Fisher方程的小波數(shù)值方法

劉鳳玲,沈有建,阮志毅

(海南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 海南 ?？?571158)

?

Fisher方程的小波數(shù)值方法

劉鳳玲,沈有建,阮志毅

(海南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 海南 ?？?571158)

摘要：利用壓縮映射、Legendre多項(xiàng)式和小波的正交性得到分片二次多項(xiàng)式小波的具體表達(dá)式, 然后將此小波作為基函數(shù)，采用配置法求Fisher方程的數(shù)值解，最后的數(shù)值實(shí)驗(yàn)說(shuō)明了此方法求Fisher方程數(shù)值解的有效性和可行性.

關(guān)鍵詞：Fisher方程; 分片二次多項(xiàng)式小波; 函數(shù)逼近; 配置法

1937年, Fisher[1]利用非線(xiàn)性反作用擴(kuò)散方程來(lái)描述病毒變異體在長(zhǎng)時(shí)間的無(wú)限生態(tài)環(huán)境中的變化情況.后來(lái),此方程被廣泛應(yīng)用于基因繁殖、化學(xué)反應(yīng)、燃燒學(xué)、神經(jīng)生理學(xué)等方面，非線(xiàn)性Fisher方程形為

(1)

其中,α是反應(yīng)因子,β是擴(kuò)散系數(shù),t表示時(shí)間,x表示距離,u(x,t)為人口密度函數(shù).方程(1)也被稱(chēng)為Kolmogorov-Petrovsky-Piscunov方程,一直以來(lái)學(xué)者們探求了許多求解方程(1)的方法[2-8],并得到了非常好的結(jié)果.隨著小波分析的快速發(fā)展,學(xué)者們開(kāi)始利用小波作為基函數(shù)進(jìn)行函數(shù)逼近求微分方程的數(shù)值解. 常用的小波函數(shù)有Haar小波、Legendre小波和Shannon小波等, 由于小波函數(shù)具有正交性、緊支撐性和消失矩等性質(zhì), 使其得到的微分方程數(shù)值解具有更好的結(jié)果[9-12].

筆者以分片二次多項(xiàng)式小波作為基函數(shù), 采用配置法求Fisher方程的數(shù)值解.首先將根據(jù)分片多項(xiàng)式小波的構(gòu)造方法，給出L2[0,1]上的分片二次多項(xiàng)式小波的顯示多項(xiàng)式表達(dá)式，其次以分片二次多項(xiàng)式小波作為基函數(shù), 利用配置法將Fisher方程離散成代數(shù)方程組，最后結(jié)合Fisher方程的初值及邊界條件求出分片二次多項(xiàng)式小波系數(shù)進(jìn)而求得Fisher方程的數(shù)值解.

1分片二次多項(xiàng)式小波的構(gòu)造

本節(jié)將介紹分片多項(xiàng)式小波的一般構(gòu)造方法[13-15].

定義空間

的內(nèi)積為

則其誘導(dǎo)范數(shù)為

則L2[0，1]是一個(gè)Hilbert空間.

ψE∶=ψe0°ψe1° …°ψee-1，

并令子區(qū)間集合

顯然有

(2)

TE∶=Te0° Te1° …° Ten-1,

顯然,

不難看出空間Xn是嵌套的, 即

定義子空間

為Xn在Xn+1中的正交補(bǔ)空間, 即

(3)

(4)

(5)

其中

于是可得到W1的一組與W0正交的標(biāo)準(zhǔn)正交基(即初始小波基). 根據(jù)以上遞推關(guān)系, 為了得到Wi(i=2,3,…,n)的基底, 可令

其中

μ(E)∶=2i-2e0+…+2ei-3+ei-2,r=w(1)，

得到一組多尺度的基函數(shù)，即

為了得到Wn上的分片二次多項(xiàng)式小波的顯示形式, 首先取

W0={l1(t),l2(t),l3(t)},

其中l(wèi)i(t)為L(zhǎng)egendre多項(xiàng)式

然后利用正交小波系的構(gòu)造方法, 計(jì)算得出Wn上的分片二次多項(xiàng)式小波的顯示多項(xiàng)式表達(dá)式如下:

當(dāng)i=0時(shí),

(7)

