變式串、解法串讓數(shù)學(xué)課堂展開(kāi)思維的翅膀

湯愛(ài)堯 楊子林

摘 要：?jiǎn)栴}串、變式串是對(duì)某些數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想而搭建的一個(gè)個(gè)呈現(xiàn)出內(nèi)在聯(lián)系與邏輯關(guān)系的系列問(wèn)題。它可以使學(xué)生一步步深入理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)、數(shù)學(xué)方法的步驟以及數(shù)學(xué)思想的精髓。對(duì)此，數(shù)學(xué)教師更應(yīng)該解放思想，鼓勵(lì)學(xué)生課堂上參與變式設(shè)計(jì)，充分參與課堂，從而真正提高課堂教學(xué)效率。

關(guān)鍵詞：?jiǎn)栴}串；變式串；解法串；高效課堂

中圖分類號(hào)：G63 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-9132（2016）31-0124-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2016.31.080筆者所在學(xué)校是一所省級(jí)示范性高中，近年來(lái)學(xué)校大力開(kāi)展“誘思探究之高效課堂教學(xué)研究”的國(guó)家級(jí)重點(diǎn)課題研究。2011年11月下旬，全校開(kāi)展了一系列高效課題專題研討活動(dòng)，筆者作為研究員，針對(duì)在章末復(fù)習(xí)課中如何體現(xiàn)新課標(biāo)要求，有效滲透新課程理念，轉(zhuǎn)變課堂教學(xué)模式，提高課堂教學(xué)效率進(jìn)行了專題發(fā)言，并承擔(dān)了一節(jié)研討課。下面是筆者對(duì)本節(jié)課的實(shí)錄與反思。

一、教學(xué)實(shí)錄

教師：今天我們從課后作業(yè)中的一道題說(shuō)起，進(jìn)而探究一類圓錐曲線最值問(wèn)題的解法。

題目：已知點(diǎn)P（x，y）在橢圓2x2+3x2=6上，求x2+y2的最大值與最小值。

教師：同學(xué)們小組內(nèi)交流一下這道題的解法，看看能探討出多少種解法？看哪個(gè)小組的解法最都多？

在平時(shí)的課堂教學(xué)中，我采用小組合作探究，小組間互評(píng)（即小組間相互攻擊：質(zhì)疑、糾錯(cuò)與完善，互評(píng)時(shí)可以口頭表述、板演、解題過(guò)程利用實(shí)物投影儀展示等方式）的學(xué)習(xí)方式教學(xué)。

教師給出題目幾分鐘后便有小組1展示了如下分析：

方法一：把x2+y2看作二元函數(shù)，可以把二元函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問(wèn)題，即Z=x2+y2=x2+x2+2，因?yàn)镻（x，y）在橢圓2x2+3x2=6上，所以，因此函數(shù)的最大值為3，最小值為2。

方法二：解決解析幾何問(wèn)題有兩種方法：代數(shù)法和幾何法。方法一是從代數(shù)角度出發(fā)，利用函數(shù)思想解決問(wèn)題。本題還可以從幾何角度出發(fā)，利用x2+y2的幾何意義來(lái)解決，x2+y2可以看做是點(diǎn)P（x，y）到原點(diǎn)的距離的平方，而最大值和最小值分別在長(zhǎng)軸和短軸的頂點(diǎn)處取得。

小組2（搶過(guò)話題）：可以把Z=x2+y2成是以原點(diǎn)為圓心為半徑的圓的方程，x2+y2的最值可以轉(zhuǎn)化為求該圓半徑的最大值與最小值。

學(xué)生都露出了贊許的微笑。

小組3（搶過(guò)話題）：可以用三角換元。

這時(shí)好多學(xué)生露出了疑惑的表情。這時(shí)我示意該同學(xué)停下，在課件上展示了以下幾個(gè)問(wèn)題：

請(qǐng)同學(xué)們回顧：什么是換元法？換元法的實(shí)質(zhì)是什么？（換元法是初高中教材銜接的重要內(nèi)容，高一課堂上已進(jìn)行多次介紹與滲透）下面兩個(gè)問(wèn)題能不能用換元法解決？

1. 已知x2+y2=1，求x+y的最大值與最小值。

2. 已知x2+y2=4，求x+y的最大值與最小值。

此時(shí)，學(xué)生展開(kāi)了熱烈的討論。幾分鐘后，學(xué)生就統(tǒng)一了認(rèn)識(shí)。我選了兩位學(xué)生在草紙本上的解題過(guò)程利用實(shí)物投影儀進(jìn)行了展示。

在這里我只選第1題的解題過(guò)程：設(shè)x=sin？琢，y=cos？琢，其中？琢∈R，則x+y=sin？琢+cos？琢=sin（？琢+？準(zhǔn)），所以x+y的最大值為，最小值為

針對(duì)解題過(guò)程中角？琢的取值范圍，教師提出問(wèn)題：其中？琢∈R改為？琢或？琢∈0，？仔或？琢∈0，2？仔行不行？為什么？通過(guò)這個(gè)問(wèn)題使學(xué)生進(jìn)一步理解換元法的實(shí)質(zhì)是等量代換。

