顧及衛(wèi)星鐘隨機(jī)特性的抗差最小二乘配置鐘差預(yù)報(bào)算法

王宇譜，呂志平，王　寧，李林陽，宮曉春

1. 信息工程大學(xué)地理空間信息學(xué)院，河南 鄭州 450001； 2. 地理信息工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710054

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顧及衛(wèi)星鐘隨機(jī)特性的抗差最小二乘配置鐘差預(yù)報(bào)算法

王宇譜1,2，呂志平1，王寧1，李林陽1，宮曉春1

1. 信息工程大學(xué)地理空間信息學(xué)院，河南 鄭州 450001； 2. 地理信息工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710054

Foundation support： The National Natural Science Foundation of China (Nos. 41274015;U1431115); The Natural High-tech Research and Development Program of China (863 Program) (No. 2013AA122501); The Open Research Fund of State Key Laboratory of Geo-information Engineering (No. SKLGIE2015-M-1-6)

摘要：為了更好地反映鐘差特性并提高其預(yù)報(bào)精度，采用抗差最小二乘配置方法建立一種能夠同時(shí)考慮星載原子鐘物理特性、鐘差周期性變化與隨機(jī)性變化特點(diǎn)的鐘差預(yù)報(bào)模型。首先使用附有周期項(xiàng)的二次多項(xiàng)式模型進(jìn)行擬合提取衛(wèi)星鐘差的趨勢(shì)項(xiàng)與周期項(xiàng)，然后針對(duì)剩余的隨機(jī)項(xiàng)及其可能存在的粗差，采用抗差最小二乘配置的原理進(jìn)行建模，其中最小二乘配置的協(xié)方差函數(shù)通過對(duì)比協(xié)方差擬合的方法并結(jié)合試驗(yàn)進(jìn)行確定。使用IGS精密鐘差數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)報(bào)試驗(yàn)，將本文方法與二次多項(xiàng)式模型、灰色模型進(jìn)行對(duì)比，預(yù)報(bào)精度分別提高了0.457 ns和0.948 ns，而預(yù)報(bào)穩(wěn)定性則分別提高了0.445 ns和1.233 ns，證明了本文方法能夠更好地預(yù)報(bào)衛(wèi)星鐘差，同時(shí)說明本文的協(xié)方差函數(shù)確定方法的有效性。

關(guān)鍵詞：衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)；隨機(jī)變化特性；最小二乘配置；抗差估計(jì)；協(xié)方差函數(shù)

衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中星載原子鐘的鐘差預(yù)報(bào)在維持系統(tǒng)時(shí)間同步、優(yōu)化導(dǎo)航電文中的鐘差參數(shù)等方面具有重要的作用[1-2]。因此，針對(duì)衛(wèi)星鐘差(satellite clock bias, SCB)預(yù)報(bào)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了大量的研究，建立起了多種鐘差預(yù)報(bào)模型[2-8]，總結(jié)起來主要有：二次多項(xiàng)式(QP)模型[2]、灰色系統(tǒng)(GM(1,1))模型[3]、譜分析(SA)模型[4-5]、時(shí)間序列(ARIMA)模型[6]、Kalman濾波(KF)模型[7]、小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(WNN)模型[1]和徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(RBF)模型[8]等。然而，由于星載原子鐘本身復(fù)雜變化的時(shí)頻特性和極易受外界條件的影響，衛(wèi)星鐘差通常表現(xiàn)出復(fù)雜的周期變化與隨機(jī)變化特性，使得已有的鐘差預(yù)報(bào)模型在應(yīng)用中仍存在一定的局限性：QP預(yù)報(bào)鐘差時(shí)其預(yù)報(bào)誤差會(huì)隨著預(yù)報(bào)時(shí)間的增加而顯著變大，GM(1,1)預(yù)報(bào)精度受模型指數(shù)系數(shù)影響較大[9]，SA的周期函數(shù)要根據(jù)較長(zhǎng)的鐘差序列才能可靠確定，ARIMA存在模式識(shí)別和模型定階的困難，KF的優(yōu)劣取決于對(duì)原子鐘運(yùn)行特性和隨機(jī)先驗(yàn)信息等的認(rèn)知程度[10]，WNN網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的確定比較困難[1]，RBF預(yù)報(bào)中對(duì)應(yīng)的樣本長(zhǎng)度、樣本量以及樣本之間間隔的確定缺少理論根據(jù)只能依賴經(jīng)驗(yàn)確定[8]。而在這些模型當(dāng)中，QP模型和GM(1,1)模型是最為常用且具有代表性的預(yù)報(bào)模型。

