在軌加注過程中組合體航天器動(dòng)力學(xué)建模與分析*

楊雅君，廖　瑛，文援蘭

(國防科技大學(xué) 航天科學(xué)與工程學(xué)院， 湖南 長沙　410073)

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在軌加注過程中組合體航天器動(dòng)力學(xué)建模與分析*

楊雅君，廖瑛，文援蘭

(國防科技大學(xué) 航天科學(xué)與工程學(xué)院， 湖南 長沙410073)

摘要：針對(duì)在軌加注過程中質(zhì)量分布隨時(shí)間變化的組合體航天器，研究動(dòng)力學(xué)建模問題并對(duì)其動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行分析。將航天器系統(tǒng)分為剛性組合體平臺(tái)和貯箱內(nèi)燃料兩部分，貯箱內(nèi)的燃料視為質(zhì)量、外形和位置連續(xù)變化的質(zhì)量塊，將航天器系統(tǒng)抽象為一組有固定邊界的變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)系；在推導(dǎo)出變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)系一般力學(xué)方程的基礎(chǔ)上，通過對(duì)航天器結(jié)構(gòu)進(jìn)行一定限制消除方程中的反沖力和失調(diào)力矩，以組合體平臺(tái)主軸作為參考坐標(biāo)系，建立在軌加注過程中組合體動(dòng)力學(xué)模型；該模型除了參數(shù)時(shí)變的特點(diǎn)外，與普通剛體動(dòng)力學(xué)相比還含有阻尼項(xiàng)；基于李雅普諾夫穩(wěn)定判據(jù)，對(duì)該時(shí)變動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行分析。仿真計(jì)算展現(xiàn)了不同結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)姿態(tài)運(yùn)動(dòng)軌跡的影響，也證明了理論分析的正確性。

關(guān)鍵詞：在軌加注；時(shí)變參數(shù)；變質(zhì)量系統(tǒng)；航天器動(dòng)力學(xué)；穩(wěn)定性分析

在軌加注技術(shù)是空間在軌服務(wù)的重要組成部分，通過對(duì)在軌運(yùn)行的航天器進(jìn)行推進(jìn)劑加注補(bǔ)給，不僅可以延長使用壽命、提高軌道機(jī)動(dòng)能力，還為增加有效載荷比重和降低發(fā)射成本提供了可能，具有良好的經(jīng)濟(jì)效益和廣泛的應(yīng)用前景，因此備受各航天大國的重視?，F(xiàn)有的在軌加注技術(shù)要求服務(wù)航天器與目標(biāo)航天器進(jìn)行空間對(duì)接，形成新的組合體后再將加注貯箱內(nèi)的燃料經(jīng)管路連續(xù)不斷地傳輸?shù)侥繕?biāo)航天器貯箱中。

雖然在軌加注技術(shù)早已用于實(shí)踐，但相關(guān)文獻(xiàn)卻并不多見，特別是在軌加注過程中的航天器動(dòng)力學(xué)建模和分析，僅查閱到文獻(xiàn)[1]和文獻(xiàn)[2]有所涉及。文獻(xiàn)[1]考慮轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的時(shí)變效應(yīng)，通過對(duì)角動(dòng)量方程直接求微分得到姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程，所得到的方程與描述剛體姿態(tài)運(yùn)動(dòng)的歐拉方程相比多出一項(xiàng)與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量變化率有關(guān)的項(xiàng)。文獻(xiàn)[2]將貯箱內(nèi)的燃料視為外形變化的勻質(zhì)剛體，詳細(xì)推導(dǎo)了系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量隨時(shí)間變化的公式，將計(jì)算得到的系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量直接代入到歐拉方程中建立姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型。上述兩篇文獻(xiàn)并沒有對(duì)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特性進(jìn)行分析。加注過程中，燃料從加注貯箱轉(zhuǎn)移到目標(biāo)貯箱，服務(wù)航天器質(zhì)量隨之減少，目標(biāo)航天器質(zhì)量持續(xù)增加，可以借鑒變質(zhì)量體系統(tǒng)的建模方法。文獻(xiàn)[3]建立了考慮燃料消耗時(shí)質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量隨時(shí)間變化的飛艇的6自由度運(yùn)動(dòng)方程。文獻(xiàn)[4]以固體火箭為背景，分析了有大量質(zhì)量損耗時(shí)的自旋體姿態(tài)運(yùn)動(dòng)特性。文獻(xiàn)[5]研究了在時(shí)變慣量矩和黏滯阻力影響下的非對(duì)稱航天器的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)，并對(duì)運(yùn)動(dòng)的混沌現(xiàn)象進(jìn)行了深入分析。楊雅君等在文獻(xiàn)[2]提出的簡化條件基礎(chǔ)上，對(duì)在軌加注過程中航天器系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)建模和分析進(jìn)行深入研究。

