一階時(shí)滯系統(tǒng)內(nèi)模控制的優(yōu)化分析

詹莊春

(華南農(nóng)業(yè)大學(xué)珠江學(xué)院，廣東　廣州　510900)

?

一階時(shí)滯系統(tǒng)內(nèi)?？刂频膬?yōu)化分析

詹莊春

(華南農(nóng)業(yè)大學(xué)珠江學(xué)院，廣東廣州510900)

摘要：基于IMC-PID原理，采取實(shí)際應(yīng)用的PID模型，實(shí)現(xiàn)了理論算式與工程實(shí)際的結(jié)合。對(duì)不同時(shí)滯程度的一階系統(tǒng)進(jìn)行參數(shù)整定，確定了λ的取值范圍。利用NCD解決了大量計(jì)算問(wèn)題，為參數(shù)優(yōu)化提供了有效途徑。通過(guò)設(shè)計(jì)舉例，顯示出系統(tǒng)具有良好的控制性能。再經(jīng)過(guò)一般性分析，得出了內(nèi)?？刂频囊话阋?guī)律，以供工程設(shè)計(jì)參考。

關(guān)鍵詞：一階時(shí)滯；IMC-PID；NCD；參數(shù)整定

一階時(shí)滯系統(tǒng)普遍存在于過(guò)程控制當(dāng)中，對(duì)于時(shí)滯程度較大的系統(tǒng)，單純采用經(jīng)典PID控制，其參數(shù)很難整定；最經(jīng)典的控制方式有Simth預(yù)估控制法，但該方法對(duì)模型誤差和滯后時(shí)間較敏感，而系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過(guò)程和干擾使被控對(duì)象的實(shí)際模型很難精確。1982年，文獻(xiàn)[1]提出的內(nèi)?？刂?Internal Model Control，IMC)，繼承了Simth預(yù)估法的優(yōu)點(diǎn)，并對(duì)模型失配有一定的魯棒性，經(jīng)過(guò)多年的發(fā)展，理論比較成熟，出現(xiàn)了針對(duì)PID控制器設(shè)計(jì)的IMC-PID方法，且得到了廣泛應(yīng)用，例如：基于分?jǐn)?shù)階IMC-PID的鍋爐蒸汽溫度控制[2]。PID參數(shù)整定方法很多，對(duì)存在時(shí)變特性和嚴(yán)重不確定性的系統(tǒng)，采用ISTE最優(yōu)參數(shù)整定法和魯棒PID參數(shù)整定法較好[3]，一般時(shí)滯系統(tǒng)可采用ISTE準(zhǔn)則。非線性控制器優(yōu)化設(shè)計(jì)(NCD)模塊基于ITSE準(zhǔn)則，采用單純形法尋優(yōu)，具有良好的收斂性[4]30。本文考慮理論的實(shí)際應(yīng)用，從IMC-PID基本原理出發(fā)，充分利用參數(shù)優(yōu)化軟件的強(qiáng)大計(jì)算功能，建立起一階時(shí)滯系統(tǒng)控制模型，并進(jìn)行深入分析和研究。

1PID控制器模型設(shè)計(jì)

傳統(tǒng)反饋控制系統(tǒng)即PID控制系統(tǒng)，是由比例(P)、積分(I)和微分(D)三部分組成的。在模擬控制系統(tǒng)中，理想PID的數(shù)學(xué)模型為

(1)

式中：e為偏差；kp，ki，kd均為系數(shù)；u(t)為PID校正輸出。

由于理想PID控制器存在以下不足：①其階躍響應(yīng)曲線初始值趨向無(wú)窮大，不利于實(shí)際應(yīng)用；②在實(shí)踐中，純微分環(huán)節(jié)無(wú)法物理實(shí)現(xiàn)，并容易引入高頻干擾；③積分會(huì)增大超調(diào)量，不利于系統(tǒng)穩(wěn)定。故應(yīng)采取必要措施[5]，如在積分環(huán)節(jié)后增加飽和限幅器，采取在反饋通道中加積分的方式構(gòu)成準(zhǔn)微分環(huán)節(jié)，具體設(shè)計(jì)模型如圖1所示。在線性控制范圍內(nèi)，實(shí)際應(yīng)用的PID控制器傳遞函數(shù)為

