BBM-Burgers方程解的整體存在性和有界性估計(jì)

李寶香，徐紅梅

(河海大學(xué)理學(xué)院，江蘇 南京 211100)

?

BBM-Burgers方程解的整體存在性和有界性估計(jì)

李寶香，徐紅梅

(河海大學(xué)理學(xué)院，江蘇 南京 211100)

摘要：通過(guò)構(gòu)造一個(gè)Banach空間柯西序列的方法和解的整體有界性估計(jì)，得到一維空間去掉粘性項(xiàng)的BBM-Burgers方程u=0大初值時(shí),解的整體存在性及某些有界性估計(jì).

關(guān)鍵詞：BBM-Burgers方程；解的整體存在性；有界性估計(jì)

0引言

我們考慮一維空間去掉粘性項(xiàng)的BBM-Burgers方程柯西問(wèn)題

(1)

在u0∈H1時(shí)解的整體存在性和有界性估計(jì).

關(guān)于BBM-Burgers方程的研究可以追溯到上個(gè)世紀(jì)，對(duì)流體動(dòng)力學(xué)的物理研究導(dǎo)出了該方程.BBM-Burgers方程與我們熟悉的BBM方程有著非常緊密的聯(lián)系.BBM方程具有形式

ut-uxxt+ux+uux=0

(2)

是1972年由Benjamin等[1]作為對(duì)Kdv[1-3]方程的精煉而提出.Kdv方程最初由研究水波而得出，后也可以作為研究物理系統(tǒng)中長(zhǎng)波的一個(gè)修正模型.所以BBM方程的各種變型的解的大時(shí)間狀態(tài)都得到了廣泛關(guān)注，見(jiàn)文獻(xiàn)[4-8].(1)式是BBM-Burgers方程

(3)

1局部解的存在性

定義序列{u(m)},u(0)=0，u(m)(m≥1)滿足

(4)

定理1當(dāng)u0∈H1，有u(1)∈X∞.

定理1的證明由(4)式，我們有

(5)

在(5)式兩邊同乘u(1)，并在R上關(guān)于變量x積分可以得到

于是

所以

u(1)∈X∞.

由數(shù)學(xué)歸納法，可得到下述定理.

定理2存在常數(shù)T1，有u(m)(x,t)∈XT1.

(6)

在(6)式兩邊同乘以u(píng)(m)，并在R上關(guān)于變量積分得

(7)

設(shè)u(m-1)∈XT，由Sobolev嵌入不等式，得‖u(m-1)‖L∞≤C‖u(m-1)‖H1≤CE

(8)

把(8)式代入(7)式，當(dāng)t≤T1，T1待定，得

取T1足夠小，滿足

則

u(m)(x,t)∈XT1.

定理3存在常數(shù)T2≤T1，有u(m)(x,t)是XT2空間的柯西序列.

定理3的證明由(4)式的第一式，當(dāng)m≥2，有

(9)

在(9)式兩邊同乘v(m)，并關(guān)于變量x在R上積分得

∫?xv(m)(u(m-1)2-u(m-2)2)dx≤‖?xv(m)‖L2‖(u(m-1)-u(m-2))(u(m-1)+u(m-2))‖L2≤

CE2‖u(m-1)-u(m-2)‖XT2

(10)

注意到v(m)|t=0=0，當(dāng)t≤T2時(shí)，由(10)式，得

所以

取T2足夠小，滿足

則

所以u(píng)(m)(x,t)是XT2空間的柯西序列.

結(jié)合定理2和定理3，由u(m)的構(gòu)造方法，我們得到方程(1)的解的局部存在性.

2結(jié)論

為證明解的整體存在性，我們還需證明‖u‖H1有界.由能量估計(jì)，可得到下面的定理.

定理4若u0∈H1，則u∈H1.

定理4的證明在(1)式的第一式兩邊乘以u(píng)，并關(guān)于變量x在R上積分得

(11)

注意到∫u?xu2dx=0，由(11)式得

所以若u0∈H1，則u∈H1.

于是得到本文中的結(jié)論.

3參考文獻(xiàn)

[1] Benjamin T B，Bona J L，Mahony J J.Model equations for long waves in nonlinear dispersive system[J].Phil Trans R Soc London(Ser A)，1972，272：47-78.

[2] Medeiros L A，Menzala P G.Existence and uniqueness for periodic solutions of the Benjamin-Bona-Mahony equation[J].SIAM J Math Anal，1977，8(5)：792-799.

[3] Avrin J.The generalized Benjamin-Bona-Mahony equation in with singular initial data[J].Nonlinear Anal，1987，11:139-147.

[4] Albert J.Dispersion of low energy waves for the generalized Benjamin-Bona-Mahony equation[J].J Differential Equations，1986，63：117-134.

[5] Albert J.On the decay of solutions of the generalized Benjamin-Bona-Mahony equation[J].J Math Anal Appl，1989，141：527-537.

[6] Biler P.Long time behavior of solutions of the generalized Benjamin-Bona-Mahony equation in two space dimensions[J].Diff Integral Eqns，1992(5)：891-901.

[7] Zhang L H.Decay of solutions of generalized Benjamin-Bona-Mahony equations[J].Acta Math Sinica (N.S.)，1994，10：428-438.

[8] Fang S M，Guo B L.The decay rates of solutions of generalized Benjamin-Bona-Mahony equations in multi-dimensions[J].Nonlinear Anal，2008，69：2230-2235.

[9] Zhao H J.Existence and convergence of solutions for the generalized BBM-burgers equations with dissipative term 2：the multidimensional case[J].Applicable Analysis，2000，75(1)：107-135.

[10] Zhao H J.Optimal temporal decay estimates for the solution to the multidimensional generalized BBM-Burgers Equations with Dissipative Term[J].Applicable Analysis，2000，75(1)：85-105.

[11] Zhao H J，Xuan B J.Existence and convergence of solutions for the generalized BBM-Burgers equations with dissipative term[J].Nonlinear Anal，1997，28(11)：1835-1849.

[12] Wang Weike，Zhang Dandan.Large-time behavior for the solution to the generalized Benjamin-Bona-Mahony-Burgers equation with larger initial date in the whole space[J].Journal of Mathematical Analysis ahd Applications，2014，411：144-165.

(責(zé)任編輯趙燕)

Global existence and bounded estimate of solutions of the BBM-Burgers equation

LI Baoxiang，XU Hongmei

(College of Science，Hohai University，Nanjing 211100，China)

Abstract：By the construction of a Cauchy sequence in a Banach space and the global bounded estimate of solution，we obtain the global existence and the bounded estimate of solution of a one-dimensional BBM-Burgers equation without the viscous termu=0 with large initial date.

Key words：BBM-Burgers equation；global existence of solution；bounded estimate

文章編號(hào):1000-2375(2016)03-0307-03

收稿日期:2015-12-14

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金(11571092)資助

作者簡(jiǎn)介：李寶香(1991-)，女，碩士生；徐紅梅，通信作者，副教授，E-mail：xxu_hongmei@163.com

中圖分類號(hào):O175.28

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

DOI:10.3969/j.issn.1000-2375.2016.04.008