基于整體-局部高階剪切理論的層合板多體系統(tǒng)的動靜力學分析*

田立智劉錦陽

（上海交通大學，上海 200240）

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基于整體-局部高階剪切理論的層合板多體系統(tǒng)的動靜力學分析*

田立智1?劉錦陽2

（上海交通大學，上海 200240）

摘要基于高階剪切理論，推導了整體-局部1，2-3高階位移模式.在滿足層間位移連續(xù)，層間剪應力連續(xù)，以及上下表面自由的條件下，層合板每個節(jié)點的獨立變量變?yōu)?3，并且不隨層合板層數(shù)的增加而變化.在此基礎上將整體-局部1，2-3高階位移模式推廣到剛-柔耦合層合板多體系統(tǒng)，利用混合坐標法，基于虛功原理，建立了考慮層合板層間應力連續(xù)的多體系統(tǒng)動力學方程.通過靜力學算例，驗證了整體-局部1，2-3高階位移模式的準確性，得到了層合板層間應力沿著厚度的分布情況.通過多體系統(tǒng)動力學算例，對比了傳統(tǒng)方法的計算結(jié)果，揭示了本文方法與傳統(tǒng)方法在計算層合板多體系統(tǒng)中層間應力的差異，說明了剛-柔耦合層合板多體系統(tǒng)考慮層間剪應力連續(xù)的必要性.

關鍵詞整體-局部高階剪切位移模式， 層間剪應力連續(xù)， 層合板多體系統(tǒng)， 應力分析

2014-10-29收到第1稿，2014-12-17收到修改稿.

*國家自然科學基金資助項目（11272203，11132007）

引言

在航空、汽車、機械等工業(yè)領域，很多運動機構(gòu)為復合材料層合板結(jié)構(gòu)多體系統(tǒng)，例如直升機機翼和風電機葉片等.通常情況下，層合板多體系統(tǒng)的剛-柔耦合動力學分析僅限于層合板表面的響應和應變分析，沒有深入到多體系統(tǒng)層合板的層間應力，而層合結(jié)構(gòu)特有的層間破壞問題要求準確計算層間應力，對于多體系統(tǒng)中的層合板結(jié)構(gòu)，同樣有必要進行層間應力的研究.

復合材料層合板的理論［1-2］主要包括：基于Kirchhoff假設的經(jīng)典層合板理論CLT，基于Mindlin假設的一階剪切理論FSDT，高階剪切理論，分層理論以及Zigzag等理論.由于復合材料的各向異性和呈層性等特點，較厚層合板間的剪切和拉壓應力對于結(jié)構(gòu)的剛度和強度的影響較大，采用CLT和FSDT理論得到的結(jié)果很難滿足精度要求.高階剪切理論［3］可以較好地研究層合板的動力學響應，例如張偉等［4］基于高階剪切理論研究了厚板振動的解析解，但是在層間應力的描述上仍存不足. Layerwise理論［5］可以較好計算層間應力，但是節(jié)點的獨立變量隨復合材料層數(shù)的增加而增加，對于層數(shù)較多的層合板，嚴重影響了計算效率并且增加了理論的復雜性. Zigzag理論［6］可以很好地計算層合板響應和層間應力，但對于較厚的板，需要借助平衡方程來計算橫向剪切應力以提高精度.

1997年，X. Li等［7］針對正交鋪設層合板提出了整體-局部高階剪切理論.該理論在Reddy型高階剪切理論的基本位移模式中增添了截取三次的局部位移，可以很好地計算層間應力. Zhen Wu等［8］將這種位移模式推廣到了角鋪設層合板結(jié)構(gòu).這種位移模式滿足層間位移連續(xù)，剪應力連續(xù)和上下表面自由條件，每個節(jié)點的獨立變量為13，并且不隨層合板的層數(shù)而變化.

