幾乎恰當鏈環(huán)

趙　巖李　麗,魯　哲

(1. 渤海大學 數(shù)理學院, 遼寧 錦州 121013； 2. 法庫縣東湖第三初級中學，遼寧 沈陽 110402)

?

幾乎恰當鏈環(huán)

趙巖*,1,李麗1,魯哲2

(1. 渤海大學 數(shù)理學院, 遼寧 錦州 121013； 2. 法庫縣東湖第三初級中學，遼寧 沈陽 110402)

摘要：定義了幾乎恰當鏈環(huán)，給出了幾乎恰當鏈環(huán)與其鏡面像之間的關系；利用狀態(tài)鏈的方法證明了A-幾乎恰當鏈環(huán)的Kauffman尖括號多項式的最高次冪以及B-幾乎恰當鏈環(huán)的最低次冪的表達式.

關鍵詞：投影圖； 狀態(tài)多項式； Kauffman多項式； 鏡面像

0引言

1988年，為了進一步推廣交錯鏈環(huán)的結果和性質，W.B.R.Lickorish 和 M.B.Thistlethwaite 在文獻〔1〕中提出了恰當鏈環(huán)的定義，在文獻〔2〕中給出了恰當鏈環(huán)的多項式的寬度的估計，這是一類包括交錯鏈環(huán)在內的一種更為廣泛的鏈環(huán)種類.與此同時，一些作者開始研究恰當鏈環(huán)的各類性質，包括它的Jones 多項式的研究，尖括號多項式寬度的估計，與鏈環(huán)虧格之間的關系等方面.

本文提出了一種類恰當鏈環(huán)，稱之為幾乎恰當鏈環(huán)，對這類鏈環(huán)的性質在第一部分進行了說明，在第二部分，主要討論了A-幾乎恰當鏈環(huán)的Kauffman多項式問題，得到了如下結論：

L是一個幾乎A-恰當?shù)逆湱h(huán)，D是L的一個幾乎A-恰當?shù)耐队皥D,c(D)是L的交叉點數(shù)，假設P是幾乎恰當點，s是不同于SA的另一個狀態(tài),SA=s0,s1,…,sk=s是SA與s之間的狀態(tài)鏈，則

(1) 如對于任意的2≤r≤k，|sr|=|sr-1|+1，當k為偶數(shù)時，〈s〉中A的最高次冪是c(D)+2|SA|-2; 當k為奇數(shù)時,〈s〉中A的最高次冪是c(D)+2|SA|-6.

(2) 如對于任意的2≤r≤k，|sr|=|sr-1|-1，〈s〉中A的最高次冪是c(D)+2|SA|-6.

1預備知識

L是S3中的一個鏈環(huán)，D是L的一個投影圖，P是投影圖D上的一交叉點，那么交叉點P有兩種打開方式，分別稱為A-打開和B-打開，如圖1.

當把D上的每個交叉點都按照這兩種方式中的某一種打開，我們得到了鏈環(huán)L的一個Kauffman狀態(tài)〔3-6〕, 當所有的交叉點都按照A-打開方式打開，稱得到的Kauffman 狀態(tài)是全A狀態(tài)，記為SA, 同樣的方式定義SB, 稱為全B狀態(tài). 當?shù)玫綘顟B(tài)SA(SB)時，對于每個交叉點處，沿A(B)打開得到的兩個分支在新的圖中總是屬于不同的分支，則稱投影圖D是A(B)-恰當?shù)?

假設P是投影圖D中的一個交叉點，在P點沿A打開得到的兩段弧如果屬于同一分支，這里有兩種情況：

第一種情況下，把沿A-打開變?yōu)檠谺-打開，得到的兩段弧屬于新的狀態(tài)的不同分支，而第二種狀態(tài)，當其他的交叉點都打開，只剩交叉點P的時候，這種情況是不能發(fā)生的.因此可以定義：

定義1.1假設D是一個鏈環(huán)的投影圖，如果D不是A-恰當?shù)?，但是當我們把某一點P處的打開方式由A-打開變?yōu)锽-打開時，得到的狀態(tài)是恰當?shù)模瑒t稱D是幾乎A-恰當?shù)?，稱P是幾乎恰當點.同理可以定義D是幾乎B-恰當?shù)?

定義1.2如果一個鏈環(huán)L沒有A-恰當?shù)耐队皥D，但是L有一個幾乎A-恰當?shù)耐队皥D，稱L是幾乎A-恰當鏈環(huán)，同理有幾乎B-恰當鏈環(huán).

