基本頂彈性基礎(chǔ)邊界薄板模型分析(I)
——初次破斷

謝生榮，陳冬冬，孫顏頂，郜明明，孫運(yùn)江，施　偉

(中國礦業(yè)大學(xué)(北京)資源與安全工程學(xué)院，北京　100083)

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基本頂彈性基礎(chǔ)邊界薄板模型分析(I)
——初次破斷

謝生榮，陳冬冬，孫顏頂，郜明明，孫運(yùn)江，施偉

(中國礦業(yè)大學(xué)(北京)資源與安全工程學(xué)院，北京100083)

摘要:建立基本頂彈性基礎(chǔ)邊界彈性薄板力學(xué)模型，運(yùn)用偏微分方程有限差分方法，研究了推進(jìn)步距、彈性基礎(chǔ)系數(shù)、基本頂厚度與彈性模量對基本頂主彎矩與破斷位置的影響，得出:基本頂厚度或彈性模量增大時(shí)，中部最大主彎矩Mz增大、長邊與短邊絕對值最大主彎矩Mc，Md減小;步距增大時(shí)，Mz，Mc，Md均增大、Mz增長幅度較小;彈性基礎(chǔ)系數(shù)增大時(shí)，Mz減小、Mc，Md增大;根據(jù)主彎矩破斷準(zhǔn)則得出:推進(jìn)步距或彈性基礎(chǔ)系數(shù)小時(shí)基本頂中部先破斷、反之長邊超前煤壁先破斷;基本頂厚度或彈性模量小時(shí)長邊超前煤壁先破斷、反之中部先斷裂?；卷敽穸然驈椥阅Ａ吭酱蟪皵嗔丫嚯x越大;彈性基礎(chǔ)系數(shù)或步距越大超前斷裂距離越小。彈性基礎(chǔ)邊界時(shí)，基本頂存在3類破斷順序:①長邊—中部—短邊;②長邊—短邊—中部;③中部—長邊—短邊。

關(guān)鍵詞:基本頂;彈性基礎(chǔ);初次破斷;彈性薄板;有限差分法

謝生榮，陳冬冬，孫顏頂，等．基本頂彈性基礎(chǔ)邊界薄板模型分析(I)——初次破斷［J］．煤炭學(xué)報(bào)，2016，41(6):1360－1368．doi: 10．13225/j．cnki．jccs．2016．0197

Xie Shengrong，Chen Dongdong，Sun Yanding，et al．Analysis on thin plate model of basic roof at elastic foundation boundary(I):First breaking［J］．Journal of China Coal Society，2016，41(6):1360－1368．doi:10．13225/j．cnki．jccs．2016．0197

采場頂板的破斷形態(tài)及規(guī)律，對指導(dǎo)工作面安全回采等意義重大。為研究頂板的破斷失穩(wěn)規(guī)律及控制方法，學(xué)者們提出了傳遞巖梁理論、砌體梁理論、關(guān)鍵層理論等［1］;研究了固支、簡支、自由邊界條件時(shí)基本頂?shù)钠茢嘁?guī)律、并提出四邊剛性固支時(shí)基本頂長邊先破壞最終形成“O－X”型的破斷形態(tài)［1－3］;理論計(jì)算了四邊固支條件下大傾角煤層基本頂破斷模式［4］;研究了彈性薄板條件下頂板的破斷機(jī)理及形態(tài)等［5－7］;運(yùn)用相似模擬、數(shù)值模擬、物探法等研究基本頂及上覆巖層破斷運(yùn)動(dòng)規(guī)律［8－11］;引入彈性地基邊界條件研究巖梁的超前斷裂問題［12－13］，運(yùn)用有限元方法在基本頂邊界附加剛度子矩陣的方式模擬了基本頂?shù)钠茢嘈螒B(tài)及礦壓規(guī)律［14］;四邊固支條件下引入彈性地基研究密實(shí)充填時(shí)基本頂力學(xué)特征［15］。

根據(jù)采場實(shí)際工程地質(zhì)條件，基本頂處在上、下巖層的夾支狀態(tài)，特別是基本頂?shù)南聦右来螢橹苯禹敽兔簩?，且均可變形，?dāng)直接頂、煤層較軟且厚度較大時(shí)，基本頂下側(cè)煤巖層限制基本頂運(yùn)動(dòng)的能力很弱，無法實(shí)現(xiàn)剛性固支，此種條件下就不適合再采用四邊剛性固支的邊界條件來研究基本頂?shù)钠茢嘁?guī)律。

