利用彎矩影響線的移動荷載識別方法*

錢長照陳昌萍

（1.廈門理工學(xué)院土木工程與建筑學(xué)院，廈門 361024）（2.中加噪聲與振動控制研究所，廈門 361024）

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利用彎矩影響線的移動荷載識別方法*

錢長照1，2?陳昌萍1，2

（1.廈門理工學(xué)院土木工程與建筑學(xué)院，廈門 361024）（2.中加噪聲與振動控制研究所，廈門 361024）

摘要基于模態(tài)疊加理論，通過橋梁多個(gè)截面處加速度響應(yīng)數(shù)據(jù)，計(jì)算得到橋梁受移動荷載作用下的模態(tài)加速度.根據(jù)d′Alembertian原理，橋梁截面任意時(shí)刻的動彎矩可看作是任意時(shí)刻受慣性分布力和移動荷載作用下的靜彎矩.利用影響線，建立起移動荷載與彎矩之間的關(guān)系，提出了一種利用彎矩影響線識別移動荷載的方法.算例表明，當(dāng)荷載只有一個(gè)時(shí)，可由單點(diǎn)彎矩直接識別，當(dāng)有多個(gè)移動荷載時(shí)，可基于多個(gè)截面的彎矩?cái)?shù)據(jù)，利用最小二乘法可以有效的識別出任意時(shí)刻作用于橋梁上的移動荷載值.該方法避免了求解橋梁的動力學(xué)微分方程，識別精度高且過程簡單，適合于工程應(yīng)用.

關(guān)鍵詞荷載識別， 影響線， 移動荷載， 模態(tài)疊加原理

2014-09-08收到第1稿，2015-07-16收到修改稿.

*國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51108047）、廈門市科技計(jì)劃項(xiàng)目（3502Z20143028）

引言

隨著橋梁輕型化發(fā)展，車流量不斷增大，車橋相互作用越來越不可忽略.由于車輛通過橋梁時(shí)車輛輪軸傳遞給橋梁的荷載是隨位置和時(shí)間不斷變化的動態(tài)荷載，使橋梁產(chǎn)生交變應(yīng)力，導(dǎo)致路面或橋梁結(jié)構(gòu)的疲勞損傷或破壞［1］.因此越來越受到橋梁運(yùn)營、維護(hù)、橋梁設(shè)計(jì)及交通運(yùn)輸管理等部門的關(guān)注.近年來，國內(nèi)外學(xué)者對橋梁上移動荷載識別理論進(jìn)行了深入的研究，提出了一系列識別方法. O′Connor and Chan提出了第一識別法（IMI）［2］和第二識別法（IMII）［3］，S. S. Law等提出了時(shí)域法（TDM）［4］和頻時(shí)域法（FTDM）［5］，這些方法奠定了移動荷載識別的理論基礎(chǔ)［6］，但這些方法應(yīng)用到工程中還存在一些問題，如第一識別法（IMI）和第二識別法（IMII）識別精度不高，時(shí)域法（TDM）和頻時(shí)域法（FTDM）識別時(shí)間過長且需要大量數(shù)據(jù)等等.因此，國內(nèi)外學(xué)者不停探索新的識別方法以及算法，模型上也在不斷的改進(jìn).余嶺［7］等對移動荷載識別方程的不適定性進(jìn)行了研究，提出了改善和解決超定方程組欠秩和病態(tài)問題的方法.以上這些方法中所采用數(shù)據(jù)或?yàn)闃蛄旱募铀俣软憫?yīng)，或?yàn)闃蛄簱隙软憫?yīng)數(shù)據(jù).事實(shí)上，P. Asnachinda［8］研究表明采用梁的彎矩?cái)?shù)據(jù)識別會有更好的效果.但該文仍然采用求解梁的動力學(xué)微分方程，建立彎矩響應(yīng)和荷載的關(guān)系，識別過程反而顯得復(fù)雜.

本文提出的荷載識別方法中，同時(shí)采用響應(yīng)加速度數(shù)據(jù)和彎矩?cái)?shù)據(jù)，加速度數(shù)據(jù)用來分離模態(tài)加速度，從而表達(dá)出橋梁振動過程中的慣性力.然后基于影響線和達(dá)朗貝爾原理，建立起截面彎矩與移動荷載之間的關(guān)系，利用截面彎矩?cái)?shù)據(jù)識別出移動荷載的大小.該方法具有計(jì)算精度高，識別速度快，且對數(shù)據(jù)量的需求不高，適合工程應(yīng)用.