由定義1.2，我們知道

命題1.3K*是K的鏡面像，如果K是幾乎A-恰當?shù)模敲碖*是幾乎B-恰當?shù)?

定義1.4如果一個鏈環(huán)L既是幾乎A-恰當?shù)?，又是幾乎B-恰當?shù)?，則稱L是一個幾乎恰當鏈環(huán).

假設D是鏈環(huán)L的投影圖，c1,c2,…,cn是D的n個交叉點，D的一個Kauffman 狀態(tài)實際上就是一個函數(shù)s:{1,2,…,n}→{-1,1}，如果某一交叉點i沿A打開，s(i)=1；如果某一交叉點沿B打開，s(i)=-1.令sD表示D的一個狀態(tài)，用|sD|表示這一狀態(tài)的分支數(shù)，那么sD的Kauffman多項式是〈sD〉=A∑s(i)(-A-2-A2)|sD|-1，假設S(D)表示投影圖D的所有狀態(tài)，則D的Kauffman多項式是∑sD∈S(D)A∑s(i)(-A-2-A2)|sD|-1.

2主要結果

D是鏈環(huán)L的一個投影圖，s是不同于SA的另一個狀態(tài)，那么在SA與s之間有一個狀態(tài)鏈SA=s0,s1,…sk=s，對于任意兩個相鄰的狀態(tài)sr-1,sr只在某一點處的打開方式不同.當我們選擇L是幾乎恰當鏈環(huán)時，有如下結果成立.

定理2.1 L是一個幾乎A-恰當?shù)逆湱h(huán)，D是L的一個幾乎A-恰當?shù)耐队皥D,c(D)是L的交叉點數(shù)，假設P是幾乎恰當點.s是不同于SA的另一個狀態(tài),SA=s0,s1,…,sk=s是SA與s之間的狀態(tài)鏈，則

(1) 如對于任意的2≤r≤k，|sr|=|sr-1|+1，當k為偶數(shù)時，〈s〉中A的最高次冪是c(D)+2|SA|-2;當k為奇數(shù)時，〈s〉中A的最高次冪是c(D)+2|SA|-6.

(2)如對于任意的2≤r≤k,|sr|=|sr-1|-1,〈s〉中A的最高次冪是c(D)+2|SA|-6

證明D的全A狀態(tài)的Kauffman多項式是Ac(D)(-A-2-A2)|SA|-1,〈SA〉中A的最高次冪項是(-1)|SA|-1Ac(D)+2|SA|-2.

當我們由SA得到s1時，把某一交叉點P處的打開方式由A-打開變?yōu)锽-打開時，有兩種可能：

(i)P是幾乎恰當點，則s1是恰當?shù)模⑶摇磗1〉=Ac(D)-2(-A-2-A2)|sD1|-1,因為P是幾乎恰當點，所以|s1|=|SA|+1,〈s1〉=Ac(D)-2(-A-2-A2)|SA|,〈s1〉中A的最高次冪項是(-1)|SA|Ac(D)+2|SA|-2,與〈SA〉中A的最高次冪項相互抵消.

(ii) P不是幾乎恰當點，|s1|=|SA|-1，所以〈s1〉=Ac(D)-2(-A-2-A2)|SA|-2，A的最高次冪項是(-1)|SA|-2Ac(D)+2|SA|-6,到此為止，〈s1〉中A的最高次冪項是(-1)|SA|-2Ac(D)+2|SA|-6.

當2≤r≤k，|sr|=|sr-1|+1,所以|sr|=|SA|+r，而∑s(i)=c(D)-2r，狀態(tài)sr的Kauffman多項式中，A的最高次冪是c(D)-2r+2(|SA|+r)-2=c(D)+2|SA|-2,并且系數(shù)是+1與-1相互交替，含有A的最高次冪的項數(shù)是k-1，所以，k為奇數(shù)時，含有最高次冪的項相互抵消，〈s〉中A的最高次冪是c(D)+2|SA|-6.這樣我們證明了 (1)成立.

當2≤r≤k時，如果有|sr|=|sr-1|-1，所以|sr|=|s1|-r+1，當|s1|=|SA|+1,狀態(tài)的Kauffman多項式中，A的最高次冪是c(D)-2r+2(|SA|-r+2)-2=c(D)-2|SA|-4r+2,當r=2時最大，是c(D)+2|SA|-6；當|s1|=|SA|-1,|sr| =|s1|-r+1=|SA|-r, 所以〈s〉中A的最高次冪是c(D)-2r+2(|SA|-r)-2=c(D)-2|SA|-4r-2,當r=2時最大，是c(D)+2|SA|-10. (2)得證.