針對以上存在的問題，且根據(jù)煤層抗剪切能力弱、強(qiáng)度低、變形能力大的特點(diǎn)［1，12］，可以把基本頂看做處在彈性基礎(chǔ)上的薄板，建立彈性基礎(chǔ)邊界條件時(shí)的彈性薄板力學(xué)模型，運(yùn)用有限差分方法研究基本頂?shù)膬?nèi)力分布及破斷規(guī)律。這對從實(shí)際角度出發(fā)全面分析基本頂?shù)钠茢嘁?guī)律并指導(dǎo)安全回采很有實(shí)際理論意義和實(shí)用價(jià)值。

1　彈性基礎(chǔ)邊界薄板力學(xué)模型

1.1力學(xué)模型的建立

開采區(qū)域上方基本頂所受載荷為自身與上覆軟巖層的自重之和［1］，設(shè)為q。

1.1.1基本頂邊界條件模型

如圖1所示，從巖體剖面角度描述基本頂邊界條件力學(xué)模型，L表示工作面跨度之半。圖1(a)為基本頂固支邊界條件模型，它是假設(shè)基本頂上覆巖層為剛度無窮大巖體，基本頂下伏直接頂、煤層及底板巖層也為剛度無窮大巖體，即煤壁邊界處基本頂?shù)母鱾€(gè)位置設(shè)定為剛性固支邊界條件。

圖1(b)為基本頂實(shí)際圍巖關(guān)系模型，基本頂?shù)纳细矌r層一般是彈性模量為E2的軟巖層、總厚度為h2，更上層為亞關(guān)鍵層;基本頂?shù)南路鼛r層是厚度為h1、彈性模量模為E1的直接頂，更下層為彈性模量為E3、厚度為h3的煤層，一般基本頂下伏巖層的彈性模量E1，E3都較?。?］，對基本頂向下位移的限制能力十分有限，即煤層較軟時(shí)，超前煤壁前方會(huì)有更大范圍的基本頂壓縮煤層向下位移，所以此種情況下不滿足剛性固支邊界條件。當(dāng)基本頂下伏巖層的彈模很大、且強(qiáng)度很大時(shí)，下伏巖層限制基本向下位移的能力強(qiáng)，同時(shí)基本頂上覆巖層的彈性模量和強(qiáng)度也很大時(shí)，可以上下均很好的限制基本頂?shù)奈灰?，方可近似滿足剛性固支邊界條件。

圖1　基本頂兩類邊界條件Fig.1　Two boundary conditions of basic roof

1.1.2基本頂彈性基礎(chǔ)邊界

由上述分析可見，基本頂處在上、下巖層的夾支狀態(tài)，上覆巖層主要限制基本頂向上位移、下伏巖層主要限制基本頂向下位移，基本頂實(shí)際邊界應(yīng)該更符合彈性固支邊界條件而不是剛性固支邊界條件［1］，如圖2所示。實(shí)際上基本頂下伏巖體的剛度是限制位移的關(guān)鍵，所以引入文克爾彈性地基［1，15］力學(xué)模型，且基本頂上下均假設(shè)為彈性巖層，上覆巖層的剛度系數(shù)為ks、下伏巖層的剛度系數(shù)為kz。

圖2　基本頂彈性基礎(chǔ)邊界模型Fig.2　Elastic foundation boundary model of basic roof

當(dāng)基本頂上、下位置巖層剛度都很大時(shí)，彈性基礎(chǔ)系數(shù)k由下式［12］確定k=kz+ks。

下伏巖層中限制基本頂移動(dòng)能力最弱的一般是煤層，則煤層的剛度系數(shù)是此種力學(xué)模型最關(guān)鍵影響因素，特別是煤層較軟時(shí)彈性基礎(chǔ)系數(shù) k可由下式［12］確定，即可只考慮煤層剛度的影響。

式中，hs為上覆彈性巖體厚度;hz為下伏巖體厚度。

1.1.3基本頂彈性基礎(chǔ)邊界力學(xué)模型的建立

由彈性薄板力學(xué)假設(shè)［17］:

式中，h為板的厚度，m;l為板的短邊長度，m;一般采場基本頂均滿足上述條件所以可視為彈性薄板［15］。

由此建立彈性基礎(chǔ)邊界條件下基本頂彈性薄板力學(xué)模型，該力學(xué)模型可這么認(rèn)為:一無限大的彈性基本頂放在有切口的(實(shí)際中是開切眼或開采區(qū)域即S1區(qū)，其余為S2區(qū))無限大彈性地基上，且開采區(qū)上方基本頂四周受到彈性層的夾支，此區(qū)域上方的基本頂受到軟巖層載荷和自重作用。由于基本頂無限大，則從開切眼向四周無限遠(yuǎn)處必定存在基本頂?shù)膿隙群娃D(zhuǎn)角均為零處，所以可以取定基本頂?shù)耐膺吔鐥l件為無窮遠(yuǎn)處撓度為0、轉(zhuǎn)角為0。

如圖3所示基本頂彈性基礎(chǔ)邊界力學(xué)模型，彈性地基上有一塊區(qū)域(ABCD相當(dāng)于切眼或開采區(qū)域、AB為工作面長度、AD為工作面推進(jìn)距離)，此區(qū)域上基本頂受到的載荷為其自重q1與上覆軟巖層的分布載荷q2之和(其中，q1+q2=q)。

開切眼區(qū)域上方基本頂?shù)膿隙任⒎址匠虨?/p>

式中，ω1(x，y)為S1區(qū)域的基本頂撓度函數(shù);D為基本頂剛度。

開切眼或開采區(qū)域之外的基本頂撓度方程為

式中，ω2(x，y)為S2區(qū)域的基本頂撓度函數(shù)。

式中，h為基本頂厚度，m;μ為泊松比;E為彈性模量，GPa。

1.2邊界條件

1.2.1內(nèi)邊界的邊界條件

AB，AD，BC，DC邊是基本頂彈性基礎(chǔ)起始邊界，屬于方程(1)與(2)，在四邊上撓度和轉(zhuǎn)角分別連續(xù)，即滿足式(4)，同時(shí)彎矩、剪力也分別連續(xù)。

圖3　基本頂彈性基礎(chǔ)邊界力學(xué)模型Fig.3　Elastic foundation boundary mechanics model of main roof

1.2.2外邊界的邊界條件

基本頂?shù)臒o窮遠(yuǎn)處的邊界條件為:撓度為0，轉(zhuǎn)角為0，即以A1B1C1D1為剛性固支邊界，各邊界上各點(diǎn)滿足:撓度為0，轉(zhuǎn)角為0，如式(5)所示，其中A1B1長為2x0，A1D1長為2y0。

但是在解微分方程時(shí)不好利用這個(gè)條件，而實(shí)際上可以確定的是，工作面自開切眼推進(jìn)，因開采影響范圍有限［1］，自開切眼向四周一定范圍內(nèi)一定存在基本頂?shù)膿隙群娃D(zhuǎn)角可以近似視為0的點(diǎn)，以此處作為剛性固支邊界，此時(shí)即可利用具體邊界條件解對應(yīng)的偏微分方程。

所以這里，x0與y0根據(jù)計(jì)算模型可取有限值，即滿足工程尺度要求、且滿足偏微分方程的近似解即可。

2　彈性基礎(chǔ)薄板模型計(jì)算方法

要得出滿足上述所給邊界條件的偏微分方程的精確解極為困難，所以采取近似計(jì)算方法求得近似解。而有限差分方法是計(jì)算偏微分方程近似解的有效方法［17－19］。

2.1偏微分方程有限差分方法

由式(6)所示基本的偏微分方程，建立如圖4所示的偏微分方程13點(diǎn)有限差分網(wǎng)格分布圖，其中P0節(jié)點(diǎn)是13點(diǎn)差分網(wǎng)格中的典型節(jié)點(diǎn)且每個(gè)網(wǎng)格的尺寸滿足m=Δx=Δy，建立差分格式為

圖4　偏微分方程有限差分法節(jié)點(diǎn)分布Fig.4　Finite difference method node distribution of partial differential equation