1 識別方程的推導(dǎo)

對于簡支梁橋受移動車輛作用問題，力學(xué)模型可以簡化為如圖1所示的簡支梁受一組移動荷載作用.其中梁的模型考慮為均質(zhì)等截面模型，跨長L，抗彎剛度EI，單位長度質(zhì)量為m，忽略剪切變形和轉(zhuǎn)動慣量的影響（即采用Euler-Bernoulli理論），則系統(tǒng)的動力學(xué)方程和邊界條件為

式中，w（x，t）表示x處t時(shí)刻梁的撓度，xi是Pi（t）作用位置，δ（x - xi）為Directδ函數(shù)，滿足

圖1 受一組移動荷載作用的簡支梁模型Fig. 1 Simplified beam under a set of moving loads

式中qi（t）（i =1，2，3，…）是第i階模態(tài)位移.上式對時(shí)間取二階導(dǎo)數(shù)，則可得簡支梁任意t時(shí)刻x位置處的加速度

利用Garlerkin截?cái)?，可只取N階模態(tài).則對于某一截面xj處的加速度可以表示為

事實(shí)上，橋梁上某一截面處的加速度是很容易由試驗(yàn)測得的.如果在橋梁順橋向布置M個(gè)測點(diǎn)測量加速度，則可得到前N階模態(tài)加速度和測點(diǎn)加速度之間的關(guān)系，用矩陣表示如下

根據(jù)d′Alembertian原理，任意時(shí)刻橋梁所受的慣性力p（x，t）可表示為

簡支梁x = xk截面處的彎矩影響線

式中，a是xk截面距左端支座的距離，b = L - a是xk截面距右端支座的距離.考慮橋梁同時(shí)受到車輛和慣性力作用，xk截面處的彎矩可利用影響線計(jì)算得到

利用梁的彎曲應(yīng)變與截面彎矩之間的關(guān)系，則可根據(jù)測得的彎曲應(yīng)變計(jì)算得到截面彎矩隨時(shí)間變化的函數(shù)，慣性分布力也可由影響線與模態(tài)函數(shù)積分得到，因此上式左側(cè)量為已知，因此任意時(shí)刻僅P（t）為未知量.若橋梁上僅一個(gè)荷載，則可由上式直接得到.若橋梁同時(shí)有多個(gè)移動荷載，則上式需重寫為

式中NP為t時(shí)刻作用在橋梁上的荷載數(shù)目xi為第i個(gè)荷載作用位置，由于含有NP個(gè)位置梁，則需要至少NP個(gè)測點(diǎn)的彎矩?cái)?shù)據(jù)，組成矩陣方程

式中

注意到[Y ]是奇異性矩陣，因此需用最小二乘法等方法近似求解，關(guān)于最小二乘法的計(jì)算過程本文采用MATLAB編程實(shí)現(xiàn)，具體過程不再贅述.

2 算例分析

當(dāng)橋上只有一個(gè)移動荷載作用作用時(shí)，利用方程（10），則荷載可簡單的利用任意一截面處的彎矩?cái)?shù)據(jù)則得到

當(dāng)橋上有多個(gè)移動荷載作用時(shí)，利用方程（9），需要有多個(gè)彎矩觀測點(diǎn)識別，理論上，當(dāng)彎矩觀測點(diǎn)數(shù)目多于橋上荷載數(shù)目時(shí)，可以由方程（11）識別，但由于矩陣的奇異性，直接計(jì)算是不可能的.為了識別出荷載，采用最小二乘法.選取的彎矩觀測點(diǎn)也要盡可能的多.

作為算例，ANSYS仿真中移動荷載為隨時(shí)間變化荷載P1=10*（1 +0. 05sin30πt）kN，P2=15* （1 + 0. 05sin30πt）kN.兩荷載距離4m，移動速度10m/ s.為了識別移動荷載，加速度觀測點(diǎn)同樣選取跨中，L/4和3L/4處，采用三階模態(tài)截?cái)喾纸饽B(tài)加速度.彎矩觀測點(diǎn)選取L/8，L/4，3L/8，L/2，5L/ 8，3L/4，7L/8等7個(gè)截面.識別結(jié)果如圖2所示.

圖2 整個(gè)時(shí)間域識別的兩荷載Fig. 2 Identified loads at all time domain

圖3 識別荷載誤差Fig. 3 Error of identification results

由圖2可以看出，在當(dāng)有荷載上橋和出橋的時(shí)候，識別結(jié)果與實(shí)際荷載相差較大，其余情況識別結(jié)果較為理想.為了比較識別結(jié)果與實(shí)際荷載的差，定義識別誤差

根據(jù)（14）式定義的誤差計(jì)算公式作圖如圖3所示，為了更清晰的掌握中間段的識別精度，做荷載在［10m，20m］區(qū)間段的誤差圖如圖4所示.由圖4可以看出，誤差在5%左右，這個(gè)精度對于荷載識別與其他方法比較也是令人滿意的.