1力學(xué)原理

對(duì)于加注過程中的組合體航天器，由于燃料傳輸造成系統(tǒng)質(zhì)量分布持續(xù)變化，航天工程中常用的單剛體或多剛體建模方法不再適用，有必要重新審視建模所基于的力學(xué)原理?？紤]一組有固定邊界的變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)系[6]，如圖1所示，R0為固連參考坐標(biāo)系原點(diǎn)的絕對(duì)位置矢量，Ri為質(zhì)點(diǎn)mi的絕對(duì)位置矢量，ri為質(zhì)點(diǎn)mi相對(duì)參考坐標(biāo)系原點(diǎn)O的位置矢量。因?yàn)橘|(zhì)量分布隨時(shí)間變化，系統(tǒng)質(zhì)心位置也是時(shí)變的，因此體固連參考坐標(biāo)系的原點(diǎn)選擇在任意非系統(tǒng)質(zhì)心的固定點(diǎn)上。

圖1　邊界固定的變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)系Fig.1　System of particles with varying mass andfixed boundary

在t時(shí)刻，系統(tǒng)相對(duì)參考坐標(biāo)系原點(diǎn)O的角動(dòng)量為：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

圖2　質(zhì)點(diǎn)m在t和t+Δt時(shí)刻角動(dòng)量Fig.2　Angular momentum of element m at t and t+Δt

用式(5)減去式(2)并除以Δt，求Δt→0的極限并忽略高階小量，得到系統(tǒng)角動(dòng)量變化率為：

(6)

將式(6)代入式(4)，得到質(zhì)量變化時(shí)的力矩方程為：

(7)

質(zhì)點(diǎn)絕對(duì)加速度的一般表達(dá)式為：

(8)

(9)

邊界固定的變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)系的在外力作用下，瞬時(shí)質(zhì)心的加速度和質(zhì)量流的線動(dòng)量會(huì)發(fā)生改變，外力方程為：

(10)

可見，對(duì)于變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)，其力方程(10)和力矩方程(9)是相互耦合的。

2動(dòng)力學(xué)模型與分析

2.1系統(tǒng)特點(diǎn)與假設(shè)

加注中的組合體航天器具有以下特點(diǎn)：通過剛性對(duì)接機(jī)構(gòu)的連接，服務(wù)航天器殼體與目標(biāo)航天器殼體之間沒有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，形成一個(gè)剛性組合平臺(tái)；在液體管理裝置的作用下貯箱內(nèi)氣-液完全分離，燃料被氣液分離面和貯箱壁約束成規(guī)則的幾何體；加注貯箱內(nèi)的燃料通過管路向目標(biāo)貯箱轉(zhuǎn)移，各貯箱內(nèi)燃料的形狀和質(zhì)量持續(xù)變化。因此，考慮將整個(gè)系統(tǒng)分成三個(gè)部分：剛性組合體平臺(tái)(整個(gè)系統(tǒng)除去燃料的部分)、加注貯箱內(nèi)的燃料、目標(biāo)貯箱中的燃料。

①假設(shè)燃料為不可壓縮流體；②參考當(dāng)前三軸穩(wěn)定航天器對(duì)接技術(shù)和文獻(xiàn)[2]的模型，假設(shè)組合體平臺(tái)的主軸系的x軸與對(duì)接軸重合，且加注貯箱和目標(biāo)貯箱縱軸也與對(duì)接軸重合；③假設(shè)加注貯箱燃料出口處的法線方向與目標(biāo)貯箱燃料入口處的法線方向同向且與對(duì)接軸平行；④假設(shè)燃料出口截面積與入口截面積相等。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖3　組合體航天器結(jié)構(gòu)Fig.3　Configuration of assembled spacecraft

2.2動(dòng)力學(xué)模型

(11)

(12)

其中，系統(tǒng)總質(zhì)量為：

m=Mb+m1+m2

(13)