其差分展開式為

2.2撓度方程的差分方程

由上述偏微分方程有限差分法，可得式(1)在典型節(jié)點(diǎn)P0的差分方程式為

2.3外邊界條件方程的差分方程

式(5)為外邊界條件的精確邊界條件表達(dá)式，即x與y均趨近于無窮遠(yuǎn)處滿足撓度與轉(zhuǎn)角為0，事實(shí)上從方程的近似解和工程要求的角度來看，x0，y0取有限值即可滿足要求，這也為用有限差分法解微分方程提供了便利的條件，所以在式(11)中也采取了有限邊界的表達(dá)方式，給出了對應(yīng)典型節(jié)點(diǎn)P0邊界條件方程的差分方程式。

2.4解算偏微分方程過程

根據(jù)上述建立的差分方程可知，任意差分方程中撓度未知的節(jié)點(diǎn)至多13個(gè)，通過對各個(gè)未知撓度的節(jié)點(diǎn)建立13點(diǎn)差分方程，組建代數(shù)方程組，通過解方程組便可得到各個(gè)節(jié)點(diǎn)的撓度解。

上述求解過程可通過如圖5所示方法實(shí)現(xiàn):采用Matlab軟件［19］中的sparse函數(shù)構(gòu)造系數(shù)為稀疏矩陣組建代數(shù)方程組，然后調(diào)用gmres函數(shù)求解這個(gè)方程組，從而得到各個(gè)未知節(jié)點(diǎn)的撓度解。

求出撓度解是求取其他內(nèi)力分量的關(guān)鍵，因?yàn)閺椥员“宓膬?nèi)力分量均是通過對撓度求偏導(dǎo)的方法得到。如式(12)所示為由典型節(jié)點(diǎn)P0的撓度解求取典型節(jié)點(diǎn)各內(nèi)力分量的方法。

圖5　解偏微分方程過程Fig.5　Process of solving partial differential equations

3　彈性基礎(chǔ)薄板模型計(jì)算結(jié)果分析

按照上述計(jì)算方法，來設(shè)定計(jì)算模型的尺寸，工作面的長度為120 m、根據(jù)工程實(shí)際問題的需要及計(jì)算精度，計(jì)算模型的外邊界A1B1C1D1的長度是工作面長度的3倍，取長寬均為360 m、長寬均劃分為730格，在所研究參數(shù)范圍內(nèi)可滿足計(jì)算要求。

3.1破斷指標(biāo)的確定

由于巖石材料的抗拉能力遠(yuǎn)小于抗壓能力，可采用巖石的抗拉強(qiáng)度作為破斷判別標(biāo)準(zhǔn)［1］，設(shè)基本頂上某點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)為(σx，σy，τxy)、基本頂上任意微單元體的彎矩為(Mx，My，Mxy)，其關(guān)系如下。

最大、最小主應(yīng)力為

最大、最小主彎矩為

主應(yīng)力與主彎矩之間的關(guān)系為

而抗拉能力與主彎矩之間的力學(xué)關(guān)系式為

由式(15)，(16)，(17)可知，基本頂上、下表面對應(yīng)點(diǎn)的主應(yīng)力大小相等方向相反、且是該截面上主應(yīng)力值最大的點(diǎn);而上、下表面點(diǎn)的主應(yīng)力與主彎矩成正比例關(guān)系，所以可用主彎矩所在的位置分析基本頂?shù)钠茢辔恢?、且用有限差分法解算時(shí)更加方便。

由此確定了破斷判據(jù)的分析指標(biāo)，即運(yùn)用主彎矩來分析基本頂?shù)膬?nèi)力以及可能的斷裂位置。

運(yùn)用Matlab軟件通過式(12)求各個(gè)節(jié)點(diǎn)內(nèi)力分量，在通過式(18)求各個(gè)節(jié)點(diǎn)主彎矩，并把各個(gè)節(jié)點(diǎn)的最大主彎矩與最小主彎矩分別提取繪制。

3.2彈性基礎(chǔ)邊界主彎矩分布特征

選取某一特征參數(shù)分析研究彈性基礎(chǔ)邊界條件下基本頂主彎矩分布形態(tài)及規(guī)律，取工作面長度120 m、步距40 m(推進(jìn)距離)、彈性模量30 GPa、厚度6 m、泊松比0.2、總載荷0.25 MPa、彈性基礎(chǔ)系數(shù)為3 000 MN/m3。