(8)

(9)

當(dāng)i=1,2,3,…,j=1,4,7…,3·2i-1-2時(shí)，

(10)

(11)

(12)

2小波方法求Fisher方程

以分片二次多項(xiàng)式小波作為基函數(shù), 采用配置法求Fisher方程的數(shù)值解, 且以數(shù)值例子來(lái)說(shuō)明此方法的有效性. 對(duì)于方程(1), 考慮以下其初值及邊界條件

u(0,t)=φ(t),u′(0,t)=φ(t)，

(13)

(14)

(15)

對(duì)方程(15)中的x由0到x進(jìn)行二次積分可得,

(16)

對(duì)方程(15)中的t由t到ts進(jìn)行一次積分可得,

(17)

對(duì)方程(17)中的x由0到x進(jìn)行一次積分可得,

(18)

對(duì)方程(18)中的x由0到x再進(jìn)行一次積分可得,

(19)

對(duì)方程(19)代入初值及邊界條件可得,

(20)

將方程(16)、(17)和(19)代入到方程(1)中可得

(1-(u(0,t)+x(u′(0,t)-u′(0,ts))+u(x,ts)-u(0,ts)+

(21)

代入初值和邊值條件可得

(22)

取初始值s=0,t0=0,代入方程(22)中得

(23)

代入到方程(23)求得分片二次多項(xiàng)式小波系數(shù)aij(t0),利用方程(17)和(20),在t=t1處分別求得u″(x,t1)和u(x,t1), 再代入方程(22)中求得aij(t1). 如此循環(huán), 可得到分片多項(xiàng)式小波系數(shù)aij(ts). 最后,將aij(ts)代入到方程(19)中得到u(x,t)的數(shù)值解.

給出當(dāng)α=6,β=1時(shí)方程(1)的數(shù)值結(jié)果來(lái)說(shuō)明本文方法的有效性. 設(shè)方程(1)的初值及邊界條件為

(24)

(25)

且其精確解為

(26)

利用上述方法,求得Fisher方程(1)在其初值及邊界條件為式(24)和(25)時(shí)的數(shù)值解. 表1 給出了當(dāng)分片二次多項(xiàng)式小波層數(shù)I分別取2和5時(shí), 方程(1)的數(shù)值解、精確解及其相應(yīng)的絕對(duì)誤差.從表1中明顯可以看出, 小波層數(shù)I=5時(shí)得到的誤差比I=2時(shí)小，隨著小波層數(shù)的增加, 絕對(duì)誤差逐漸變小, 說(shuō)明得到的數(shù)值解更加逼近精確解.

表1　當(dāng)I=2，3，x=0.5時(shí)Fisher方程的數(shù)值解、精確解及其誤差

3小結(jié)

基于空間L2[0,1]上的分片二次多項(xiàng)式小波建立了求解Fisher方程的數(shù)值方法. 利用小波的正交性以及分片多項(xiàng)式的構(gòu)造方法得到分片二次多項(xiàng)式小波的具體顯示多項(xiàng)式形式, 結(jié)合函數(shù)逼近和配置法將Fisher方程的初值及邊值問(wèn)題等價(jià)地轉(zhuǎn)化為關(guān)于小波系數(shù)的代數(shù)方程組的求解問(wèn)題. 分片二次多項(xiàng)式小波具有顯示多項(xiàng)式形式使得在進(jìn)行數(shù)值計(jì)算時(shí)更加的簡(jiǎn)單方便, 而且其多分辨分析性質(zhì)使得計(jì)算結(jié)果更加穩(wěn)定. 分片二次多項(xiàng)式小波也適用于和已有的小波數(shù)值方法結(jié)合求解微分方程和積分方程的數(shù)值解, 如小波有限元法, 小波配點(diǎn)法, 小波Galerkin法等.最后數(shù)值試驗(yàn)結(jié)果說(shuō)明了本文的方法是有效的, 且具有較高的數(shù)值精度.

參考文獻(xiàn)：

[1]FisherRA.Thewaveofadvanceofadvantageousgenes[J].Ann.Eugenics,1937,7(4):335-369.