對于剛-柔耦合層合板，前人主要應用基于Mindlin假設的一階剪切理論FSDT［9］，在此基礎上側(cè)重考慮薄板的幾何非線性效應.潘科琪等［10］采用Mindlin假設計算了多體系統(tǒng)層合板的表面應變.但是對于較厚的層合板，非線性效應變?nèi)?，層合板層間的剪切應力連續(xù)條件需要給予考慮.

本文將基于整體-局部高階剪切理論，針對上下表面面外剪應力為零的復合材料層合板剛-柔耦合多體系統(tǒng)層間應力進行研究.首先綜合前人研究的整體-局部位移模式，驗證了該位移模式能準確計算沿厚度方向的層間位移和應力分布，得到了層間應力沿著厚度的變化趨勢，然后將整體-局部位移模式推廣到復合材料層合板多體系統(tǒng).通過剛?cè)狁詈蟿恿W算例，將應用整體-局部位移模式的剛-柔耦合層合板計算結(jié)果與傳統(tǒng)方法的計算結(jié)果進行對比，得到剛-柔耦合層合板的層間應力變化趨勢，可以看出考慮了層間剪應力連續(xù)的整體-局部位移模式與不考慮剪應力連續(xù)的理論在計算層間應力的差異，說明了在剛-柔耦合層合板多體系統(tǒng)中考慮層間剪應力連續(xù)的必要性.

1 整體—局部高階剪切位移模式

圖1 層合板坐標系Fig. 1 Coordinate system of composite laminated plate

Reddy型高階剪切理論的基本位移模式為：

其中，vu0，u1，u2，u3為描述節(jié)點沿方向位移的獨立變量，v0，v1，v2，v3為描述節(jié)點沿方向位移的獨立變量，w0為描述節(jié)點沿→■z方向位移的獨立變量，uG，vG，wG為對應非中面上整體坐標為z的節(jié)點的位移，后文以HSDT來簡稱這種位移模式.

這種位移模式考慮了剪切應力，但沒有考慮層間剪應力連續(xù)和上下表面自由條件，因此不能準確計算出層間應力.整體-局部位移模式在Reddy型高階剪切理論的基本位移模式HSDT基礎上增加了局部位移，位移模式由兩部分構(gòu)成：

其中，uG，vG，wG為式（1）中的基本位移模式，這里稱為整體位移；添加的變量ukL，vkL各層均不相同，稱為局部位移.與整體位移類似，局部位移可以寫為：

其中，ξk為層合板兩層之間沿方向的局部坐標，可以寫為：

akz - bk，其中，，k = 1， 2. . . n -1

為了減少獨立變量，文獻［6］與［7］將局部位移（4）分為兩組應用位移連續(xù)條件，即雙位移連續(xù)件：

在整體-局部1，2-3位移模式下，對于n層的層合板，共有6n + 9自由度，利用層間位移連續(xù)條件可以消去4（n -1）自由度，利用層間剪應力連續(xù)可以消去2（n -1）自由度，那么剩下15自由度，最后利用上下表面自由條件，最終的自由度數(shù)目變?yōu)?3.

1. 1 層間位移連續(xù)條件

應用雙位移連續(xù)條件：

其中，k = 1，2，3，…n -1.

1. 2 層間剪力連續(xù)條件

應用層間剪切應力連續(xù)條件：

其中：

Q44k，Q45k，Q55k為第k層轉(zhuǎn)換后的剛度系數(shù)，它們的具體表達式見參考文獻［11］為剪切應變，可表示為：

將式（5）代入（4）、（6）、（7）以及層間剪應力連續(xù)條件，可以得到，，與，的遞推關系：

其中：

1. 3 下表面自由條件

將式（2）、（4）、（7）代入上式可以得到：

結(jié)合式（8）的遞推關系，可以假設局部位移變量為：

將上述表達式（10）代入式（8）可以得到：

1. 4 上表面自由條件

同理，應用上表面剪應力為0的條件：

得到：

將式（10）代入上述兩式，可求出u12和v12：

其中，系數(shù)A1，B1，C1，D1，E1，F(xiàn)1，G1，H1，J1，K1，A2，B2，C2，D2，E2，F(xiàn)2，G2，H2，J2，K2可以用Fni，表示.將式（12）代入式（10），并代入整體位移模式，最終可以得到：