(2)

式中：s為拉氏算子；GPID(s)為PID控制器傳遞函數(shù)；kf為小于kd的系數(shù)。

圖1　PID控制器的設(shè)計(jì)模型

2IMC-PID控制器參數(shù)的擴(kuò)展整定

內(nèi)模控制(IMC)的設(shè)計(jì)思路是將對(duì)象模型與實(shí)際對(duì)象并聯(lián)，而將內(nèi)?？刂破鞅平鼘?duì)象模型的動(dòng)態(tài)逆，在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[6]則對(duì)內(nèi)?？刂埔?guī)律的算法進(jìn)行了擴(kuò)展。內(nèi)?？刂婆c傳統(tǒng)反饋控制(即PID控制)的關(guān)系如圖2所示，再考慮干擾，由圖2可得等效內(nèi)?？刂平Y(jié)構(gòu)(見(jiàn)圖3)[7]。其中，P(s)為對(duì)象傳遞函數(shù)，M(s)為對(duì)象模型傳遞函數(shù)，C(s)為傳統(tǒng)反饋控制器傳遞函數(shù)，IMC(s)為內(nèi)?？刂破鱾鬟f函數(shù)。當(dāng)M(s)=P(s)時(shí)，稱模型匹配，否則為模型失配。

圖2　內(nèi)?？刂婆c傳統(tǒng)反饋控制的關(guān)系

圖3　等效的內(nèi)?？刂葡到y(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

首先，根據(jù)內(nèi)模原理及其擴(kuò)展，有

M(s)=M+(s)·M-(s)

(3)

式中：M+(s)為包含s右半平面所有零極點(diǎn)和純滯后環(huán)節(jié)的部分，剩下部分為M-(s)。

(4)

式中：f為低通濾波器。

其濾波系數(shù)的整定應(yīng)考慮在系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性和性能指標(biāo)ISE之間合理協(xié)調(diào)[8]，采取方式為

(5)

式中：l(ω)為模型失配引入的誤差；lm(ω)為模型失配引入的誤差上限。

參見(jiàn)圖3，結(jié)合式(3)和式(4)，可得

(6)

(7)

將之代入式(6)，可得：

(8)

將式(2)與式(8)比較，可得

(9)

其次，理論分析系統(tǒng)控制性能，其輸出響應(yīng)為

(10)

從式(10)中的第一項(xiàng)可看出：系統(tǒng)輸出可以無(wú)靜差跟蹤給定輸入，從后一項(xiàng)可看出：系統(tǒng)擬制干擾的能力較強(qiáng)，進(jìn)一步還可認(rèn)識(shí)到系統(tǒng)控制性能只與λ的選取有關(guān)。

最后，整定參數(shù)歸結(jié)為一個(gè)λ，由此決定系統(tǒng)的靜動(dòng)態(tài)性能。

3確定λ的取值范圍

λ的取值應(yīng)考慮以下幾點(diǎn)：①讓內(nèi)模控制模型逼近對(duì)象模型的動(dòng)態(tài)逆；②要求控制系統(tǒng)具有魯棒穩(wěn)定性；③PID控制器的參數(shù)調(diào)節(jié)限制；④系統(tǒng)對(duì)上升時(shí)間、 超調(diào)量以及調(diào)節(jié)時(shí)間等動(dòng)態(tài)性能的要求。

其中第2點(diǎn)需滿足式(5)，即λ取的足夠大。第3點(diǎn)要求kf

Kλ3+2Kτλ2+(Kτ2+0.5τ2-Tτ)λ

(11)

取K=1，T=10，分別取τ=1，2.5，5，10，15，25， 其單位視具體控制系統(tǒng)而定， 計(jì)算λ滿足式(11)，數(shù)據(jù)關(guān)系如表1所示。

