云模型改進(jìn)慣性權(quán)重的混沌交替粒子群算法*

李紀(jì)真，孟相如，崔文巖，楊　婷

（1.空軍工程大學(xué)信息與導(dǎo)航學(xué)院，西安　710077；2.解放軍95133部隊(duì)，武漢　430415）

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云模型改進(jìn)慣性權(quán)重的混沌交替粒子群算法*

李紀(jì)真1，孟相如1，崔文巖1，楊婷2

（1.空軍工程大學(xué)信息與導(dǎo)航學(xué)院，西安710077；2.解放軍95133部隊(duì)，武漢430415）

摘要：標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法通過線性減小慣性權(quán)重系數(shù)來調(diào)整尋優(yōu)性能，但缺乏智能化機(jī)制易導(dǎo)致算法后期產(chǎn)生早熟或陷入局部最優(yōu)而產(chǎn)生僵局。針對(duì)這一問題，提出一種基于云模型改進(jìn)慣性權(quán)重的混沌交替粒子群優(yōu)化算法。根據(jù)粒子迭代變化關(guān)系，采用云模型理論對(duì)慣性權(quán)重ω進(jìn)行智能化調(diào)整，以平衡其全局和局部搜索能力，防止算法產(chǎn)生局部僵局；另外，判定粒子穩(wěn)定性，對(duì)于可能陷入局部僵局的穩(wěn)定粒子進(jìn)行混沌擾動(dòng)，促使其跳出僵局進(jìn)而向最優(yōu)位置更新。實(shí)驗(yàn)與分析表明，基于云模型改進(jìn)慣性權(quán)重的混沌交替粒子群優(yōu)化算法能夠跳出局部僵局且具有較高的尋優(yōu)精度，算法接近完全收斂時(shí)的平均迭代次數(shù)，較現(xiàn)有相關(guān)研究分別降低了13.73%～20.11%。

關(guān)鍵詞：粒子群，云模型，慣性權(quán)重，穩(wěn)定粒子，混沌交替

0　引言

粒子群優(yōu)化算法（Particle Swarm Optimization，PSO）是1995年由Kennedy博士和Eberhart博士受鳥類捕食行為啟發(fā)而發(fā)明的一種進(jìn)化計(jì)算技術(shù)［1］，它是一種智能優(yōu)化算法，具有參數(shù)少、易實(shí)現(xiàn)、收斂快等特點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于各領(lǐng)域中的最優(yōu)化求解問題。但是，標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法存在易陷入早熟和局部最優(yōu)等問題，使其在求解最優(yōu)化問題時(shí)不能充分發(fā)揮效能［2］。

為此，相關(guān)研究對(duì)標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法進(jìn)行了改進(jìn)，主要體現(xiàn)在以下兩個(gè)方面：一是通過參數(shù)優(yōu)化對(duì)更新公式進(jìn)行調(diào)整進(jìn)化，如文獻(xiàn)［3］提出一種基于粒子圓周軌道和零慣性權(quán)重的粒子群算法，但該算法設(shè)置較為復(fù)雜且只能解決離散問題，使得算法的應(yīng)用受到限制；文獻(xiàn)［4］通過使用時(shí)變的非線性三角函數(shù)方法來控制粒子群算法參數(shù)，但并未給出用三角函數(shù)控制粒子參數(shù)的理論依據(jù)；文獻(xiàn)［5］將粒子線性移動(dòng)改進(jìn)為非線性移動(dòng)方式，并提出一種新的粒子修復(fù)策略，但該修復(fù)策略無法保證粒子具有合理的移動(dòng)速度；文獻(xiàn)［6］提出一種與禁忌搜索法相結(jié)合的混合粒子群算法，對(duì)算法主要參數(shù)作了改進(jìn)并引入約束處理機(jī)制，但算法過于依賴所制定的約束條件。二是基于混沌思想對(duì)標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法進(jìn)行改進(jìn)，衍生出混沌粒子群優(yōu)化算法（Chaos Particle Swarm Optimization，CPSO），可以在一定程度上解決標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法存在的問題，如文獻(xiàn)［7］提出一種基于Logistic映射的基本混沌粒子群算法，但該算法在未設(shè)置混沌擾動(dòng)條件的情況下對(duì)所有粒子進(jìn)行混沌擾動(dòng)，顯得有些盲目；文獻(xiàn)［8］提出一種基于序貫二次規(guī)劃（SQP）的混沌粒子群算法，在滿足一定條件下依概率進(jìn)行混沌擾動(dòng)，但未考慮概率條件對(duì)混沌擾動(dòng)的影響；文獻(xiàn)［9］將混沌融入到粒子運(yùn)動(dòng)過程中，使粒子群在混沌與穩(wěn)定之間交替進(jìn)化，但該算法將粒子每一維進(jìn)行混沌擾動(dòng)后都計(jì)算粒子適應(yīng)值，加大了算法的復(fù)雜度；文獻(xiàn)［10］采用云模型對(duì)最優(yōu)個(gè)體進(jìn)行小生境局部搜索，并根據(jù)Cat映射完成全局混沌搜索，但僅通過全局搜索識(shí)別參數(shù)判定進(jìn)行局部或全局搜索，沒有嚴(yán)格的數(shù)據(jù)支撐，缺乏科學(xué)性。