2 剛?cè)狁詈习宓膭恿W描述

圖2 剛-柔耦合復合材料層合板Fig. 2 Rigid-flexible coupling composite laminated plate

如圖2所示，剛-柔動力學系統(tǒng)由作旋轉(zhuǎn)運動的中心剛體B1和復合材料層合板B2組成. B2與在點A處相固接.建立慣性坐標系， B1的連體基■和B2的浮動坐標系■

那么可以得到：

3 整體局部位移模式的層合板有限元離散

對面內(nèi)變量采取雙線性插值；對w0基于薄板非協(xié)調(diào)單元進行插值，即：

將式（16）代入式（13），可以得到：

而文獻［10］所采用的FSDT理論的離散為：

其中：

設J0為中心剛體的轉(zhuǎn)動慣量，為層合板的廣義坐標陣，為活動坐標，令：

應變可表示為：

將式（17）和式（18）代入式（19）可以得到：

將式（17）代入式（15）可以得到：

設J0為中心剛體關于→■y軸的轉(zhuǎn)動慣量，那么慣性力的虛功率為：

將式（23）代入式（24）可以得到：

設重力加速度在慣性基下的坐標陣為g-f，重力的虛功率為：

根據(jù)虛功原理，有如下關系：

將式（21）、（25）、（26）代入上式可以得到：

可以得到系統(tǒng)的動力學方程為：

4 整體-局部位移模式的驗證

圖3 兩邊簡支復合材料層合板Fig. 3 Composite laminated plate with simply supported edges

單位體積分布載荷在總體坐標系下的坐標列陣為f-，上下表面的單位面積的分布載荷在總體坐標系下的坐標列陣分布為和.廣義力陣為：

G23= 0. 2×106Pa，v12= v13= v23= 0. 25

E1= 2. 5×107Pa，E2= 106Pa，G12= G13= 0. 5×106Pa，，長厚比L/ h = 4，所有變量均無量綱化.

圖4 兩邊簡支面內(nèi)位移u沿厚度的變化Fig.4 Relationship of in - plane displacement u and the thickness Z

圖5 兩邊簡支面內(nèi)正應力σx沿厚度的變化Fig. 5 Relationship of in - plane normal stress σxand and the thickness Z

圖6 兩邊簡支面外剪切應力τxz沿厚度的變化Fig.6 Relationship of out -plane shear stress τxzand the thickness Z

圖4～圖6為兩邊簡支條件下位移與應力沿厚度方向的變化.圖4為分別利用Reddy型高階剪切理論基本位移模式（HSDT），Pagano解析解以及本文整體-局部1，2-3位移模式（G-L1，2-3）得到的點（0，0）處位移u與厚度的關系，整體局部1，2-3與解析解吻合得很好，而高階剪切理論在分層處開始出現(xiàn)誤差，不能很好地反映出層間的位移變化；圖5為分別利用三種方法求得的點（L/2，0）處正應力σx與厚度的關系，整體局部1，2-3位移模式可以很好地反映出面內(nèi)應力的變化，而HSDT平滑變化，僅大致描述了應力變化的平均值；圖6為面外剪切應力τxz與厚度的關系，HSDT與解析解差異很大，且不滿足上下表面剪力為0的條件，而GL1，2-3與解析解吻合很好.不難看出來，整體局部1，2-3位移模式可以精確地計算出分處出現(xiàn)的層間剪應力，很好地反映出層間應力沿著厚度的變化，精度明顯高于傳統(tǒng)的高階剪切論.