圖4 荷載位置在［10，20］范圍內(nèi)的識別誤差Fig. 4 Error of identification results in location domain［10，20］

3 結(jié)論

本文基于模態(tài)疊加原理和d′Alembertian原理，利用彎矩影響線提出了一種識別移動荷載的新方法.該方法創(chuàng)新點(diǎn)在于同時(shí)使用了彎矩響應(yīng)數(shù)據(jù)和加速度數(shù)據(jù)，避免了求解移動荷載作用下的動力學(xué)方程.通過幾個(gè)算例，驗(yàn)證了該方法的有效性，并得到一些結(jié)論：

（1）通過模態(tài)數(shù)據(jù)可以從實(shí)測的加速度數(shù)據(jù)中得到模態(tài)加速度，從而橋梁受到的慣性力可以有效的計(jì)算出來；

（2）利用影響線求解荷載識別問題的方法是有效的；

（3）相比其他的方法，該方法可以在已知任意時(shí)刻或任意時(shí)段彎矩和加速度數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上進(jìn)行識別，而不需要完全知道移動荷載通過橋梁的整個(gè)過程數(shù)據(jù)；

算例的結(jié)果驗(yàn)證了該方法對移動荷載識別有效性和精確性，同時(shí)該方法的簡潔性更有利用荷載識別在工程中的應(yīng)用.

參 考 文 獻(xiàn)

1 Kozin F，Natke H G. System identification techniques. Structural Safety，1986，3（3-4）：269～316

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3 Chan T H T，Law S S，Yung T H，Yuan X R. An interpretive method for moving force identification. Journal of Sound and Vibration，1999，219（3）：503～524

4 Law S S，Chan T H T，Zeng Q H. Moving force identification：a time domain method. Journal of Sound and Vibration，1997，201（1）：1～22

5 Law S S，Chan T H T，Zeng Q H. Moving force identification：a frequency and time domains analysis. Journal of Dynamic Systems，Measurement and Control ASME，1999，12（3）：394～401

6 Yu L，Chan T H T. Recent research on identification of moving loads on bridges. Journal of Sound and Vibration，2007，305（1-2）：3～21

7 余嶺，陳震.橋梁移動荷載識別的不適定性及其實(shí)驗(yàn)研究.振動與沖擊，2000，19（1）：58～70（Yu L，Chen Z. Experimental study on ill-conditioning problem in identification of moving vehicle loads on bridge. Journal of Vibration and Shock，2000，19（1）：58～70（in Chinese）

8 Asnachinda P，et al. Multiple vehicle axle load identification from continuous bridge bending moment response. Engineering Structures，2008，30（10）：2800～2817

9 Qian C Z，Chen C P，Hong L，Dai L M. Axle load identification of moving vehicles based on influence lines of bridge bending moment. Nonlinear Engineering，2014，3 （3）：125～131

10 Qian C Z，Chen C P，Xiao Y G. Identification method for moving loads over continuous beam based on bending moment influence lines. Applied Mechanics and Materials，2014，638-640：1079～1084

Received 08 September 2014，revised 16 July 2015.

*The project supported by National Natural Science Foundation of China（51108047），Supported by Science and Technology Planning Project of Xiamen（3502Z20143028）

METHOD FOR MOVING FORCE IDENTIFICATION USING BENDING MOMENT INFLUENCE LINE*

Qian Changzhao1，2?Chen Changping1，2
（1. Xiamen University of Technology，Xianmen 361024，China）（2. Sino-Canada Research Center for Noise and Vibration Control，Xianmen 361024，China）

AbstractBased on the modal superposition theory，the second order derivative of the modal coordination is firstly obtained from the acceleration of the bridge at several sections. The inertia force of the bridge is then expressed as distributed load by means of the d′Alembertian theory. Using the bending moment influence line of the bridge，the relationships between the moving load and the moment is proposed. The moving force can be obtained at any time points through the developed formula. Case studies show that this proposed method performs high accuracy in identifying time-varying as well as constant moving force. Moreover，this method doesn′t need to deal with the ill-condition due to matrix singularity，which makes it in high efficiency and appropriate for engineering application.

Key wordsload identification， influence line， moving force， modal superposition theory

DOI：10. 6052/1672-6553-2015-061

通訊作者?E-mail：qiancz@163. com

Corresponding author?E-mail：qiancz@163. com