為了更好地反映鐘差特性并提高其預(yù)報(bào)精度，本文同時(shí)考慮星載原子鐘的物理特性、周期性變化特點(diǎn)與隨機(jī)變化部分，在鐘差二次多項(xiàng)式附加周期項(xiàng)模型的基礎(chǔ)上，采用抗差最小二乘配置方法對(duì)衛(wèi)星鐘的隨機(jī)項(xiàng)進(jìn)行建模，得到一種更加完善的衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)模型。鐘差預(yù)報(bào)的結(jié)果表明，新方法能夠更加全面地描述鐘差的特性，并取得較兩種常用模型更好的預(yù)報(bào)效果，同時(shí)也說明了針對(duì)新模型所提的協(xié)方差函數(shù)的確定方法是有效的。

1算法原理

1.1最小二乘配置模型

最小二乘配置(LSC)的函數(shù)模型[11-13]為

L=AX+BY+Δ

(1)

(2)

1.2顧及衛(wèi)星鐘隨機(jī)特性的LSC鐘差預(yù)報(bào)算法

根據(jù)星載原子鐘的物理特性，在構(gòu)造精密的鐘差模型時(shí)，通常采用包含表征衛(wèi)星鐘時(shí)頻特性的相位、頻率、頻率漂移率的二次多項(xiàng)式模型，其具體表達(dá)式為[2]

Li=a0+a1(ti-t0)+a2(ti-t0)2+Δ

i=1,2,…,n

(3)

式中，Li是ti時(shí)刻的衛(wèi)星鐘差；t0為參考時(shí)刻；ti表示歷元時(shí)刻；待估參數(shù)a0、a1和a2分別表示參考時(shí)刻t0的相位(鐘差)、頻率(鐘速)及頻率漂移率(鐘漂)；Δ為觀測(cè)誤差。當(dāng)已知鐘差數(shù)據(jù)不少于3個(gè)時(shí)，便可擬合求得待估參數(shù)。以IGS提供的GPS系統(tǒng)PRN18衛(wèi)星2015年4月3日15min采樣間隔的精密衛(wèi)星鐘差數(shù)據(jù)為例，使用QP模型對(duì)這一天的鐘差數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，圖1是其對(duì)應(yīng)的擬合情況。

圖1　PRN18衛(wèi)星QP模型下的鐘差擬合Fig.1　Fitting SCB of the satellite PRN18 by QP model

從圖1中可以看出擬合殘差表現(xiàn)出較為明顯的周期特性。因此，為了更好地反映鐘差的特性，在鐘差的預(yù)報(bào)建模中除了以二次多項(xiàng)式來反映鐘差的趨勢(shì)項(xiàng)部分，還應(yīng)考慮鐘差的周期變化特性。附加周期項(xiàng)的二次多項(xiàng)式(記作MQP)模型表達(dá)式為[4]

Li=a0+a1(ti-t0)+a2(ti-t0)2+

(4)

式中，p為主要周期函數(shù)的個(gè)數(shù)；Ak、fk、φk分別為對(duì)應(yīng)周期項(xiàng)的振幅、頻率和相位；其余符號(hào)的含義與式(3)相同。p與fk的值可利用頻譜分析的方法來確定。考慮到本文中是以GPS衛(wèi)星鐘差數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)報(bào)試驗(yàn)， 因此基于文獻(xiàn)[14]的研究結(jié)果，直接取12 h、6 h作為MQP模型的主周期項(xiàng)。對(duì)應(yīng)于圖1的QP鐘差擬合，圖2是基于MQP模型的鐘差擬合情況。