針對(duì)上述問題，本文從參數(shù)優(yōu)化和混沌擾動(dòng)思想兩方面對(duì)粒子群算法進(jìn)行改進(jìn)，提出一種基于云模型改進(jìn)慣性權(quán)重的混沌交替粒子群優(yōu)化算法，以求能夠更好地求解最優(yōu)化問題。改進(jìn)算法根據(jù)當(dāng)前粒子的適應(yīng)值與當(dāng)前所有粒子的平均適應(yīng)值之間的關(guān)系，采用云模型來模糊處理粒子群算法的慣性權(quán)重ω，從而達(dá)到智能動(dòng)態(tài)調(diào)整ω的要求，平衡算法的全局搜索能力和局部搜索能力。另外，對(duì)于可能陷入局部最優(yōu)的穩(wěn)定粒子進(jìn)行Logistic混沌擾動(dòng)，促使粒子跳出局部最優(yōu)，混沌與穩(wěn)定交替迭代運(yùn)行，進(jìn)一步防止算法陷入早熟。為了驗(yàn)證本文改進(jìn)算法性能，將其與幾種現(xiàn)有混沌粒子群算法通過測(cè)試函數(shù)的優(yōu)化求解問題進(jìn)行對(duì)比分析，實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了本文改進(jìn)算法能夠以相對(duì)較快的收斂速度跳出局部最優(yōu)。

1　理論基礎(chǔ)

1.1標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法

設(shè)搜索空間為D，群體規(guī)模為n。第i個(gè)粒子的位置矢量為zi=（zi1，zi2，…，ziD），根據(jù)適應(yīng)值函數(shù)計(jì)算zi可以衡量粒子位置的優(yōu)劣；第i個(gè)粒子的位置變化率為Vi=（vi1，vi2，…，viD）；Pi=（pi1，pi2，…，piD）為粒子迄今為止搜索到的最優(yōu)位置；Pg=（pg1，pg2，…，pgD）為整個(gè)粒子群迄今為止搜索到的最優(yōu)位置［11］。粒子根據(jù)下式更新速度和位置：

其中，i=1，2，…，n，d=1，2，…，D，t為迭代次數(shù)，ω為慣性權(quán)重，可調(diào)節(jié)算法的全局和局部尋優(yōu)能力；c1和c2為正常數(shù)的學(xué)習(xí)因子，使粒子具有自我總結(jié)和向群體中優(yōu)秀個(gè)體學(xué)習(xí)的能力，從而向自身的歷史最優(yōu)位置以及群體的歷史最優(yōu)位置靠近；r1和r2為［0，1］之間的隨機(jī)數(shù)，用來保持群體的多樣性［12］。

1.2云模型理論

云模型（Cloud Model）是李德毅院士基于模糊邏輯和概率論提出的一種處理定性概念與定量數(shù)值表示之間不確定性的轉(zhuǎn)換模型，為不確定性人工智能提供了新的研究方法，云模型理論在智能控制、數(shù)據(jù)挖掘、模糊評(píng)測(cè)等方面得到了廣泛應(yīng)用和較好效果［13］。