根據(jù)式(18)求取并繪制基本頂各個(gè)節(jié)點(diǎn)最大主彎矩M1、最小主彎矩M3的分布形態(tài)圖。圖6(a)為基本頂各個(gè)節(jié)點(diǎn)的最小主彎矩M3的分布云圖，圖6(b)為基本頂各個(gè)節(jié)點(diǎn)最大主彎矩M1的分布云圖。由圖6知基本頂各個(gè)節(jié)點(diǎn)主彎矩M1，M3的分布規(guī)律:開采區(qū)域上方基本頂中部各個(gè)節(jié)點(diǎn)的最大主彎矩M1與最小主彎矩M3均為正彎矩，即此區(qū)域基本頂上表面受壓應(yīng)力、下表面受拉應(yīng)力;長邊、短邊超前煤壁區(qū)的主彎矩M1，M3均為負(fù)彎矩，即此區(qū)域基本頂上表面受拉應(yīng)力下表面受壓應(yīng)力。由巖石抗壓不抗拉性質(zhì)可知，基本頂中部的下表面與長邊、短邊超前煤壁區(qū)的上表面是最易先破壞的位置。

基本頂長邊、短邊絕對值最大的主彎矩是最小主彎矩M3的負(fù)值，且位置并不是處在與煤壁交界處而是超前煤壁位置;基本頂中部絕對值最大的彎矩是最大主彎矩M1。

彈性基礎(chǔ)邊界、不同幾何及力學(xué)參數(shù)條件下基本頂?shù)闹鲝澗胤植夹螒B(tài)與圖6相似。由于所研究彈性薄板的對稱性，薄板的上下表面的主應(yīng)力大小相等、方向相反。所以分析主彎矩中絕對值最大的主彎矩即可來判斷破斷位置。

圖6　基本頂主彎矩云圖Fig.6　Basic roof main bending moment nephogram

根據(jù)上述分析并結(jié)合圖3(a)建立如圖7所示的基本頂彈性基礎(chǔ)邊界薄板模型時(shí)的關(guān)鍵主彎矩位置示意圖，長邊區(qū)域各個(gè)節(jié)點(diǎn)的絕對值最大主彎矩為最小主彎矩M3(為負(fù)彎矩)的絕對值、設(shè)為Mc，Lc為Mc超前煤壁距離;短邊區(qū)域絕對值最大主彎矩為最小主彎矩M3(為負(fù)彎矩)的絕對值、設(shè)為Md，Ld為Md超前煤壁距離;中部絕對值最大主彎矩為最大主彎矩M1(為正彎矩)、設(shè)為Mz，并設(shè)基本頂可承載的極限彎矩為M0。

圖7　基本頂關(guān)鍵主彎矩位置Fig.7　Chart of the key main bending moment position of main roof

那么，彈性基礎(chǔ)邊界條件下，基本頂?shù)某醮纹茢嘁?guī)律主要由長邊Mc、中部Mz、短邊Md的大小決定。按照上述計(jì)算方法，下面具體研究推進(jìn)步距、彈性基礎(chǔ)系數(shù)、基本頂?shù)暮穸燃皬椥阅Ａ康淖兓瘜χ鲝澗豈z，Mc，Md的影響由此分析彈性基礎(chǔ)邊界條件下基本頂?shù)某醮纹茢嘁?guī)律。

以下計(jì)算所采用的計(jì)算參數(shù)，未經(jīng)說明及更改的均為:基本頂彈性模量E為30 GPa、泊松比0.2，長度120 m、步距40 m、厚度6 m、基本頂自身與上覆軟巖層的總載荷設(shè)為0.25 MPa，即q為0.25 MPa、彈性基礎(chǔ)系數(shù)k為3 000 MN/m3。

3.3破斷位置的推進(jìn)步距效應(yīng)

推進(jìn)步距是工作面的總推進(jìn)距離，即圖3或圖7中的邊AD的長度。

(1)長邊Mc超前煤壁距離Lc。基本頂長邊絕對值最大主彎矩Mc超前煤壁距離Lc隨步距增大而逐漸減小，且隨步距增大減小幅度相對降低(圖8)?；卷?shù)亩踢匨d超前煤壁距離Ld滿足類似規(guī)律。