表1　λ/τ與τ/T之間的關(guān)系

表1中，τ/T表示時(shí)滯大小的參數(shù)，λ/τ則是決定閉環(huán)系統(tǒng)響應(yīng)曲線形狀的參數(shù)[9]，其推薦值大于0.25[10]。表1中數(shù)據(jù)顯示：當(dāng)時(shí)滯程度加劇，系統(tǒng)將很難控制，考慮到模型可能不匹配，時(shí)滯程度應(yīng)該更小。

第1點(diǎn)和第4點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)控制提出了動(dòng)態(tài)性能的要求，為之選擇一個(gè)既能反映動(dòng)態(tài)性能又包含穩(wěn)定特性的性能指標(biāo)是比較合理的，即時(shí)間乘誤差平方的積分。

(12)

該指標(biāo)稱為ITSE準(zhǔn)則，反映了控制系統(tǒng)的快速性和精確性。具體算法必須在所給定動(dòng)態(tài)要求的前提下，選擇合適的λ使J最小。其計(jì)算量極大，需借助計(jì)算機(jī)編制程序來(lái)完成，此過(guò)程即為文獻(xiàn)[4]30中提到的參數(shù)自尋最優(yōu)。

4NCD模塊集的引入

在Matlab/Simulink工具庫(kù)中的非線性控制設(shè)計(jì)模塊集NCD(Nonlinear Control Design Blockset)，具有基于圖形界面的模塊形式，為非線性系統(tǒng)的控制器優(yōu)化設(shè)計(jì)和仿真提供了有效的手段。在不同MATLAB版本中，NCD模塊集名稱不一樣：NCD Outport(MATLAB6.5)、Signal Constraint(MATLAB7.5)以及Check Step Response Characteristics(MATLAB7.13)等，但其主要特點(diǎn)均有[11]：①模塊可添加到仿真圖中，對(duì)與其相連接信號(hào)進(jìn)行約束，即自動(dòng)將系統(tǒng)時(shí)域性能指標(biāo)轉(zhuǎn)化為一個(gè)約束優(yōu)化問(wèn)題；②提供時(shí)域性能優(yōu)化窗口，動(dòng)態(tài)顯示優(yōu)化效果；③用戶可任意選擇優(yōu)化參數(shù)；④輸出顯示參數(shù)優(yōu)化值。

通過(guò)上述可看出，NCD的引入為濾波系數(shù)λ的進(jìn)一步優(yōu)化創(chuàng)造了極好條件，其具體應(yīng)用將結(jié)合仿真設(shè)計(jì)并作介紹。

5仿真設(shè)計(jì)與分析

舉例：某電烤箱系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為

(13)

采用PID控制器構(gòu)成單位反饋系統(tǒng)?，F(xiàn)通過(guò)調(diào)節(jié)PID參數(shù)，要求系統(tǒng)達(dá)到如下目標(biāo)：穩(wěn)態(tài)無(wú)靜差、具有魯棒穩(wěn)定性、超調(diào)量小于5%、上升時(shí)間小于10 s、調(diào)節(jié)時(shí)間(1%)小于30 s。

第一步，構(gòu)建該系統(tǒng)的仿真模型(見(jiàn)圖4)。被控對(duì)象由最小相位系統(tǒng)加純滯后環(huán)節(jié)構(gòu)成，干擾信號(hào)采用時(shí)間選擇開(kāi)關(guān)實(shí)現(xiàn)，參數(shù)優(yōu)化模塊與輸出端直接相連。

圖4　某電烤箱系統(tǒng)的仿真設(shè)計(jì)模型

圖4中，純滯后時(shí)間設(shè)置為2.76，給定階躍信號(hào)為10，干擾信號(hào)為1，時(shí)間選擇開(kāi)關(guān)分別設(shè)置為60和60.5；PID參數(shù)依據(jù)式(9)設(shè)置，限幅值足夠大，約為20；仿真時(shí)間為[0，100]，求解器為ode45。

