首尾差r-循環(huán)矩陣的判別方法及逆和廣義逆的快速算法

潘　雪,　秦　梅

(上海理工大學(xué) 理學(xué)院,上?！?00093)

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首尾差r-循環(huán)矩陣的判別方法及逆和廣義逆的快速算法

潘雪,秦梅

(上海理工大學(xué) 理學(xué)院,上海200093)

摘要：提出了一種新的循環(huán)矩陣,稱之為首尾差r-循環(huán)矩陣(簡記為FLDcircr矩陣).驗證了它的線性運算、矩陣乘積、逆矩陣等仍為FLDcircr矩陣.通過構(gòu)造基本FLDcircr矩陣,給出FLDcircr矩陣的判別方法及逆和廣義逆的快速算法.

關(guān)鍵詞：FLDcircr矩陣; 判別法; 對角化; 逆; 廣義逆

循環(huán)矩陣是矩陣論的重要組成部分,它的特殊結(jié)構(gòu)和性質(zhì)被廣泛應(yīng)用于應(yīng)用數(shù)學(xué)、計算數(shù)學(xué)及現(xiàn)代工程等領(lǐng)域[1-6],并且不斷有新的循環(huán)矩陣被提出[7-11].基于上述研究,本文首先給出了FLDcircr矩陣和基本FLDcircr矩陣的概念以及它們的和、差、乘積、逆矩陣和伴隨矩陣的性質(zhì),然后通過構(gòu)造基本FLDcircr矩陣,給出了FLDcircr矩陣的5種判別方法,并討論它的對角化和奇異性,最后給出它的逆和廣義逆的快速算法及數(shù)值例子[12-13].在本文中,矩陣都是在復(fù)數(shù)域中討論的.

1預(yù)備知識

定義1對于n階方陣A,若A具有形狀

則稱A為n階FLDcircr矩陣,記作A=FLDcircr(a0,a1,…,an-1)定義2稱n階方陣

為基本FLDcircr矩陣.

D的特征多項式為g(x)=xn+rx-r,且Dn=r(In-D),規(guī)定D0=In.

由FLDcircr矩陣的定義易證命題1.

命題1如果A和B都是FLDcircr矩陣,則A+B,A-B以及kA(k為任意常數(shù))都是FLDcircr矩陣.

定義4[14]設(shè)A∈Cn×n,如果存在X∈Cn×n,使得AXA=A,XAX=X同時成立,則稱X是A的自反廣義逆,記為A{1,2}.

2FLDcircr矩陣的判別法

定理1A是FLDcircr矩陣當(dāng)且僅當(dāng)A有如下形式

(1)

證明由定義1及定義2可證定理1.

定理2A是FLDcircr矩陣當(dāng)且僅當(dāng)AD=DA,其中,D為基本FLDcircr矩陣.

證明必要性.因為,A是FLDcircr矩陣,所以,由A和D的定義可得AD=DA.

充分性.由待定系數(shù)法可設(shè)

由AD=DA可知

以此類推,可得

故A是FLDcircr矩陣.

推論1如果A和B都是FLDcircr矩陣,則AB和BA都是FLDcircr矩陣,并且AB=BA.

證明因為A和B都是FLDcircr矩陣,由定理2可得

AD=DA, BD=DB

因此

ABD=ADB=DAB, BAD=BDA=DBA

所以，AB和BA都是FLDcircr矩陣.

由定理1顯然可得AB=BA.

3FLDcircr矩陣的對角化

首先研究基本FLDcircr矩陣D的對角化.

顯然V是由ω0,ω1,…,ωn-1構(gòu)成的非奇異Vandermonde矩陣,且成立

(2)

現(xiàn)研究一般FLDcircr矩陣A的對角化.

由定理1和式(2)可得

定理3A是FLDcircr矩陣當(dāng)且僅當(dāng)V-1AV是對角矩陣.

證明必要性.如果A是FLDcircr矩陣,由上面的討論可知

充分性.令V-1AV=P1,P1為對角矩陣,則

A=VP1V-1

D=VP2V-1

所以

AD=VP1V-1VP2V-1=VP1P2V-1

DA=VP2V-1VP1V-1=VP2P1V-1

而P1和P2都是對角矩陣,所以,有

AD=DA

因此,A是FLDcircr矩陣.