圖8　Lc隨步距變化曲線Fig.8　Curve of Lcchanging with the step distance

(2)主彎矩變化規(guī)律。推進(jìn)步距越大，基本頂受到的主彎矩也越大，能推進(jìn)更大的距離、顯然基本頂需要更高的極限彎矩M0。若M0較小，則推進(jìn)步距較小時(shí)，基本頂所受到的主彎矩即可達(dá)到極限彎矩M0;當(dāng)M0較大，則步距較大時(shí)才會(huì)達(dá)到基本頂?shù)臉O限彎矩M0。而推進(jìn)步距不同時(shí)，3個(gè)主彎矩Mz，Mc，Md的變化規(guī)律和幅度有區(qū)別，所以破斷位置會(huì)不同。

圖9為推進(jìn)步距不同時(shí)基本頂主彎矩變化曲線。隨著推進(jìn)步距增大，主彎矩Mz，Mc，Md均增大，超前煤壁區(qū)的主彎矩Mc，Md增長幅度大于基本頂中部主彎矩Mz。步距較小時(shí)，如圖9中小于L1時(shí)Mc＜Mz、且步距增大時(shí)兩者的差值在減小，此時(shí)若Mz大于基本頂極限彎矩M0，則基本頂中部先破斷;推進(jìn)步距大于L1時(shí) Mc＞Mz，且步距增大兩者差值增大，此時(shí)若Mc大于基本頂極限彎矩M0，則長邊超前煤壁先斷裂;步距繼續(xù)增大到大于L2時(shí)Mc＞Md＞Mz，即基本頂長邊與短邊所受到的主彎矩均超過中部的，長邊與短邊超前煤壁位置會(huì)先于中部破斷。

圖9　主彎矩隨步距變化規(guī)律Fig.9　Variation of the main bending moment with the step distance

3.4破斷位置的彈性基礎(chǔ)系數(shù)效應(yīng)

(1)長邊Mc超前煤壁距離Lc。如圖10所示，隨彈性基礎(chǔ)系數(shù)k值增大，基本頂長邊主彎矩Mc超前煤壁距離Lc逐漸減小，即隨彈性固支能力增大，基本頂長邊最小主彎矩向煤壁轉(zhuǎn)移，基本頂短邊也存在相同規(guī)律。

圖10　Lc隨k值變化曲線Fig.10　Curve of Lcwith the chang of k value

(2)主彎矩變化規(guī)律。如圖11所示，彈性基礎(chǔ)系數(shù)不同主彎矩變化規(guī)律曲線。隨著彈性基礎(chǔ)系數(shù)k的增大，基本頂中部主彎矩Mz減小且減小幅度降低、基本頂長邊與短邊主彎矩Mc，Md逐漸增大。即彈性基礎(chǔ)系數(shù)k增大，彈性固支能力增強(qiáng)，主彎矩由中部向長邊、短邊超前煤壁區(qū)轉(zhuǎn)移。

圖11　主彎矩隨k值的變化規(guī)律Fig.11　Variation law of the main bending moment with the k value

k小于k1時(shí)主彎矩Mz＞Mc、并且隨k值增大兩者的差值減小，此時(shí)若Mz大于基本頂極限彎矩M0，則基本頂?shù)闹胁肯绕茢?k大于k1時(shí)Mz＜Mc、并且隨k值增大兩者差值增大，此時(shí)若Mc大于基本頂極限彎矩M0，則基本頂長邊超前煤壁區(qū)先破斷。短邊的最小主彎矩絕對值Md均小于長邊的最小主彎矩絕對值Mc，即長邊總比短邊先達(dá)到彎矩極限而破斷。

3.5破斷位置的基本頂厚度效應(yīng)

(1)長邊Mc超前煤壁距離Lc。如圖12所示，隨基本頂厚度增大，長邊主彎矩Mc超前煤壁距離Lc越大，即基本頂厚度越大，發(fā)生超前斷裂時(shí)的位置距離煤壁越遠(yuǎn)。