1) 輸入K=1.0，τ=2.50，T=10.0，λ=0.63，模型失配，進(jìn)行仿真；

2) 輸入K=0.91，τ=2.76，T=8.9，λ=0.63，模型匹配，也進(jìn)行仿真。

系統(tǒng)輸出響應(yīng)如圖5中曲線1和曲線2所示，模型匹配時(shí)的系統(tǒng)性能較好，兩者均有較強(qiáng)的魯棒穩(wěn)定性，但超調(diào)量都較大。

第二步，參數(shù)λ的優(yōu)化。參數(shù)優(yōu)化模塊設(shè)置為Final value：10，Rise time：10，Setting time：30，% Setting：1，% Overshoot：5，以及添加優(yōu)化參數(shù)λ。優(yōu)化結(jié)果為

1) 當(dāng)輸入K=1.0，τ=2.50，T=10.0，λ=0.63時(shí)，優(yōu)化輸出λ=1.543 7；

2) 當(dāng)輸入K=0.91，τ=2.76，T=8.9，λ=0.63時(shí)，優(yōu)化輸出λ=1.301 2

優(yōu)化后的系統(tǒng)輸出響應(yīng)如圖4中的曲線3和曲線5所示。另外，更改各個(gè)干擾脈沖時(shí)間設(shè)置，以利于曲線分辨。在圖5中，針對(duì)同一被控對(duì)象，在同一目標(biāo)要求下，優(yōu)化后的曲線并不重合。進(jìn)一步，當(dāng)輸入對(duì)象模型參數(shù)也一樣，只改變?chǔ)顺踔?，通過(guò)試驗(yàn)可知λ優(yōu)化解不相等，這就是所謂的“局部?jī)?yōu)化”問(wèn)題[12]。

t/s1. 模型失配優(yōu)化前；2. 模型匹配優(yōu)化前；3. 模型失配優(yōu)化后；4. 2. 模型匹配優(yōu)化后圖5　某電烤箱系統(tǒng)的仿真輸出響應(yīng)曲線

第三步，一階時(shí)滯系統(tǒng)IMC-PID控制的一般性分析。設(shè)模型匹配，要求在不同時(shí)滯程度下，重點(diǎn)考察系統(tǒng)臨界無(wú)超調(diào)時(shí)的λ值和系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時(shí)的K值。計(jì)算λ時(shí)可借助優(yōu)化軟件，其模塊設(shè)置為Final value：10，% Setting：0.001，% Overshoot：0.002，% Undershoot：0.002。計(jì)算K值的步長(zhǎng)選擇0.001，兩者計(jì)算數(shù)據(jù)如表2所示。

表2　系統(tǒng)臨界無(wú)超調(diào)時(shí)的λ值和系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時(shí)的K值

從表2可看出，被控對(duì)象增益越大，對(duì)控制穩(wěn)定性有利，但調(diào)節(jié)時(shí)間會(huì)越長(zhǎng)。而且，還得出以下新的結(jié)論：①隨著時(shí)滯程度加劇，調(diào)節(jié)λ將越大，當(dāng)時(shí)滯程度大于0.5時(shí)，采用IMC-PID控制方式不再理想；②當(dāng)時(shí)滯程度達(dá)2.5以后，系統(tǒng)的單調(diào)性不可調(diào)，IMC-PID控制不再適用。

6結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)設(shè)計(jì)舉例獲取一階時(shí)滯系統(tǒng)內(nèi)模控制的輸出曲線，以此驗(yàn)證了IMC-PID的良好控制性能。為有利于IMC-PID在一階時(shí)滯系統(tǒng)中得到很好地應(yīng)用，又對(duì)其進(jìn)行一般性分析，確定了IMC-PID在一階時(shí)滯系統(tǒng)中的適用范圍，并將仿真實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)列表，以供工程設(shè)計(jì)參考。另外，若模型失配，則一味地依靠?jī)?yōu)化來(lái)確定λ是不可取的；針對(duì)“局部?jī)?yōu)化”問(wèn)題，目前提出了一種基于最大靈敏度的二自由度IMC-PID控制器參數(shù)整定方法[13]，但是在快速性控制要求方面有待比較。尚待進(jìn)一步研究的還有：失配度對(duì)系統(tǒng)控制性能的影響以及如何通過(guò)失配度不斷逼近實(shí)際對(duì)象的問(wèn)題。

參考文獻(xiàn)：

[1]GARICIA C E， MORARI M. Internal model control 1： a unifying review and some new results[J]. Ind Eng Chem Proc Des Dev，1982， 21(2)：308-323.