推論2.2L是一個幾乎A-恰當?shù)逆湱h(huán)，D是L的一個幾乎A-恰當?shù)耐队皥D,c(D)是L的交叉點數(shù)，假設P是幾乎恰當點.s是不同于SA的另一個狀態(tài),SA=s0,s1,…,sk=s是SA與s之間的狀態(tài)鏈，則

(1)如對于任意的2≤r≤k，|sr|=|sr-1|+1，當c(D)為偶數(shù)時，〈D〉中A的最高次冪是c(D)+2|SA|-2,當c(D)為奇數(shù)時，〈D〉中A的最高次冪是c(D)+2|SA|-6.

(2)如對于任意的2≤r≤k，|sr|=|sr-1|-1, 〈D〉中A的最高次冪是c(D)+2|SA|-6.

由命題1.3知, 如果L是一個幾乎B-恰當?shù)逆湱h(huán)，那么L*是幾乎A-恰當?shù)逆湱h(huán), 故有如下結論：

推論2.3L是一個幾乎B-恰當?shù)逆湱h(huán)，D是L的一個幾乎B-恰當?shù)耐队皥D,c(D)是L的交叉點數(shù)，假設P是幾乎恰當點.s是不同于SB的另一個狀態(tài),SB=s0,s1,…，sk=s是SB與s之間的狀態(tài)鏈，則

(1) 如對于任意的2≤r≤k，|sr|=|sr-1|+1，當c(D)為偶數(shù)時，〈D〉中A的最低次冪是-c(D)-2|SB|+2;當c(D)為奇數(shù)時，〈D〉中A的最低次冪是-c(D)-2|SB|+6.

(2) 如對于任意的2≤r≤k，|sr|=|sr-1|-1 , 〈D〉中A的最低次冪是-c(D)-2|SB|+6.

參考文獻:

〔1〕Lickorish W B R， THISTLETHWAITE M B. Some links with non-trivial polynomials and their crossing-numbers〔J〕. Comment. Math. Helv., 1988， 63(4): 527-539.

〔2〕THISTLETHEWAITE M B. On the Kauffman polynomial of an adequate link〔J〕. Invent Math, 1988， 93(2): 285-296.

〔3〕KAUFFMAN L H. State models and the Jones polynomial〔J〕. Topology, 1987， 26(3): 395-407.

〔4〕MORTON H R. Seifert circles and knot polynomials〔J〕. Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 1986， 99(1): 107-109.

〔5〕MURASUGI K. Jones polynomials and classical conjectures in knot theory〔J〕. Topology, 1987， 26(2): 187-194.

〔6〕ROLFSEN D. Knots and links，Volume 7 of mathematics lecture〔J〕. Publish or Perish Inc., Houston, TX, 1990.

〔7〕LICKORISH W B R. An introduction to knot theory〔M〕. Graduate texts in Mathematics 175 Springer Verlag, New York, 1997.

〔8〕趙巖. Hopf-鏈環(huán)的一種性質〔J〕. 浙江大學學報(理學版)， 2009， 36(5): 501-502.

〔9〕趙巖，李麗，李風鈴. 道路同倫映射的分塊構造〔J〕.渤海大學學報(自然科學版)， 2011， 32(3): 199-202.

Almost adequate link

ZHAO Yan1, LI Li1，LU Zhe2

(1. College of Mathematics and Physics, Bohai University, Jinzhou 121013, China;2. Faku East Lake third junior middle school, shenyang 110402, China)

Abstract：In this paper, a new class of links is given, which is called almost adequate link, in the first part, the conclusion is drawn: if a link K is almost A-adequate, then, the mirror image of K is almost B-adequate; the second part, by using the state links, the main result is provided: the highest degree in the Kauffman polynomial of almost A-adequate links and the lowest degree in the Kauffman polynomial of almost B-adequate links .

Key words：diagram； state polynomial； Kauffman polynomial； the mirror image

收稿日期：2015-02-06.

基金項目：遼寧省教育廳項目(No:L2015012).

作者簡介：趙巖( 1979 -)，女，講師，大連理工大學博士研究生，主要從事拓撲學和幾何方面的教學科研工作．

通訊作者：zhaoyan-jinzh@163.com.

中圖分類號：O189.11

文獻標志碼：A

文章編號：1673-0569(2016)01-0015-04