圖12　Lc隨基本頂厚度變化曲線Fig.12　Curve of Lcwith the change of the basic roof thickness

(2)主彎矩變化規(guī)律。如圖13所示，隨基本頂厚度增大，中部主彎矩Mz增大、長邊與短邊超前煤壁區(qū)主彎矩Mc與Md逐漸減小。當(dāng)基本頂厚度較小時(shí)，如圖中h＜h1時(shí)，長邊超前煤壁區(qū)主彎矩Mc大于中部主彎矩Mz，此時(shí)若Mc大于基本頂極限彎矩M0，則先發(fā)生長邊超前煤壁斷裂;當(dāng)基本頂厚度較大時(shí)，如圖中h＞h1時(shí)，Mc小于中部主彎矩Mz，此時(shí)若達(dá)到基本頂極限彎矩M0，則基本頂中部先發(fā)生破斷。

3.6破斷位置的基本頂彈性模量效應(yīng)

(1)長邊Mc超前煤壁距離Lc。如圖14所示，隨基本頂彈性模量增大，長邊主彎矩Mc超前煤壁距離Lc不斷增大，即基本頂彈性模量越大，長邊超前斷裂時(shí)的斷裂線距離煤壁越遠(yuǎn)。

圖13　主彎矩隨基本頂厚度變化規(guī)律Fig.13　Variation of the main bending moment with the thickness of the main roof

圖14　Lc隨基本頂彈性模量E變化曲線Fig.14　Curve of Lcwith the change of E

(2)主彎矩變化規(guī)律。圖15為基本頂彈性模量E不同主彎矩變化曲線圖。隨E值增大，基本頂短邊和長邊主彎矩Mc，Md均逐漸降低、基本頂中部主彎矩Mz逐漸增大。

圖15　主彎矩隨基本頂彈性模量E變化規(guī)律Fig.15　Variation regularity of the main bending moment with the elastic modulus E

當(dāng)基本頂?shù)膹椥阅Ａ縀較小，圖15中E＜E1時(shí)長邊主彎矩Mc大于基本頂中部主彎矩Mz，即先發(fā)生長邊超前煤壁斷裂;當(dāng)彈性模量E較大，圖14中E＞E1時(shí)，中部主彎矩Mz大于長邊主彎矩Mc，即先發(fā)生中部斷裂;當(dāng)基本頂?shù)膹椥阅Ａ刻幱谏鲜鰞烧咧g時(shí)，存在Mc與Mz相等，即可能發(fā)生基本頂?shù)拈L邊與中部同時(shí)斷裂的情況。

3.7彈性基礎(chǔ)邊界板模型基本頂破斷規(guī)律

由上述分析可知，彈性基礎(chǔ)邊界條件下，基本頂首先破斷的位置為中部或者長邊超前煤壁位置，這與引入彈性基礎(chǔ)邊界基本頂梁模型得到的結(jié)果［12］及通過有限元模擬的方法得到的結(jié)果［14］一致。

根據(jù)主彎矩破斷準(zhǔn)則得出彈性基礎(chǔ)邊界時(shí)基本頂初次破斷規(guī)律，推進(jìn)步距或彈性基礎(chǔ)系數(shù)較小先發(fā)生基本頂中部斷裂、反之先發(fā)生長邊超前煤壁斷裂;厚度或彈性模量小時(shí)先發(fā)生長邊超前煤壁斷裂、反之先發(fā)生中部斷裂，且得出如圖16所示的彈性基礎(chǔ)邊界條件下基本頂?shù)?類破斷順序(虛線表示破斷線)。圖16(a)基本頂破斷順序?yàn)?長邊超前煤壁Lc破斷—中部破斷—短邊超前煤壁Ld破斷并逐步貫通;圖16(b)破斷順序?yàn)?長邊超前煤壁Lc破斷—短邊超前煤壁Ld破斷—中部破斷并逐步貫通(此種破斷順序和四邊固支邊界條件時(shí)的結(jié)論一致);圖16(c)破斷順序?yàn)?中部破斷—長邊超前煤壁Lc破斷—短邊超前煤壁Ld破斷并逐步貫通，上述裂隙最終貫通均形成“O－X”形破斷形態(tài)。

圖16　彈性基礎(chǔ)邊界基本頂破斷規(guī)律Fig.16　Basic roof breaking regularity with the elastic foundation boundary

