基于螺旋理論的滑塊群驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)自由度分析*

張　軍

(長(zhǎng)江師范學(xué)院機(jī)械與電氣工程學(xué)院，重慶涪陵408100)

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基于螺旋理論的滑塊群驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)自由度分析*

張軍

(長(zhǎng)江師范學(xué)院機(jī)械與電氣工程學(xué)院，重慶涪陵408100)

摘要：本文研究的滑塊群驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)是一種比較少見的少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)。該并聯(lián)機(jī)構(gòu)能夠?qū)崿F(xiàn)X和Y軸的移動(dòng)以及繞Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。運(yùn)用螺旋理論分別對(duì)單個(gè)分支的約束和整個(gè)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)螺旋進(jìn)行求解。通過螺旋理論中的互逆原理，求解出機(jī)構(gòu)的約束螺旋系，從幾何的線性相關(guān)性來求解機(jī)構(gòu)的自由度。通過求解約束螺旋系的最大線性無關(guān)組和剛化輸入后約束螺旋系的最大線性無關(guān)組來進(jìn)行對(duì)比分析，判斷機(jī)構(gòu)自由度選取的合理性。

關(guān)鍵詞:螺旋理論滑塊群驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)自由度約束

0引言

20世紀(jì)90年代以來，由于6自由度的并聯(lián)機(jī)構(gòu)機(jī)械結(jié)構(gòu)復(fù)雜，工作空間較小，運(yùn)動(dòng)過程控制難度較高，制造加工成本昂貴等難以逾越的弱點(diǎn)，并且通過對(duì)少自由度的并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行串聯(lián)或者并聯(lián)同樣可以實(shí)現(xiàn)6自由度機(jī)構(gòu)的功能，因此，廣大機(jī)器人研究者開始將目光轉(zhuǎn)向少自由度的并聯(lián)機(jī)構(gòu)[1-4]。在國(guó)內(nèi)的研究者中，余順年等[5]提出一種能實(shí)現(xiàn)空間一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)、二個(gè)移動(dòng)的空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)，通過對(duì)該機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)正反封閉形式的建立，對(duì)其工作空間進(jìn)行了分析。張志良等[6]對(duì)一種能夠?qū)崿F(xiàn)一維平動(dòng)和兩維轉(zhuǎn)動(dòng)的并聯(lián)機(jī)構(gòu)建立了位置方程，并求解出其的位置正逆解。張二江等[7]采用基于方位特征集的方法對(duì)即2PUS-2PRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度數(shù)目進(jìn)行分析，利用矢量法運(yùn)算建立了該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置逆解模型。

本文對(duì)一種能夠?qū)崿F(xiàn)兩個(gè)移動(dòng)和一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)的并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行研究，運(yùn)用螺旋理論描繪出機(jī)構(gòu)支鏈的運(yùn)動(dòng)螺旋和運(yùn)動(dòng)反螺旋，對(duì)機(jī)構(gòu)的自由度進(jìn)行計(jì)算和分析，最后對(duì)機(jī)構(gòu)輸入的選取進(jìn)行判別。該機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，易于控制、運(yùn)動(dòng)精度高、沖擊小，在精密機(jī)床、微制造、醫(yī)療、軍工等精密微調(diào)領(lǐng)域有較廣泛的應(yīng)用前景。

1滑塊群驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)構(gòu)型的建立

圖1　滑塊驅(qū)動(dòng)群機(jī)構(gòu)三維模型

本文研究的滑塊驅(qū)動(dòng)群機(jī)構(gòu)主要由等邊三角形的動(dòng)平臺(tái)D1D2D3和定平臺(tái)U1U2U3、以及連接兩個(gè)平臺(tái)的3條支鏈組成，每條支鏈分別由兩個(gè)移動(dòng)副和一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副依次相連組成，如圖1所示。其中支鏈1和支鏈2的下滑塊U1和U2的滑動(dòng)軌跡相互平行，支鏈3的下滑塊U3與支鏈1和支鏈2的下滑塊U1和U2運(yùn)動(dòng)軌跡垂直，每條支鏈上相連的兩個(gè)滑塊運(yùn)動(dòng)軌跡相互垂直,即Ui的運(yùn)動(dòng)軌跡垂直于Bi，每條支鏈的轉(zhuǎn)動(dòng)副的軸線位于與它相鄰移動(dòng)副的中心并且垂直于移動(dòng)副所在平面。在零位時(shí)動(dòng)平臺(tái)和定平臺(tái)完全重合。