5 整體-局部位移模式的剛?cè)狁詈习逖芯?/h2>

如圖2所示的復合材料板剛?cè)狁詈蟿恿W模型.

r=[ x y z ]T，

0000

其中，

x0= 0. 1m ，y0= z0= 0，J0= 1 Kg. m2

層合板的參數(shù)為：長L = 0. 8m，寬H = 0. 1m，厚h =0. 01m，鋪層角（0/90/0），材料常數(shù)為：

令傾斜角φ為45o，由于層合板的大變形效應，中心剛體會轉(zhuǎn)動.取時間歷程2s時，計算t = 0. 1s時層合板應力沿著厚度的變化.研究如圖2所示剛-柔耦合系統(tǒng)中浮動坐標系(A)下的四個節(jié)點：B（L/2，0），C（L/2，- H/2），D（L，0），E（L，- H/2）.計算四個節(jié)點的應力沿著厚度的變化.

圖7 中心剛體角速度與時間變化Fig. 7 Angular velocity - time relationships of the central rigid body

圖8 點B面外剪切應力τxz沿厚度變化Fig. 8 Relationship of out-plane shear stress τxzand the thickness Z at Point B

圖9 點C面內(nèi)正應力τxy沿厚度變化Fig. 9 Relationship of in-plane normal stress τxyand the thickness Z at Point

圖10 點D面內(nèi)正應力σx沿厚度變化Fig. 10 Relationship of in-plane normal stress σxand and the thickness Z at Point D

圖7為分別利用文獻［10］的一階剪切理論FSDT，高階剪切理論HSDT，以及本文的整體-局部1，2-3理論G-L1，2-3計算出來的中心剛體的轉(zhuǎn)動角速度.圖8到圖14為分別利用一階剪切理論，高階剪切理論，以及整體-局部1，2-3理論，計算的多體系統(tǒng)剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)中，繞著中心剛體轉(zhuǎn)動的層合板在t =0. 1s時各點的應力沿著厚度的變化.

圖11 點D面內(nèi)正應力σy沿厚度變化Fig. 11 Relationship of in-plane normal stress σyand the thickness Z at Point D

圖12 點D面外剪切應力τxz沿厚度變化Fig. 12 Relationship of out-plane shear stress τxzand the thickness Z at Point D

圖13 點E面內(nèi)正應力σx沿厚度變化Fig. 13 Relationship of in-plane normal stress σxand the thickness Z at Point E

圖7為分別利用三種模型計算出來的中心剛體的角速度時間歷程，三種模型在計算中心剛體的角速度相同，說明了層合板模型對于剛體的影響可以忽略.圖8為點B的τxz沿厚度變化，可以看出，一階剪切理論與高階剪切理論所得到的應力沿厚度呈不規(guī)則變化，而本文模型反映出應力在層間出現(xiàn)的變化與靜力學中的面外剪切應力的變化趨勢大致符合；圖9為點C的τxy沿著厚度的變化，一階理論的應力值呈線性變化，高階剪切理論僅描述了平均值，而本文模型的應力結(jié)果可以較好地反映出層間變化.圖10與圖11分別為點D的σx與σy沿厚度的變化，圖中顯示，一階剪切理論差異較為明顯，在分層處，一階理論和高階理論均有明顯的突變，而本文模型與靜力學中面內(nèi)正應力的變化趨勢相符.圖12為點D處的τxz沿厚度變化，圖中顯示，一階剪切理論和高階剪切理論差異均較大，本文基于整體-局部高階剪切理論的動力學模型滿足上下表面自由條件，可以較好地反映出層間應力的變化.圖13為點E的σx沿厚度的變化.圖14為點E處的τxy沿厚度的變化，其變化規(guī)律與點C相同.由于一階剪切和高階剪切沒有考慮層間應力連續(xù)，對于層合板，幾種方法計算出來的應力在分層處差異最大.由此可見，本文模型可以很好地反映出剛?cè)狁詈隙囿w系統(tǒng)中層合板的層間應力的變化.

圖14 點E面內(nèi)剪切應力τxy沿厚度變化Fig. 14 Relationship of in-plane shear stress τxyand the thickness Z at Point E

圖15 點B面外剪切應力τxz變化Fig. 15 Time history of out-plane shear stress τxzat Point B

通過圖7到圖14可以看出來，一階剪切理論在計算層間應力會出現(xiàn)很大誤差.高階剪切理論和本文的整體-局部高階剪切理論在分層處應力開始出現(xiàn)區(qū)別.考慮了層合板層間剪切應力連續(xù)的剛?cè)狁詈蠈雍习蹇梢愿侠淼姆从吵鼍哂修D(zhuǎn)動效應的層合板的層間應力的變化.為了更好地對比三種模型計算出來的應力區(qū)別.現(xiàn)在選取層合板上述四個位置的對應中面上的四個點，計算時間歷程.