對(duì)比圖1和圖2可以看出，MQP模型較好地消除鐘差周期性變化特性的影響，說明在衛(wèi)星鐘差中除了相位、頻率、頻率漂移率這些確定的物理特性之外，還有周期性變化的特性，因此在對(duì)鐘差進(jìn)行擬合與預(yù)報(bào)時(shí)需要將該特性考慮在內(nèi)。同時(shí)，由圖2可以看出，扣除衛(wèi)星鐘差的趨勢(shì)項(xiàng)與周期項(xiàng)之后，剩余的殘差部分表現(xiàn)為相對(duì)平穩(wěn)的隨機(jī)序列。為了更全面地反映衛(wèi)星鐘差特性并提高鐘差預(yù)報(bào)精度，在考慮星載原子鐘物理特性和周期變化特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，還應(yīng)考慮其隨機(jī)項(xiàng)部分[15]。

圖2　PRN18衛(wèi)星MQP模型下的鐘差擬合Fig.2　Fitting SCB of the satellite PRN18 by MQP model

鐘差隨機(jī)性變化部分可以看作是一個(gè)隨時(shí)間而連續(xù)變化的隨機(jī)函數(shù)，符合最小二乘配置理論的建模條件，因此，本文基于最小二乘配置建立更加全面的鐘差預(yù)報(bào)模型。該模型的表達(dá)式可以描述為

(5)

(6)

式中

根據(jù)估值準(zhǔn)則

(7)

求解式(6)可得

(8)

從而得到待求時(shí)刻的鐘差表達(dá)式為

(9)

1.3協(xié)方差函數(shù)的抗差擬合及其確定

合理的協(xié)方差函數(shù)確定一直是最小二乘配置中的關(guān)鍵問題[11]。同樣的，最小二乘配置鐘差預(yù)報(bào)模型的關(guān)鍵也在于其對(duì)應(yīng)協(xié)方差函數(shù)的確定。對(duì)于鐘差預(yù)報(bào)協(xié)方差函數(shù)的選擇，與多數(shù)采用最小二乘配置解決實(shí)際問題類似，本文也是通過選取可實(shí)際應(yīng)用的經(jīng)驗(yàn)協(xié)方差函數(shù)來實(shí)現(xiàn)對(duì)鐘差隨機(jī)特性(信號(hào))的描述。在已有的經(jīng)驗(yàn)協(xié)方差函數(shù)中，高斯函數(shù)的應(yīng)用最為廣泛且性能相對(duì)較好[11,13,16]，因此本文選擇高斯函數(shù)(其表達(dá)式為σ(d)=σ2(0)exp(-kd2)，式中d為兩數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的距離，σ2(0)、k是待求的協(xié)方差函數(shù)參數(shù))作為最小二乘配置鐘差預(yù)報(bào)模型對(duì)應(yīng)的協(xié)方差函數(shù)。對(duì)于協(xié)方差函數(shù)參數(shù)的確定，可以直接采用兩步極小法[17]，即根據(jù)附有周期項(xiàng)的二次多項(xiàng)式模型的擬合殘差確定協(xié)方差函數(shù)的參數(shù)；將該方法確定的最小二乘配置模型記作LSC模型。然而，考慮到在鐘差數(shù)據(jù)中可能存在異常值，因此本文在文獻(xiàn)[16—20]的基礎(chǔ)上，采用抗差M估計(jì)[21]來求取協(xié)方差函數(shù)參數(shù)值的抗差估計(jì)解。具體方法如下：

1.3.1計(jì)算抗差迭代的初值

對(duì)衛(wèi)星鐘差數(shù)據(jù)進(jìn)行歸化處理，消除趨勢(shì)項(xiàng)與周期項(xiàng)的影響，得到

Z=S+Δ=L-AX

(10)

式中，X的估值

(11)

歸化后得

(12)

式中，n為一定時(shí)間段內(nèi)已知鐘差數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)。

按照抗差估計(jì)原理求Z的中心化值。迭代初值為δZi=Zi-med{Zi}；方差因子為σi=med{|δZi|}/0.674 5。在最小二乘配置模型中，其協(xié)方差陣和權(quán)陣間需相互轉(zhuǎn)換；為避免迭代過程中出現(xiàn)過分降權(quán)的問題以及使得降權(quán)更加平穩(wěn)，本文選用IGG3權(quán)函數(shù)[22]，得到權(quán)因子函數(shù)的表達(dá)式為