[2]王松， 張金環(huán)， 王曉燕， 等. 基于分?jǐn)?shù)階IMC-PID的鍋爐蒸汽溫度控制[J]. 華北電力大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2014， 41(3)： 70-75.

[3]邱麗， 曾貴娥， 朱學(xué)峰， 等. 幾種PID控制器參數(shù)整定方法的比較研究[J]. 自動(dòng)化技術(shù)與應(yīng)用，2005， 24(11)： 28-31.

[4]李華. 基于MATLAB環(huán)境下控制系統(tǒng)參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)[J]. 電氣傳動(dòng)自動(dòng)化，2002， 24(2)： 29-30.

[5]王福永. 非線性系統(tǒng)PID控制器的優(yōu)化設(shè)計(jì)[J]. 蘇州大學(xué)學(xué)報(bào)(工科版)， 2005， 25(1)： 56-59.

[6]陳積玉， 何衍慶， 俞金壽. 基于內(nèi)?？刂圃淼姆答伩刂破鞯恼╗J]. 華東理工大學(xué)學(xué)報(bào)，1994， 20(5)： 641-647.

[7]尹先斌， 周有訓(xùn). 基于Taylor和Pade能逼近的滯后系統(tǒng)MC-PID研究[J]. 昆明理工大學(xué)學(xué)報(bào)(理工版)，2006， 31(2)： 76-81.

[8]龔劍平，朱鳳成. IMC-PID控制器參數(shù)擴(kuò)展整定方法的改進(jìn)[J].北京化工大學(xué)學(xué)報(bào)，2000，27(3)：75-76.

[9]龔曉峰， 高衿暢， 周春暉. 時(shí)滯系統(tǒng)PID控制器內(nèi)模整定方法的擴(kuò)展[J]. 控制與決策， 1998， 13(4)： 337-341.

[10]RIVERA D E， MORARI M， SKOGESTAD S. Internal model control 4： PID controller design[J]. Ind Eng Chem Pro Des Dev， 1986， 25：252-265.

[11]滕青芳. 基于NCD工具箱的非線性系統(tǒng)PID控制器優(yōu)化設(shè)計(jì)[J]. 電氣傳動(dòng)自動(dòng)化，2002， 24(3)： 32-34.

[12]唐志航， 虞金有， 俞立. 基于MATLAB環(huán)境下模糊控制參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)與仿真[J]. 計(jì)算機(jī)仿真， 2003， 20(9)： 101-102.

[13]孫功武， 聶紅偉， 蘇義鑫，等. 時(shí)滯系統(tǒng)的二自由度IMC-PID控制研究[J]. 計(jì)算機(jī)應(yīng)用研究， 2014， 31(8)： 2 357-2 360.

(責(zé)任編輯：何學(xué)華，吳曉紅)

Optimal Analysis of IMC for FOPTD systems

ZHAN Zhuang-chun

(Zhujiang Institute, South China Agricultural University, Guangzhou Guangdong 510900, China)

Abstract:Based on the IMC-PID principle, by using the practical PID model, the combination of theoretical calculation and practical engineering was realized. Through the different degree of first order delay system parameter setting, the value range of lambda is determined. By utilizing the NCD, a large amount of calculation can be performed, which provides an effective way for the parameter optimization. By giving a concrete example, the system showed good control performance. And after a general analysis, the general rule of the internal model control was obtained, which provides a reference to engineering design.

Key words:first-order plus dead-time; IMC-PID; NCD; parameter setting

收稿日期：2015-05-25

作者簡(jiǎn)介：詹莊春(1978-)，男，江西鄱陽(yáng)人，講師，碩士，研究方向：電氣自動(dòng)化。

中圖分類號(hào)：TP214

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1672-1098(2016)01-0070-05