2滑塊群驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)自由度分析

2.1各分支運(yùn)動(dòng)鏈對(duì)動(dòng)平臺(tái)施加的結(jié)構(gòu)約束

圖2　機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)螺旋

第一支鏈的運(yùn)動(dòng)螺旋系為：

(1)

第二支鏈的運(yùn)動(dòng)螺旋系為：

(2)

第三支鏈的運(yùn)動(dòng)螺旋系為：

(3)

對(duì)式(1)(2)(3)可求得該機(jī)構(gòu)的約束螺旋系為：

(4)

約束螺旋表示一個(gè)力的約束，根據(jù)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)反螺旋可知：該約束限制了機(jī)構(gòu)沿Z方向的移動(dòng)，以及X和Y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。所以該機(jī)構(gòu)的動(dòng)平臺(tái)具有2個(gè)移動(dòng)和1個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。

2.2機(jī)構(gòu)自由度及瞬時(shí)性分析

滑塊群驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)的三條支鏈分別都同時(shí)對(duì)動(dòng)平臺(tái)繞X軸和Y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)進(jìn)行了限制，即對(duì)X和Y軸產(chǎn)生約束力偶的作用，同時(shí)也對(duì)動(dòng)平臺(tái)沿Z軸的移動(dòng)進(jìn)行了限制，即對(duì)Z軸產(chǎn)生約束力的作用。因此該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的公共約束λ=3，d=6-λ=3。且機(jī)構(gòu)中不存在冗余約束和局部自由度，即υ=0，ζ=0。

并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度由Chebyshev-Grübler-Kutzbach公式[1]可得：

=3(8-9-1)+9=3

3機(jī)構(gòu)輸入的選取與判別

在該并聯(lián)機(jī)構(gòu)中，分別選取各個(gè)支鏈的底部Ui移動(dòng)副作為驅(qū)動(dòng)副，由并聯(lián)機(jī)構(gòu)的輸入選取方法可知，如果該驅(qū)動(dòng)副選取正確合理，則將該驅(qū)動(dòng)副剛化后，該機(jī)構(gòu)各個(gè)支鏈的分支螺旋系的秩為滿秩。

3.1約束反螺旋最大線性無關(guān)組

由機(jī)構(gòu)的約束螺旋系可知，機(jī)構(gòu)有三個(gè)公共約束，每條支鏈都分別限制了動(dòng)平臺(tái)繞X軸和Y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，以及沿Z軸的移動(dòng)。用觀察法很容易看出機(jī)構(gòu)的約束螺旋系是線性無關(guān)的，前面所求的機(jī)構(gòu)約束螺旋系即為其最大線性無關(guān)組的基。由式(4)可知：k=3，M=3，R=3，ki=3(i=1，2，3)，其中，k為機(jī)構(gòu)約束反螺旋的最大線性無關(guān)的螺旋個(gè)數(shù)；M為空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度數(shù)，即M=6-k；R為選取的輸入個(gè)數(shù)；ki表示第i個(gè)分支對(duì)動(dòng)平臺(tái)機(jī)構(gòu)的約束數(shù)。

3.2剛化輸入約束反螺旋及無關(guān)組

由前可知，該機(jī)構(gòu)的動(dòng)平臺(tái)只能在三維空間中實(shí)現(xiàn)X軸和Y軸的移動(dòng)，以及繞Z軸的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。根據(jù)并聯(lián)機(jī)構(gòu)輸入選取好壞的判據(jù)[8]：

1)選取機(jī)架副作為輸入；

2)選取機(jī)構(gòu)中位置關(guān)系有特殊性的移動(dòng)副作為輸入副；

3)不選擇消極的運(yùn)動(dòng)作為驅(qū)動(dòng)副，因其不能產(chǎn)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)。

又根據(jù)機(jī)構(gòu)的原動(dòng)件個(gè)數(shù)與自由度相等的原則以及以上三點(diǎn)判據(jù)，我們初步選取與底板連接的三個(gè)移動(dòng)副作為整個(gè)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)副。然后將三個(gè)運(yùn)動(dòng)副U1，U2，U3分別剛化。根據(jù)螺旋理論中關(guān)于反螺旋的相關(guān)知識(shí)，則就可以求出在坐標(biāo)系o-xyz中各個(gè)支鏈因運(yùn)動(dòng)副被剛化后所增加的反螺旋個(gè)數(shù)。