(13)

(14)

1.3.2計(jì)算樣本協(xié)方差函數(shù)值

(15)

式中，ml表示任意兩個(gè)時(shí)間差等于dl的點(diǎn)的對(duì)數(shù)，該式即為各等間距信號(hào)的樣本協(xié)方差函數(shù)值。

1.3.3擬合協(xié)方差函數(shù)

利用高斯函數(shù)作為協(xié)方差函數(shù)的解析式，即

(16)

等式兩邊取對(duì)數(shù)，得到用于擬合計(jì)算的公式

(17)

然而，在鐘差預(yù)報(bào)的試驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，不論是采用協(xié)方差函數(shù)直接擬合的方法還是協(xié)方差函數(shù)抗差估計(jì)擬合的方法，得到的協(xié)方差函數(shù)參數(shù)均不能較為理想地進(jìn)行鐘差預(yù)報(bào)(參見算例1)，這主要是因?yàn)橐容^可靠地確定信號(hào)的協(xié)方差函數(shù)，必須有大量的數(shù)據(jù)。然而，這是一個(gè)非常困難的問題，實(shí)際中，要根據(jù)具體問題的性質(zhì)，通過理論上的研究和對(duì)大量已測(cè)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析才能較好地解決[11]。因此，在最初的試驗(yàn)中，通過改變RLSC模型協(xié)方差函數(shù)的參數(shù)值來觀察分析預(yù)報(bào)結(jié)果的變化情況，發(fā)現(xiàn)當(dāng)協(xié)方差函數(shù)的參數(shù)取適當(dāng)?shù)闹禃r(shí)，最小二乘配置鐘差預(yù)報(bào)模型能夠取得相對(duì)較好的預(yù)報(bào)結(jié)果。最后，基于2015年4月一個(gè)月、2013年6月23和24日、2013年7月15和16日、2007年5月25日和6月24日GPS系統(tǒng)15min采樣間隔的精密鐘差數(shù)據(jù)進(jìn)行鐘差預(yù)報(bào)試驗(yàn)(考慮文章篇幅，此處及“試驗(yàn)與分析”部分不詳細(xì)列出)，通過對(duì)星載銣鐘預(yù)報(bào)結(jié)果的分析總結(jié)，最終得到σ2(0)和k較理想的取值范圍為：σ2(0)∈{1,5,10,50,100,200,300,400,500},k∈{1.0×10-12～-6,5.0×10-12～-6,9.0×10-12～-6}。將此時(shí)確定的最小二乘配置模型記作MRLSC模型。圖3給出了本文所提方法的計(jì)算步驟及數(shù)據(jù)處理流程。需要說明的是，在具體使用這些參數(shù)值進(jìn)行鐘差預(yù)報(bào)時(shí)，將σ2(0)與k的取值使得預(yù)報(bào)結(jié)果的均方根誤差(RMS，其定義參見式(18))最小的組合數(shù)作為MRLSC模型協(xié)方差函數(shù)參數(shù)的最佳取值。例如下文“2.1 試驗(yàn)1”中，在σ2(0)與k的可取數(shù)值中，當(dāng)σ2(0)=500、k=1.0×10-10時(shí)，PRN01衛(wèi)星的鐘差預(yù)報(bào)RMS最小，因此取該組合值作為協(xié)方差函數(shù)的參數(shù)值。而在實(shí)際應(yīng)用中，可以根據(jù)所需預(yù)報(bào)時(shí)間段的相鄰上一時(shí)間段預(yù)報(bào)確定的協(xié)方差函數(shù)參數(shù)取值作為當(dāng)前MRLSC模型協(xié)方差函數(shù)的參數(shù)取值，例如下文“2.2 試驗(yàn)2”中4月4日預(yù)報(bào)4月5日確定的協(xié)方差函數(shù)參數(shù)值，可以作為接下來4月5日預(yù)報(bào)4月6日、4月6日預(yù)報(bào)4月7日的協(xié)方差函數(shù)值進(jìn)行鐘差預(yù)報(bào)。

圖3　新方法的計(jì)算步驟及數(shù)據(jù)處理流程Fig.3　Calculation steps and data processing proceduresof the proposed method