圖16 點C面外剪切應力τyz變化Fig. 16 Time history of out-plane shear stress τyzat Point C

圖17 點D面內(nèi)正應力σx變化Fig. 17 Time history of in-plane normal stress σxat Point D

圖18 點C面內(nèi)位移u變化Fig. 18 Time history of in-plane displacement u at Point C

圖15為位置B對應的點的面外剪切應力τxz的時間歷程；圖16為位置C對應的點的面外剪切應力τyz的時間歷程；圖17為位置D對應的點的面內(nèi)正應力σx的時間歷程；圖18為位置C對應的點的面內(nèi)位移u的時間歷程；圖19為位置E對應的點的面內(nèi)位移v的時間歷程.可以看出來不考慮層間剪切應力連續(xù)的一階剪切理論、高階剪切理論計算出來的應力與考慮了層間剪切應力連續(xù)的整體-局部高階剪切理論的計算結(jié)果差異較大.而三種方法在計算響應的時候差異較小.由此可以看出來針對計算層間應力的精度問題而考慮層間剪切應力連續(xù)條件的必要性.

圖19 點E面內(nèi)位移v變化Fig. 19 Time history of in-plane displacement v at Point E

6 結(jié)論

（1）創(chuàng)新性地將整體局部高階剪切理論擴展到剛-柔耦合多體系統(tǒng)，可以反映出剛?cè)狁詈蠈雍习鍖娱g應力沿著厚度的層間變化.

（2）在層合板剛-柔耦合多體系統(tǒng)中，層合板模型對于中心剛體的角速度影響較小.

（3）層合板多體系統(tǒng)的層間應力在分層處會出現(xiàn)較明顯的變化，考慮了層間應力連續(xù)的模型，計算出來的層間應力的變化與靜力學基本相符，但是由于慣性力的存在，面外應力在層間的變化與靜力學的變化趨勢存在差異，在層合板多體系統(tǒng)中需要考慮層間剪應力連續(xù).

參 考 文 獻

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Received 29 October 2014，revised 17 December 2014.

*The project supported by the National Natural Science Foundation of China（11272203，11132007）

TATIC AND DYNAMINC ANALYSIS OF LAMINATED PLATE MULTIBODY SYSTEM BASED ON GLOBAL-LOCAL HIGHER ORDER SHEAR DEFORMATION THEORY*

Tian Lizhi?Liu Jinyang
（Shanghai Jiao Tong University，Shanghai 200240，China）

AbstractBased on the higher order shear deformation theory，the global-local 1，2-3 mode is derived in this paper. Given the conditions of the continuity of in-plane deformation and shear stress，as well as the free conditions of the upper and lower surfaces，the number of the independent variables for each node of laminated plate is reduced to 13，which is independent of the number of laminate layers. The displacement mode is then developed through rigid-flexible coupling dynamics for laminated plate mutibody system. Based on the principle of virtual work，the dynamic equations for mutibody system are established through the hybrid coordinate formulation，

where the continuity of the interlaminar stress is taken into consideration for laminated plate. The global-local 1，

2-3 displacement mode is obtained and verified against the exact solution in statics example. Finally，the comparison of the results obtained by the proposed method and the traditional method for laminated plate mutibody system illustrates the necessity of considering the continuity of interlaminar shear stress in simulation of laminated plate mutibody system.

Key wordsglobal-local higher order theory， continuity of interlaminar shear stress， laminated plate mutibody system， stress analysis

DOI：10. 6052/1672-6553-2015-021

通訊作者?E-mail：tlz19901216@163. com

Corresponding author?E-mail：tlz19901216@163. com