@163.com.

中圖分類號：O175.26

文獻標志碼：A

文章編號：1673-0569(2016)02-0117-06