2試驗(yàn)與分析

為了驗(yàn)證所提方法的有效性，采用IGS提供的GPS系統(tǒng)15min采樣間隔的精密鐘差數(shù)據(jù)進(jìn)行試算分析。以2015年4月3日到2015年4月7日的數(shù)據(jù)為例，考慮當(dāng)前衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)在軌運(yùn)行星載原子鐘主要是銣原子鐘(Rb鐘)，因此本文采用該時(shí)間段內(nèi)GPS系統(tǒng)星載Rb鐘進(jìn)行鐘差預(yù)報(bào)試驗(yàn)。該時(shí)間段內(nèi)GPS系統(tǒng)星載Rb鐘的信息如表1所示。表中字體加粗的18顆衛(wèi)星表示在試驗(yàn)時(shí)間段內(nèi)其鐘差數(shù)據(jù)連續(xù)且對(duì)應(yīng)的頻率數(shù)據(jù)[10]相對(duì)平穩(wěn)無跳變。

表1　GPS系統(tǒng)星載Rb鐘的類型

另外，以預(yù)報(bào)時(shí)間段對(duì)應(yīng)的已知精密鐘差數(shù)據(jù)為基準(zhǔn)值，采用均方根誤差(RMS)和極差(最大、最小誤差之差的絕對(duì)值，記作range)作為預(yù)報(bào)結(jié)果的統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行對(duì)比與分析，其中RMS表征預(yù)報(bào)結(jié)果的精度，range代表預(yù)報(bào)結(jié)果的穩(wěn)定性。RMS計(jì)算公式為

(18)

2.1試驗(yàn)1

首先分析新方法的建模過程及協(xié)方差函數(shù)對(duì)預(yù)報(bào)結(jié)果的影響。使用4月3日的衛(wèi)星鐘差數(shù)據(jù)分別對(duì)QP、MQP、LSC、RLSC和MRLSC進(jìn)行建模，預(yù)報(bào)接下來4月4日一整天的鐘差。此處選取每種類型鐘對(duì)應(yīng)的一顆衛(wèi)星，本文選取的是PRN01、PRN04、PRN18和PRN29共4顆衛(wèi)星進(jìn)行試驗(yàn)分析。表2給出的是4顆衛(wèi)星進(jìn)行LSC、RLSC和MRLSC建模時(shí)對(duì)應(yīng)協(xié)方差函數(shù)參數(shù)的取值情況。因?yàn)槭且?yàn)證本文所確定的協(xié)方差函數(shù)的合理性，此處MRLSC對(duì)應(yīng)協(xié)方差函數(shù)參數(shù)的取值是通過使得MRLSC模型4月4日預(yù)報(bào)誤差RMS最小來確定的。圖4—圖7為4顆衛(wèi)星在5種模型下的預(yù)報(bào)結(jié)果。

對(duì)比圖中4顆衛(wèi)星的預(yù)報(bào)結(jié)果可以看出，在5種模型中QP模型的預(yù)報(bào)誤差發(fā)散較快且其誤差值相對(duì)較大，而其他4種模型的預(yù)報(bào)誤差相對(duì)較小，說明在鐘差預(yù)報(bào)中考慮衛(wèi)星鐘的周期項(xiàng)與隨機(jī)變化部分可以一定程度上改善預(yù)報(bào)效果。為了對(duì)預(yù)報(bào)結(jié)果進(jìn)行定量的分析，表3給出了4顆衛(wèi)星預(yù)報(bào)結(jié)果的統(tǒng)計(jì)值。