同時(shí)請(qǐng)剛剛回答問(wèn)題的學(xué)生在黑板上展示解題過(guò)程：

解：由2x2+3x2=6可得2+2=1，設(shè)

cos？琢，=sin？琢，即x=cos？琢y=sin？琢，其中？琢∈R，則x2+y2=3cos2？琢+2sin2？琢=2+ cos2？琢

所以x2+y2的最大值為3，最小值為2。

教師：剛才的探究過(guò)程對(duì)大家一定很有啟發(fā)，請(qǐng)問(wèn)那一個(gè)小組的同學(xué)可以將這道題稍作改變，編出幾道類似的最值問(wèn)題考考其他小組的同學(xué)？

一聽(tīng)這話，學(xué)生的興致馬上提了起來(lái)，展開(kāi)了討論。不一會(huì)便有小組躍躍欲試，舉手發(fā)言。等到大多數(shù)小組舉起了手，教師請(qǐng)小組發(fā)言人相繼到黑板上板演問(wèn)題，經(jīng)整理如下：

1. 求x+3y的最大值與最小值。

2. 求的最大值與最小值。

3. 求xy的最大值與最小值。

4. 求x2+y2-2x的最大值與最小值。

5. 求點(diǎn)P到橢圓的左焦點(diǎn)的最大距離與最小距離。

6. 求點(diǎn)P到直線x+y-10=0的最大距離與最小距離。

7. 已知點(diǎn)P（x，y）在雙曲線2x2-3y2=6上，求8x2+y2的最小值。

8. 已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，求PF1·PF2的最大值與最小值。

9. 已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，則點(diǎn)P在何處時(shí)∠F1PF2最大？△F1PF2面積最大？最大值分別是多少？若橢圓的左右頂點(diǎn)分別為A1，A2，則點(diǎn)P在何處時(shí)∠A1PA2最大？

在第9題解決完后，教師設(shè)問(wèn)：請(qǐng)同學(xué)們總結(jié)一下，求二元函數(shù)最值的方法有哪些？

1. 二元函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問(wèn)題。

2. 利用均值不等式。

3. 利用三角換元。

4. 利用數(shù)形結(jié)合。（1）利用線性規(guī)劃；（2）利用式子的幾何意義。

在教師引導(dǎo)下，學(xué)生還歸納出橢圓中的幾個(gè)有關(guān)最大值與最小值的結(jié)論：（1）橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最大和最小的點(diǎn)在橢圓的長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)上。（2）橢圓上的點(diǎn)到中心的距離的最大（最小）的點(diǎn)在橢圓的長(zhǎng)（短）軸的兩個(gè)端點(diǎn)上。（3）橢圓的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，則點(diǎn)P在短軸的端點(diǎn)處時(shí)∠F1PF2最大、△F1PF2面積最大。（4）若橢圓的左右頂點(diǎn)分別為A1，A2，則點(diǎn)P在短軸的端點(diǎn)處時(shí)∠A1PA2最大。

復(fù)習(xí)課中的問(wèn)題串、變式串，是對(duì)某些數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想而搭建的一個(gè)個(gè)呈現(xiàn)出內(nèi)在聯(lián)系與邏輯關(guān)系的系列問(wèn)題，它可以使學(xué)生一步步深入理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)、數(shù)學(xué)方法的步驟以及數(shù)學(xué)思想的精髓。新課標(biāo)教材中的許多例、習(xí)題本身就是或“知識(shí)”上的或“思想方法”上的一系列變式串，更有許多例、習(xí)題通過(guò)變式引申出了一系列經(jīng)典高考試題、培訓(xùn)題，這需要教師精心挖掘和積累。教師平時(shí)應(yīng)對(duì)一些例題、習(xí)題細(xì)心把玩，研究題目的條件和結(jié)論，解決問(wèn)題時(shí)采用的策略和方法，并在此基礎(chǔ)上，或進(jìn)一步推廣、或增加條件、或減少條件、或改變條件或改變結(jié)論等，或從系列知識(shí)為背景、或以思想方法為主線推陳出新編制一些變式題目。著名的數(shù)學(xué)教育家波利亞曾形象地指出：“好問(wèn)題同某種蘑菇有些相像，它們都成堆地生長(zhǎng)，找到一個(gè)后，你應(yīng)當(dāng)在周圍找一找，很可能附近就有好幾個(gè)。”“一個(gè)專心的、認(rèn)真?zhèn)湔n的教師，能夠拿出一個(gè)有意但不復(fù)雜的問(wèn)題，去幫助學(xué)生發(fā)掘問(wèn)題的各個(gè)方面，使得通過(guò)這個(gè)問(wèn)題，就好像通過(guò)一道門(mén)戶，把學(xué)生引入一個(gè)完整的理論領(lǐng)域?！逼鋵?shí)，教師更應(yīng)該解放思想，鼓勵(lì)學(xué)生課堂上參與變式設(shè)計(jì)，就會(huì)驚奇地發(fā)現(xiàn)學(xué)生居然有這么好的創(chuàng)造力，從而獲得意想不到的收獲。