圖16中，若長邊是工作面推進(jìn)邊則形成的是豎“O－X”形破斷，若短邊是工作面的推進(jìn)邊則最終形成的是橫“O－X”形破斷。把彈性基礎(chǔ)邊界條件與四邊固支邊界條件下得出的基本頂?shù)钠茢嘁?guī)律進(jìn)行對比，最終的破斷形態(tài)基本一致，區(qū)別在于基本頂?shù)钠茢囗樞虿煌?，以及長邊、短邊破斷時(shí)的斷裂線距離煤壁的距離不同。固支邊界條件時(shí)，長邊、短邊破斷線在煤壁處;彈性基礎(chǔ)邊界條件時(shí)，長邊、短邊的破斷線在超前煤壁位置，而且超前煤壁距離的大小如上所述具備一定規(guī)律性。

4　結(jié)　　論

(1)建立基本頂彈性基礎(chǔ)邊界彈性薄板力學(xué)模型，運(yùn)用偏微分方程有限差分方法，研究了步距、彈性基礎(chǔ)系數(shù)、基本頂厚度與彈性模量對基本頂主彎矩及破斷位置的影響?；卷敽穸然驈椥阅Ａ吭龃髸r(shí)，中部最大主彎矩Mz增大、長邊與短邊絕對值最大主彎矩Mc，Md減小;步距增大時(shí)，Mz，Mc，Md均增大、Mz增長幅度較小;彈性基礎(chǔ)系數(shù)增大時(shí)，Mz減小、Mc，Md增大。

(2)根據(jù)主彎矩破斷準(zhǔn)則得出彈性基礎(chǔ)邊界時(shí)基本頂初次破斷規(guī)律，推進(jìn)步距或彈性基礎(chǔ)系數(shù)小時(shí)，基本頂中部先破斷、反之長邊超前煤壁先破斷;厚度或彈性模量小時(shí)長邊超前煤壁先破斷、反之中部先破斷。

(3)基本頂先發(fā)生長邊超前煤壁斷裂時(shí)，基本頂厚度或彈性模量越大超前斷裂距離越大;彈性基礎(chǔ)系數(shù)或步距越大超前斷裂距離越小。

(4)彈性基礎(chǔ)邊界時(shí)基本頂存在3類破斷順序:①長邊—中部—短邊;②長邊—短邊—中部;③中部—長邊—短邊。有益補(bǔ)充了基本頂?shù)某醮纹茢囗樞颉?/p>

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中圖分類號:TD323

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

文章編號:0253－9993(2016)06－1360－09

收稿日期:2016－02－22修回日期:2016－04－24責(zé)任編輯:常琛

基金項(xiàng)目:國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51234005，51504259);中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目(2010QZ06)

作者簡介:謝生榮(1981—)，男，江蘇六合人，副教授，博士。通訊作者:陳冬冬(1988—)，男，安徽宿州人，博士研究生。E－mail:chendongbcg @163．com

Analysis on thin plate model of basic roof at elastic foundation boundary(I):First breaking

XIE Sheng-rong，CHEN Dong-dong，SUN Yan-ding，GAO Ming-ming，SUN Yun-jiang，SHI Wei
(School of Resource and Safety Engineering，China University of Mining and Technology(Beijing)，Beijing100083，China)

Abstract:By establishing the basic roof mechanical model of elastic thin plate at elastic foundation boundary and using the finite difference method of partial differential equation，this paper researched the effect of the step length，elastic foundation coefficient，basic roof thickness and elastic modulus on the basic roof main bending moment and fracture positions．It is concluded that with the increase of basic roof thickness or elastic modulus，the maximum main bending moment Mzof the middle roof section increases，and the absolute maximum main bending moment Mc，Mdof roof long side and short side decrease;with the step length increasing，the Mz，Mcand Mdincrease，while the growth rate of the Mzis smaller;and when the elastic foundation coefficient increases，the Mzdecreases，while the Mcand Mdincrease．According to the breaking criterion of the main bending moment，when the step distance or elastic foundation coefficient is small，the middle of basic roof fractures first，whereas the roof long side ahead of the coal wall breaks first;if the basic roof thickness or elastic modulus is small，the long side breaks ahead of the coal wall，whereas the central fractures first．The greater the basic roof thickness or elastic modulus，the farther the pre-breaking distance of main roof;the greater the elastic foundation coefficient or step distance，the smaller pre-breaking distance of main roof．There are three types of basic roof breaking sequence:①long side-middle-short side;②long side-short side-middle; ③middle-long side-short side．

Key words:main roof;elastic foundation;first breaking;thin elastic plate;finite difference method