表2　協(xié)方差函數(shù)參數(shù)的取值

圖4　PRN01衛(wèi)星的預(yù)報(bào)結(jié)果Fig.4　Prediction results of satellite PRN01

圖5　PRN04衛(wèi)星的預(yù)報(bào)結(jié)果Fig.5　Prediction results of satellite PRN04

圖6　PRN18衛(wèi)星的預(yù)報(bào)結(jié)果Fig.6　Prediction results of satellite PRN18

圖7　PRN29衛(wèi)星的預(yù)報(bào)結(jié)果Fig.7　Prediction results of satellite PRN29

ns

對(duì)比表中4顆衛(wèi)星使用MQP和LSC模型的預(yù)報(bào)結(jié)果及其平均值可以看出，兩者的結(jié)果完全相同，說明直接利用擬合殘差得到的協(xié)方差函數(shù)在進(jìn)行鐘差預(yù)報(bào)時(shí)LSC模型的優(yōu)勢(shì)體現(xiàn)不出來。而在同樣的條件下，采用協(xié)方差函數(shù)抗差估計(jì)擬合方法的RLSC模型可以取得優(yōu)于MQP和LSC模型的預(yù)報(bào)結(jié)果，說明采用抗差估計(jì)的方法能夠一定程度上克服鐘差數(shù)據(jù)中隱含的粗差對(duì)LSC模型進(jìn)行鐘差預(yù)報(bào)時(shí)的影響，但是其改善效果仍不顯著。在此基礎(chǔ)上，當(dāng)協(xié)方差函數(shù)的參數(shù)使用本文所給范圍內(nèi)的取值時(shí)，MRLSC模型的RMS值與range值均明顯小于LSC模型和RLSC模型對(duì)應(yīng)的結(jié)果值，說明協(xié)方差函數(shù)的合理確定直接影響鐘差預(yù)報(bào)的結(jié)果。而本文所提的在協(xié)方差函數(shù)抗差估計(jì)的基礎(chǔ)上協(xié)方差函數(shù)的參數(shù)取本文所給參數(shù)是相對(duì)有效性的，可以作為最小二乘配置鐘差預(yù)報(bào)模型對(duì)應(yīng)協(xié)方差函數(shù)確定的方法。

另一方面，從該試驗(yàn)預(yù)報(bào)結(jié)果統(tǒng)計(jì)表中可以看出，MQP模型比QP模型的RMS值和range值都小，說明在對(duì)衛(wèi)星鐘差進(jìn)行建模時(shí)，考慮鐘差的周期項(xiàng)能夠加全面地反映衛(wèi)星鐘的特性、提高鐘差的預(yù)報(bào)效果。而MRLSC模型比MQP模型的RMS值和range值都小，說明考慮鐘差的隨機(jī)項(xiàng)可以更進(jìn)一步反映星載原子鐘的特性，從而提高鐘差預(yù)報(bào)的效果。根據(jù)每顆衛(wèi)星的預(yù)報(bào)結(jié)果及其平均值數(shù)據(jù)可知，MRLSC模型的RMS值與range值最小，說明本文所建模型的預(yù)報(bào)精度與預(yù)報(bào)穩(wěn)定性最好。該模型能夠在鐘差物理特性及其周期特性的基礎(chǔ)上顧及鐘差隨機(jī)特性得到更加完善的鐘差模型，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)衛(wèi)星鐘差更加精準(zhǔn)的預(yù)報(bào)。

2.2試驗(yàn)2

將本文所提方法與常用的QP模型和GM(1,1)模型進(jìn)行對(duì)比，進(jìn)一步分析新方法較兩種常用模型的預(yù)報(bào)特性。對(duì)18顆星載銣鐘進(jìn)行連續(xù)3 d的鐘差預(yù)報(bào)，即分別使用4月4、5、6日一整天的數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，分別預(yù)報(bào)接下來4月5、6、7日一整天的鐘差。表4給出了本試驗(yàn)中MRLSC模型中協(xié)方差函數(shù)對(duì)應(yīng)的參數(shù)取值。圖8—圖10是18顆衛(wèi)星在各模型下預(yù)報(bào)第1天鐘差的預(yù)報(bào)誤差。

表4　MRLSC模型對(duì)應(yīng)協(xié)方差函數(shù)參數(shù)的取值Tab.4　Parameter values of covariance function corresponding to MRLSC model

圖8　各顆衛(wèi)星在QP模型下的預(yù)報(bào)誤差Fig.8　Prediction errors of QP model for all satellites

圖9　各顆衛(wèi)星在GM(1,1)模型下的預(yù)報(bào)誤差Fig.9　Prediction errors of GM(1,1) model for all satellites

圖10　各顆衛(wèi)星在MRLSC模型下的預(yù)報(bào)誤差Fig.10　Prediction errors of MRLSC model for all satellites