系統(tǒng)質(zhì)心位置及其速度、加速度分別為：

(14)

(15)

(16)

系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：

(17)

(18)

其中，m10和m20分別表示加注和目標(biāo)貯箱內(nèi)燃料的初始質(zhì)量。 對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，需要明確受約束燃料的幾何形狀，考慮貯箱為圓柱體，根據(jù)均質(zhì)圓柱體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算公式，貯箱內(nèi)燃料的慣量矩為：

(19)

其中：i=1,2；R1和R2為貯箱底面半徑；l1和l2為圓柱體母線長度。對(duì)于均質(zhì)燃料，設(shè)密度為ρ，則母線長度隨時(shí)間變化的公式為：

(20)

根據(jù)式(20)并考慮貯箱的安裝方式，貯箱內(nèi)燃料的質(zhì)心位置及其變化率分別為：

(21)

(22)

其中，r10=[r100]T和r20=[r200]T分別為加注貯箱和目標(biāo)貯箱內(nèi)燃料的初始質(zhì)心位置。

設(shè)參考坐標(biāo)系O-xyz中組合體平臺(tái)的慣量矩為Jb=diag(Jbx, Jby, Jbz)，將式(19)～(22)代入式(12)～(17)中并展開，整理出狀態(tài)方程形式的數(shù)學(xué)模型。

(23)

其中，

從式(23)可見，姿態(tài)變量ω=[ω1ω2ω3]T的變化不受線位移變量R=[RxRyRz]T的影響，可以單獨(dú)對(duì)其進(jìn)行研究。

2.3姿態(tài)自由運(yùn)動(dòng)分析

無外力作用情況下，加注過程中組合體的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程為：

(24)

其中，η1(t)=-(Jbz-Jby)/J1(t)，

如果組合體質(zhì)量分布相對(duì)x軸對(duì)稱，即Jbz=Jby時(shí)，則η1(t)≡0，J(t)=J2(t)=J3(t)，η(t)=η2(t)=-η3(t)和λ(t)=λ2(t)=λ3(t)，且角速度ω1為常數(shù)，設(shè)Ω(t)=η(t)ω1，姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程(24)具有線性時(shí)變系統(tǒng)的形式。

(25)

顯然該系統(tǒng)具有一個(gè)平衡點(diǎn)[ω2ω3]T=[00]T，下面討論這個(gè)線性時(shí)變系統(tǒng)(25)的運(yùn)動(dòng)特性。

(26)

證明：略，參見文獻(xiàn)[7]。

□

對(duì)于式(25)所示系統(tǒng)，設(shè)P(t)=I，根據(jù)式(26)構(gòu)造Q(t)為：

=-2λ(t)I

可見，當(dāng)λ(t)<0, ?t>t0時(shí)，Q(t)是連續(xù)的正定對(duì)稱矩陣，此時(shí)ω2(t)和ω3(t)軌跡將指數(shù)收斂到0。當(dāng)λ(t)>0時(shí)，ω2(t)和ω3(t)軌跡不確定，可能是周期變化或發(fā)散的。

通過分析可以明確，由于質(zhì)量分布隨時(shí)間改變，加注過程中的航天器姿態(tài)運(yùn)動(dòng)與剛體航天器姿態(tài)運(yùn)動(dòng)相比存在本質(zhì)差異。自旋單剛體航天器在不受外力作用時(shí)，角速度軌跡呈周期變化，而質(zhì)量分布時(shí)變航天器動(dòng)力學(xué)方程中存在阻尼項(xiàng)λ(t)，在時(shí)變阻尼項(xiàng)λ(t)的影響下角速度軌跡可以收斂到0，但也存在發(fā)散的可能性。

3仿真算例

通過兩個(gè)仿真場景，展現(xiàn)不同貯箱安裝位置對(duì)角速度軌跡的影響。仿真中設(shè)定的模型參數(shù)見表1。

以角速度ω(t0)=[0.1,0.141 4,0.141 4]T作為初值進(jìn)行數(shù)值積分，得到角速度隨時(shí)間變化軌跡如圖4所示，同時(shí)也給出了時(shí)變阻尼系數(shù)的變化軌跡如圖5所示。在場景1中，加注貯箱安裝在x軸負(fù)半軸，目標(biāo)貯箱安裝在x軸正半軸，整個(gè)仿真時(shí)間內(nèi)阻尼系數(shù)λ1(t)隨時(shí)間連續(xù)變化但保持為負(fù)，此時(shí)ω1收斂到一個(gè)定值，ω2和ω3收斂到0。場景2與場景1貯箱安裝方式相反，此時(shí)，阻尼系數(shù)λ1(t)保持為正，角速度軌跡振蕩發(fā)散。