[2]KudryashovNA,ZakharchenkoAS.AnoteonsolutionsofthegeneralizedFisherequation[J].AppliedMathematicsLetters,2014,32:53-56.

[3]TliliK,KhaledO.Asecond-orderaccuratedifferenceschemeforanextendedFisher-Kolmogorovequation[J].ComputersandMathematicswithApplications,2011,61(2):451-459.

[4]YeunYL.HeteroclinicsolutionsfortheextendedFisher-Kolmogorovequation[J].JournalofMathematicalAnalysisandApplications,2013,407(1):119-129.

[5]ZhaoTG,LiC,ZangZL,etal.Chebyshev-Legendrepseudo-spectralmethodforthegeneralisedBurgers-Fisherequation[J].AppliedMathematicalModelling,2012,36:1 046-1 056.

[6]MasomehA,JalilR,RezaE.Tensionsplinemethodforsolutionofnon-linearFisherequation[J].AppliedMathematicsandComputation,2014,249:399-407.

[7]SyedTM,MuhammadAN.ModifiedvariationaliterationmethodforsolvingFisher’sequations[J].JournalofAppliedMathematicsandComputing,2009,31(1/2):295-308.

[8]MehoiB,DavodKS.AhighlyaccuratemethodtosolveFisher’sequation[J].Pramana:JournalofPhysics,2012,78(3):335-346.

[9]HariharanG,KannankK,SharmaKR.HaarwaveletmethodforsolvingFisher’sequation[J].AppliedMathematicsandComputation,2009,211(2):284-292.

[10]HarpreetK,MittalRC,VinodM.Haarwaveletsolutionsofnonlinearoscillatorequations[J].AppliedMathematicalModelling,2014,38(21/22):4 958-4 971.

[11]ShiZ,LiFM.Numericalsolutionofhigh-orderdifferentialequationsbyusingperiodizedShannonwavelets[J].AppliedMathematicalModelling, 2014,38(7/8):2 235-2 248.

[12]ShenY,LinW.Collocationmethodforthenaturalboundaryintegralequation[J].AppliedMathematicsLetters,2006,19:1 278-1 285.

[13]ChenZ,MicchelliCA,XuY.Aconstructionofinterpolatingwaveletsoninvariantsets[J].MathematicsofComputation,1999,68(228):1 569-1 587.

[14]MiccelliCA,XuY.Reconstructionanddecompositionalgorithmsforbiorthogonalmultiwavelets[J].MutidimensionalSystemsandSignalProcessing,1997,8(1/2):31-69.

[15] 凌捷. 求解第一類(lèi)積分方程的正則化-小波方法及其數(shù)值試驗(yàn)[J]. 高等學(xué)校計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào), 1998(3):1 215-1 231.

Wavelet Numerical Method of Fisher Equation

Liu Fengling, Shen Youjian, Ruan Zhiyi

(SchoolofMathematicsandStatistics,HainanNormalUniversity,Haikou571158,China)

Abstravct：Inthereport,thecompressionmapping,Legendrepolynomialsandtheorthogonalityofwaveletwereusedtoobtainthegeneralformulaofpiecewisequadraticpolynomialwavelets,andthewaveletswereusedasbasisfunctionsandthecollocationmethodwasperformedtoobtainthenumericalsolutionofFisherequation.ThenumericalexperimentindicatedthatthemethodiseffectiveandfeasiblefortheFisherequation.

Keywords：Fisherequation;piecewisequadraticpolynomialwavelets;functionapproximation;collocationmethod

收稿日期：2015-09-28

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11461018；41361108)

作者簡(jiǎn)介：劉鳳玲(1989-), 女, 河南信陽(yáng)人,海南師范大學(xué)2013級(jí)碩士研究生,研究方向：計(jì)算數(shù)學(xué)及其應(yīng)用，E-mail:flliu116@qq.com 通信作者： 沈有建(1964-), 男, 海南?？谌? 博士, 教授, 研究方向：基礎(chǔ)數(shù)學(xué)、計(jì)算數(shù)學(xué), E-mail:yjshen678@qq.com

文章編號(hào)：1004-1729(2016)01-0001-06

中圖分類(lèi)號(hào)：O 242

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：ADOl：10.15886/j.cnki.hdxbzkb.2016.0001