設(shè)集合U=｛x｝為用數(shù)值表示的定量論域，Cn是U上的定性概念，若定量值x∈U是定性概念Cn的一次隨機(jī)實(shí)現(xiàn)，x對(duì)Cn的確定度μ∈［0，1］是有穩(wěn)定傾向的隨機(jī)數(shù)，則x在論域U上的分布稱為云，記為云C（x），每一個(gè)x稱為一個(gè)云滴［14］。

云模型可用3個(gè)數(shù)字特征（Ex，En，He）來描述，期望值Ex對(duì)應(yīng)于隸屬度最大的基礎(chǔ)變量，即最能代表定性概念的點(diǎn)，它標(biāo)定了云對(duì)象在論域中的重心位置；熵En是定性概念模糊程度的度量，其大小直接決定了在論域中可被模糊概念所接受的范圍；超熵He是隸屬度函數(shù)隨機(jī)性的度量，其大小間接地反映了云的厚度。正態(tài)云模型是最具普適性的一種云模型，具有良好的數(shù)學(xué)性質(zhì)，如圖1所示，其數(shù)學(xué)期望曲線（Mathematical Expected Curve，MEC）可表示為MEC（x）=exp［-（x-Ex）2/2En2］。

圖1　一維正態(tài)云模型分布示例

圖2所示為正向云發(fā)生器（Forward Cloud Generators，F(xiàn)CG），它根據(jù)已知正態(tài)云模型的數(shù)字特征（Ex，En，He），在給定論域數(shù)值x或確定度μ的條件下，產(chǎn)生滿足上述云模型分布規(guī)律的云滴drop（x，μ）［15］，實(shí)現(xiàn)將一個(gè)定性概念通過云模型的不確定性轉(zhuǎn)換而定量地表示出來。正向云發(fā)生器的實(shí)現(xiàn)算法如表1所示。

圖2　正向云發(fā)生器

表1　正向云發(fā)生器實(shí)現(xiàn)算法描述

2　云模型改進(jìn)慣性權(quán)重的混沌交替粒子群優(yōu)化算法

2.1云模型調(diào)整慣性權(quán)重

PSO算法慣性權(quán)重ω的選取很大程度上決定了算法的執(zhí)行效果，其取值范圍一般在［0，1］。標(biāo)準(zhǔn)PSO算法通過線性減少ω來調(diào)整算法性能，但容易在全局最優(yōu)解附近發(fā)生“交叉震蕩”現(xiàn)象，從而使算法陷入局部極值，影響收斂速度，增大算法全局尋優(yōu)的難度。ω是對(duì)PSO算法全局搜索與局部搜索性能的平衡參數(shù)：當(dāng)粒子與全局最優(yōu)解相距較遠(yuǎn)時(shí)，需增大ω值來提高粒子飛行速度，增強(qiáng)算法的全局搜索能力；較小的ω會(huì)增強(qiáng)算法的局部搜索能力，當(dāng)距離全局最優(yōu)解較近時(shí)，則需減小ω值來降低飛行速度，進(jìn)行局部細(xì)化搜索。

與文獻(xiàn)［11］采用云模型對(duì)收斂區(qū)域局部求精不同的是，本文將根據(jù)粒子位置的實(shí)時(shí)更新情況，嘗試采用云模型對(duì)PSO算法的慣性權(quán)重ω進(jìn)行智能動(dòng)態(tài)調(diào)整，達(dá)到平衡算法全局與局部尋優(yōu)能力的目的，防止產(chǎn)生局部最優(yōu)問題。具體的：令，其中f為當(dāng)前粒子的適應(yīng)值，favg為當(dāng)前所有粒子的平均適應(yīng)值，則，即這里將確定度μ記為FCG則對(duì)慣性權(quán)重ω的改進(jìn)機(jī)制如式（2）所示：

其中，ωmax為慣性權(quán)重的最大值，F(xiàn)CG為經(jīng)過云模型模糊處理的慣性權(quán)重系數(shù)。由式（2）可以看出：當(dāng)favg≤f時(shí)，即當(dāng)前目標(biāo)函數(shù)值優(yōu)于平均目標(biāo)函數(shù)值時(shí)，通過ω=ωmax*FCG使慣性權(quán)重變小，從而保護(hù)該粒子；當(dāng)favg＞f時(shí)，即當(dāng)前目標(biāo)函數(shù)值差于平均目標(biāo)函數(shù)值，通過ω=ωmax使慣性權(quán)重變大，從而使該粒子向較優(yōu)的搜索區(qū)域靠攏。該機(jī)制通過智能調(diào)整ω，平衡了PSO算法的全局搜索能力和局部搜索能力，有效防止PSO算法陷入局部僵局而發(fā)生“交叉震蕩”現(xiàn)象。