表1　仿真參數(shù)設(shè)置

圖4　姿態(tài)角速度時(shí)間歷程Fig.4　History of angular rate

圖5　阻尼系數(shù)λ1(t)時(shí)間歷程Fig.5　History of damping coefficient λ1(t)

圖6和圖7分別為t=100s，ω1=0.01rad/s時(shí)，場景1和場景2的ω2-ω3流場圖。從圖6、圖7可以清晰地看出，在場景1中ω2-ω3平面的原點(diǎn)為穩(wěn)定焦點(diǎn)，而場景2中原點(diǎn)為非穩(wěn)定焦點(diǎn)。

圖6　場景1的流場圖Fig.6　Map of flow field in scene 1

圖7　場景2的流場圖Fig.7　Map of flow field in scene 2

從以上仿真分析中可以看出，燃料傳輸涉及的參數(shù)會(huì)對(duì)航天器姿態(tài)的動(dòng)態(tài)特性帶來直接影

響，而且這種影響所造成的結(jié)果并不唯一，既可能使姿態(tài)角速度穩(wěn)定收斂，也可能使角速度振蕩發(fā)散。

4結(jié)論

基于變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)系一般力學(xué)原理建立了在軌加注過程中組合體航天器的動(dòng)力學(xué)模型，利用該模型可實(shí)現(xiàn)對(duì)運(yùn)動(dòng)參數(shù)的數(shù)值計(jì)算，進(jìn)而分析系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。通過仿真分析可以看出，燃料傳輸對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)的影響是明顯且復(fù)雜的,既可能使角速度穩(wěn)定也可能使之發(fā)散。這為在軌加注航天器的結(jié)構(gòu)和控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)提供參考為加注過程中的控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)奠定了基礎(chǔ)。

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Dynamics modeling and analysis of on-orbit refueling assembled spacecraft

YANG Yajun, LIAO Ying, WEN Yuanlan

(CollegeofAerospaceScienceandEngineering,NationalUniversityofDefenseTechnology,Changsha410073,China)

Abstract：Aresearchwaspresentedtosolvetheproblemofdynamicsmodelingandcharacteristicsanalysisinthecaseofthemassdistributionofthespacecraftchangesobviouslyduringtheon-orbitpropellantrefuelingprocess.Thevariable-massvehiclewasconsideredtoconsistoftwoparts:arigidplatformandtheliquidpropellantconfinedintanks.Theliquidintankswasregardedasafinitenumberoflumpedmasseswithtime-varyingmass,configurationandposition,sothat,theactualphysicscouldbeabstractedasasetofvariablemassparticleswithfixedborder.Then,thedynamicsmodelofrefuelingspacecraftwasestablishedbyusingthegeneralequationsofmass-varyingparticlesset.Basedonsomereasonableassumptionsaboutthestructureofvehicle,themisalignmentmomentandthereactiveforcewereeliminatedfromequations.Itisremarkablethattheestablishedmodelincludetime-varyingparametersanddampingterms.Besides,thedynamicscharacteristicsofthemodelwereanalyzedbyusingtheLyapunov′sstabilitycriterion.Simulationresultsdemonstratethatthedifferencestructureofthevehicleeffectthestatetrajectoriesdramatically,andprovethattheoreticanalysisiscorrect.

Keywords：on-orbitrefueling;time-varyingparameters;variablemasssystem;spacecraftdynamics;stabilityanalysis

doi:10.11887/j.cn.201603015

收稿日期：2015-04-08

基金項(xiàng)目：上海航天科技創(chuàng)新基金資助項(xiàng)目(SAST201251)

作者簡介：楊雅君(1987—)，男，云南勐臘人，博士研究生，E-mail：yajunsand@163.com； 廖瑛(通信作者)，女，教授，博士，博士生導(dǎo)師，E-mail：liaoying1104@163.com

中圖分類號(hào)：V443.5

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1001-2486(2016)03-088-06

http://journal.nudt.edu.cn