定理4A是非奇異FLDcircr矩陣當(dāng)且僅當(dāng)特征值f(ωi)≠0(i=0,1,…,n-1),其中,ωi(i=0,1,…,n-1)是基本FLDcircr矩陣D的特征值.

4FLDcircr矩陣的逆與廣義逆

定理5A是非奇異FLDcircr矩陣當(dāng)且僅當(dāng)A-1也是FLDcircr矩陣.

證明必要性.由A是非奇異FLDcircr矩陣及定理2可知

AD=DA

則

所以，A-1是FLDcircr矩陣.

充分性顯然.

推論2如果A是非奇異FLDcircr矩陣,則A*也是非奇異FLDcircr矩陣.

定理6設(shè)A是FLDcircr矩陣,則A非奇異當(dāng)且僅當(dāng)(f(x),g(x))=1.

證明若A是非奇異FLDcircr矩陣,由定理4可知，f(ωi)≠0(i=0,1,…,n-1),所以,f(x)和g(x)沒有公共解,即(f(x),g(x))=1.

反之,若(f(x),g(x))=1,則存在u(x),v(x)使得u(x)f(x)+v(x)g(x)=1,故u(D)f(D)+v(D)g(D)=E.由于g(D)=0,f(D)=A,有u(D)A=E.因此,A非奇異且A-1=u(D).由定理1可知,A-1是FLDcircr矩陣.

推論3如果A是非奇異的FLDcircr矩陣,則存在A-1=u(D).

證明由定理6可知,推論顯然成立.

證明由A奇異可知(f(x),g(x))≠1.設(shè)(f(x),g(x))=d(x),g(x)=d(x)g1(x),f(x)=d(x)f1(x),則(f1(x),g1(x))=1.又g(x)無重根,故(d(x),g1(x))=1,則(d(x)f1(x),g1(x))=1,(d(x)d(x)f1(x),g1(x))=1,即(d(x)f(x),g1(x))=1.

(3)

對式(3)兩邊同乘f(x),整理得

(4)

(5)

5算法與數(shù)值例子

由引理1與推論3的證明,不難得到求FLDcircr矩陣的逆和廣義逆的快速算法,其一般步驟如下:

因為

則

所以

即

由步驟3可得

則

所以

即

6結(jié)論

提出了FLDcircr矩陣,并驗證了它的和、差、乘積、逆矩陣和伴隨矩陣仍為FLDcircr矩陣,這充分說明它具有很強的保結(jié)構(gòu)性,這在實際應(yīng)用中非常重要.通過構(gòu)造的基本FLDcircr矩陣，給出FLDcircr矩陣的5種判別方法及它的逆和廣義逆的快速算法.本文給出的算法將矩陣求逆和廣義逆問題轉(zhuǎn)化為多項式計算,降低了問題求解的復(fù)雜度,并且FLDcircr矩陣在計算存儲時可大量減小存儲空間.數(shù)值例子表明了算法的可行性.

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(編輯:石瑛)

Discriminance for FLDcircrMatrices and the Fast Algorithm for Their Inverse and Generalized Inverse

PAN Xue,QIN Mei

(Colloge of Science,University of Shanghai for Science and Technology,Shanghai 200093,China)

Abstract：A new type of matrices which is called as the first and the last difference r-circulant matrix (FLDcircr matrix) was presented.The linear operation,the matrix product,the inverse matrix of this type of matrices were verified to be still FLDcircr matrices.Through constructing the basic FLDcircr matrix,the discriminance for FLDcircr matrices and the fast algorithm for their inverse and generalized inverse were provided.

Keywords：FLDcircr matrix; discriminance; diagonalization; inverse; generalized inverse

文章編號：1007-6735(2016)03-0230-05

DOI：10.13255/j.cnki.jusst.2016.03.005

收稿日期：2015-04-10

基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目(11426155);滬江基金資助項目(B14005)

通信作者：秦梅(1975-),女,副教授.研究方向:計算數(shù)學(xué).E-mail:jisuanusst@126.com

中圖分類號：O 151.2

文獻標(biāo)志碼：A

第一作者： 潘雪(1990-),女,碩士研究生.研究方向:計算數(shù)學(xué).E-mail:xiaoxuehe1126@163.com