對(duì)比3種模型的預(yù)報(bào)誤差圖可以看出，本文所提方法的預(yù)報(bào)誤差相對(duì)較小且發(fā)散較慢，同時(shí)誤差的波動(dòng)范圍也較小，因此說明新方法的預(yù)報(bào)效果優(yōu)于兩種常用模型的預(yù)報(bào)效果，同時(shí)也說明了本文所提協(xié)方差函數(shù)確定方法的有效性。表5和表6分別根據(jù)衛(wèi)星的種類給出了各類衛(wèi)星以及18顆衛(wèi)星每天預(yù)報(bào)結(jié)果RMS和range平均值的統(tǒng)計(jì)情況。

表5　預(yù)報(bào)結(jié)果的RMS統(tǒng)計(jì)值

注：all統(tǒng)計(jì)值的含義是每天在各模型下18顆衛(wèi)星預(yù)報(bào)結(jié)果RMS之和的平均值。

表6　預(yù)報(bào)結(jié)果的Range統(tǒng)計(jì)值

注：all統(tǒng)計(jì)值的含義是每天在各模型下18顆衛(wèi)星預(yù)報(bào)結(jié)果range之和的平均值。

根據(jù)表5和表6的統(tǒng)計(jì)結(jié)果可知：每天預(yù)報(bào)結(jié)果的RMS平均值中本文所提方法最小，其精度優(yōu)于兩種常用模型；而每天預(yù)報(bào)的穩(wěn)定性(range)平均值，本文方法整體上好于兩種常用模型。計(jì)算各模型3 d預(yù)報(bào)結(jié)果RMS和Range的平均值，分別為

3 d的平均預(yù)報(bào)精度MRLSC模型較QP模型和GM(1,1)分別提高了0.457 ns和0.948 ns，而3 d的平均預(yù)報(bào)穩(wěn)定性MRLSC模型較QP模型和GM(1,1)分別提高了0.445 ns和1.233 ns；因此，進(jìn)一步說明本文所提方法的合理性、有效性，同時(shí)也證明了所給協(xié)方差函數(shù)確定方法的有效性。對(duì)于4類衛(wèi)星鐘的預(yù)報(bào)，BLOCK IIA Rb鐘的效果最差，這是因?yàn)樵擃愋托l(wèi)星是GPS系統(tǒng)早期發(fā)射，長(zhǎng)時(shí)間的運(yùn)行導(dǎo)致衛(wèi)星上相關(guān)設(shè)備老化，也致使其鐘差預(yù)報(bào)的效果變差。對(duì)比3種模型下不同類型衛(wèi)星鐘的預(yù)報(bào)結(jié)果，特別是前兩天的，可以看出MRLSC模型對(duì)于新型的BLOCK IIF Rb鐘的鐘差預(yù)報(bào)能夠取得相對(duì)更好的效果。此外，在連續(xù)3 d的預(yù)報(bào)中，MRLSC模型的協(xié)方差函數(shù)參數(shù)取相同的值，但隨著預(yù)報(bào)時(shí)間段的推移，MRLSC模型較兩種常用模型的優(yōu)勢(shì)明顯減弱，特別是預(yù)報(bào)結(jié)果的穩(wěn)定性，說明本文所提方法對(duì)應(yīng)協(xié)方差函數(shù)的參數(shù)值確定之后，在一定的預(yù)報(bào)時(shí)間段內(nèi)不改變模型參數(shù)值可以進(jìn)行衛(wèi)星鐘差的連續(xù)建模預(yù)報(bào)，但隨著預(yù)報(bào)長(zhǎng)度的增加，預(yù)報(bào)效果有所下降。這是因?yàn)殡m然星載原子鐘在空間環(huán)境中受外界多種不確定因素以及自身頻率漂移等的影響，但是在相對(duì)較短的時(shí)間范圍內(nèi)，這些影響作用于衛(wèi)星鐘差數(shù)據(jù)的效果可以認(rèn)為是相同的，因此在使用最小二乘配對(duì)衛(wèi)星鐘差隨機(jī)性變化部分建模時(shí)，對(duì)應(yīng)的協(xié)方差函數(shù)參數(shù)可以取相同的數(shù)值。另一方面，雖然可以取相同的值，但是這些參數(shù)值不一定最佳。