第一條支鏈驅(qū)動(dòng)剛化后運(yùn)動(dòng)螺旋為：

第一條支鏈剛化后相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)反螺旋為：

第二條支鏈驅(qū)動(dòng)剛化后運(yùn)動(dòng)螺旋為：

第二條支鏈剛化后相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)反螺旋為：

第三條支鏈驅(qū)動(dòng)剛化后運(yùn)動(dòng)螺旋為：

第三條支鏈剛化后相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)反螺旋為：

從上面三個(gè)驅(qū)動(dòng)剛化后的各支鏈的運(yùn)動(dòng)反螺旋可知，各個(gè)支鏈對(duì)動(dòng)平臺(tái)的約束反螺旋有4個(gè)，即：kRi=3。

3.3輸入的判別

又由前知，剛化后動(dòng)平臺(tái)的反螺旋系A(chǔ)的秩為：

因此，動(dòng)平臺(tái)的6個(gè)自由度均受到約束，從而失去了所有的自由度。所以這組驅(qū)動(dòng)的選擇是合理的。

4結(jié)論

本文對(duì)一種滑塊驅(qū)動(dòng)群機(jī)構(gòu)進(jìn)行了研究。運(yùn)用螺旋理論通過求解機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)螺旋和約束螺旋對(duì)機(jī)構(gòu)的自由度進(jìn)行分析，及瞬時(shí)性進(jìn)行了判別。通過剛化機(jī)構(gòu)每條支鏈的驅(qū)動(dòng)滑塊，求解剛化后機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)螺旋系和約束螺旋系，最后將求解約束螺旋系的最大線性無關(guān)組以及輸入剛化后的約束螺旋系的最大線性無關(guān)組進(jìn)行對(duì)比分析，對(duì)輸入原動(dòng)件的合理性進(jìn)行判別，得出選擇三個(gè)下滑塊作為該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)輸入是正確的。

參考文獻(xiàn)

[1]黃真，趙永生，趙鐵石. 高等空間機(jī)構(gòu)學(xué)[M]. 北京：高等教育出版社，2005.

[2]Di Gregorio R. Analytic form solution of the direct position analysis of a wide family of three-legged parallel manipulators[J]. J Mech Des,2006,128(1):264-271.

[3]Kong X W, Gosselin C M. Type synthesis of 3-DOF PPR-equivalent parallel manipulators based on screw theory and the concept of virtual chain[J]. J Mech Des,2005,127(6):1113-1121.

[4]劉宏偉. 基于螺旋理論的少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)分析[J]. 制造業(yè)自動(dòng)化，2009,31(7):101-103.

[5]余順年，馬履中．兩平移一轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置及工作空間分析[J]. 農(nóng)業(yè)機(jī)械學(xué)報(bào)，2005,36(8):103-106．

[6]張志良，李瑞琴，郭彥軍．一種2R1T空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)及其位置分析[J]. 機(jī)械傳動(dòng)，2014,38(1):23-26．

[7]張二江，李永剛．新型四自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置逆解分析[J]. 天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2011,21(4):7-11．

[8]楊東超，賓洋，賈振中，趙旦譜．并聯(lián)機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)副的選擇[J]. 機(jī)械工程師，2007(8)13-15．

中圖分類號(hào)：TH11

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1002-6886(2016)03-0024-03

基金項(xiàng)目：長(zhǎng)江師范學(xué)院科研資助項(xiàng)目(2014QN018)。

作者簡(jiǎn)介：張軍(1987-)，男，重慶涪陵人，長(zhǎng)江師范學(xué)院機(jī)械與電氣工程學(xué)院，工學(xué)碩士，研究方向?yàn)闄C(jī)電一體化技術(shù)、并聯(lián)機(jī)床。

收稿日期：2015-04-14

Analysis of the degrees of freedom of a slider group driving mechanism based on the screw theory

ZHANG Jun

Abstract:The slider group driving mechanism we studied is a relatively rare less-degree-of-freedom parallel mechanism, which can move along X and Y axis and rotate around Z axis. In this paper, we used the screw theory to solve the motion screws of a single branch and the whole parallel mechanism respectively. Using the reciprocal principle of the screw theory, we solved the constraint screws of the parallel mechanism. We also solved the degrees of freedom of the mechanism from the aspect of geometric linear correlation. By comparing the maximal linearly independent set of the constraint screws and that of the constraint screws after rigidified input, we judged the rationality of the degree of freedom to choose.

Keywords:screw theory; slider group driving mechanism; degrees of freedom; constraint