3總結(jié)

為了更全面地反映衛(wèi)星鐘差特性并提高鐘差預(yù)報(bào)精度，本文基于抗差最小二乘配置方法，建立了一種能夠同時(shí)顧及衛(wèi)星鐘物理特性、鐘差周期性變化與隨機(jī)性變化特點(diǎn)的鐘差預(yù)報(bào)模型。通過試驗(yàn)與分析得出以下結(jié)論：

(1) 對(duì)于星載原子鐘的鐘差預(yù)報(bào)，顧及鐘差的周期特性與隨機(jī)特性能夠進(jìn)一步提高鐘差預(yù)報(bào)的效果。

(2) 采用最小二乘配置對(duì)鐘差隨機(jī)變化部分進(jìn)行建模是合適的，并且本文所給的協(xié)方差函數(shù)確定方法及其對(duì)應(yīng)的參數(shù)取值范圍是有效的。

(3) 新方法能夠有效地進(jìn)行鐘差預(yù)報(bào)且能取得優(yōu)于兩種常用模型的預(yù)報(bào)效果。

最后需要說明的是，協(xié)方差函數(shù)的合理確定是最小二乘配模型的關(guān)鍵，本文所確定的協(xié)方差函數(shù)相對(duì)有效，接下來還需進(jìn)行更多的試驗(yàn)與分析來實(shí)現(xiàn)進(jìn)一步的完善。

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(責(zé)任編輯：叢樹平)

修回日期： 2016-01-12

First author： WANG Yupu(1988—), male, PhD candidate, majors in theory and method of surveying data processing.

E-mail： 987834660@qq.com

Prediction of Navigation Satellite Clock Bias Considering Clock’s Stochastic Variation Behavior with Robust Least Square Collocation

WANG Yupu1,2,Lü Zhiping1,WANG Ning1,LI Linyang1,GONG Xiaochun1

1. School of Surveying and Mapping, Information Engineering University, Zhengzhou 450001, China; 2. State Key Laboratory of Geo-information Engineering, Xi’an 710054, China

Abstract：In order to better express the characteristic of satellite clock bias (SCB) and further improve its prediction precision, a new SCB prediction model is proposed, which can take the physical feature, cyclic variation and stochastic variation behaviors of the space-borne atomic clock into consideration by using a robust least square collocation (LSC) method. The proposed model firstly uses a quadratic polynomial model with periodic terms to fit and abstract the trend term and cyclic terms of SCB. Then for the residual stochastic variation part and possible gross errors hidden in SCB data, the model employs a robust LSC method to process them. The covariance function of the LSC is determined by selecting an empirical function and combining SCB prediction tests. Using the final precise IGS SCB products to conduct prediction tests, the results show that the proposed model can get better prediction performance. Specifically, the results’ prediction accuracy can enhance 0.457 ns and 0.948 ns respectively, and the corresponding prediction stability can improve 0.445 ns and 1.233 ns, compared with the results of quadratic polynomial model and grey model. In addition, the results also show that the proposed covariance function corresponding to the new model is reasonable.

Key words：satellite clock bias prediction; stochastic variation behavior; least square collocation; robust estimation; covariance function

中圖分類號(hào)：P228

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1001-1595(2016)06-0646-10

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金(41274015;U1431115)；國(guó)家863計(jì)劃(2013AA122501)；地理信息工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放研究基金(SKLGIE2015-M-1-6)

收稿日期：2015-11-06

第一作者簡(jiǎn)介：王宇譜(1988—)，男，博士生，研究方向?yàn)闇y(cè)量數(shù)據(jù)處理理論與方法。

引文格式：王宇譜，呂志平，王寧，等.顧及衛(wèi)星鐘隨機(jī)特性的抗差最小二乘配置鐘差預(yù)報(bào)算法[J].測(cè)繪學(xué)報(bào)，2016,45(6)：646-655. DOI:10.11947/j.AGCS.2016.20150569.

WANG Yupu,Lü Zhiping,WANG Ning,et al.Prediction of Navigation Satellite Clock Bias Considering Clock’s Stochastic Variation Behavior with Robust Least Square Collocation[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,2016,45(6):646-655. DOI:10.11947/j.AGCS.2016.20150569.