2.2混沌交替粒子群優(yōu)化思想

文獻(xiàn)［9］提出混沌與穩(wěn)定交替迭代更新的粒子群算法，但將粒子每一維進(jìn)行混沌擾動(dòng)后都計(jì)算粒子適應(yīng)值，加大了O（D）的時(shí)間復(fù)雜度，影響算法執(zhí)行效率。本文改進(jìn)算法在對(duì)穩(wěn)定粒子引入混沌擾動(dòng)時(shí)，將粒子所有維進(jìn)行混沌擾動(dòng)后再帶入適應(yīng)值函數(shù)Fiteness，進(jìn)而計(jì)算個(gè)體最優(yōu)和全局最優(yōu)，與文獻(xiàn)［9］中的方法相比降低了O（D）的時(shí)間復(fù)雜度，提高了算法效率。通過式（3）判斷粒子是否處于穩(wěn)定狀態(tài)［9］，其中，move代表粒子當(dāng)前移動(dòng)距離，stable代表粒子當(dāng)前位置與歷史最優(yōu)位置的距離。

在每次迭代中先判斷粒子穩(wěn)定性，當(dāng)move＜10-6&&stable＜10-6&&t＜0.9T時(shí)（T為總迭代次數(shù)），表示粒子穩(wěn)定，需要引入混沌，對(duì)穩(wěn)定粒子變量進(jìn)行Logistic混沌擾動(dòng)［8］，即，促使可能陷入局部最優(yōu)的粒子跳出局部最優(yōu)；當(dāng)stable＞10-6&&t＜0.9T時(shí)，表示粒子不穩(wěn)定，無需進(jìn)行混沌擾動(dòng)，粒子正常通過迭代向最優(yōu)值靠近?；煦缗c穩(wěn)定的交替使粒子不斷向最優(yōu)解靠近［9］。

2.3算法描述

圖3　云模型改進(jìn)慣性權(quán)重的混沌交替粒子群算法流程

基于云模型改進(jìn)慣性權(quán)重的混沌交替粒子群優(yōu)化算法流程如圖3所示，算法詳細(xì)描述如下：

Step1初始化：包括種群規(guī)模n，最大迭代次數(shù)T，適應(yīng)度函數(shù)Fitness等，隨機(jī)產(chǎn)生粒子的位置、速度和慣性因子ω等，初始化粒子的Pi和Pg；

Step2計(jì)算適應(yīng)度：根據(jù)適應(yīng)度函數(shù)Fitness計(jì)算出每個(gè)粒子的適應(yīng)度值fi；

Step3更新Pi和Pg：對(duì)于每個(gè)粒子，根據(jù)fi值，將粒子當(dāng)前位置與它經(jīng)歷過的最好的位置Pi進(jìn)行比較，如果當(dāng)前位置更好，則將其更新為當(dāng)前的最好位置Pi，否則Pi保持不變；對(duì)于每個(gè)粒子，根據(jù)fi值，將粒子當(dāng)前位置與群體中所有粒子所經(jīng)歷過的最好的位置Pg進(jìn)行比較，如果這個(gè)粒子的位置更好，則將其更新為當(dāng)前的最好位置Pg，否則Pg保持不變；

Step4判斷粒子是否穩(wěn)定：若當(dāng)前粒子滿足穩(wěn)定條件，則執(zhí)行Step5；若不滿足，則執(zhí)行Step6；

Step5混沌映射：若滿足停止條件，執(zhí)行Step8。若不滿足停止條件，對(duì)當(dāng)前穩(wěn)定粒子進(jìn)行Logistic混沌映射，返回Step2繼續(xù)執(zhí)行；

Step6判斷是否滿足停止條件：若滿足停止條件，執(zhí)行Step8。若不滿足停止條件，執(zhí)行Step7；

3　實(shí)驗(yàn)與分析

3.1測(cè)試函數(shù)及算法參數(shù)設(shè)置

將文獻(xiàn)［8-10］中的混沌粒子群算法，以及本文提出的基于云模型改進(jìn)慣性權(quán)重的混沌交替粒子群算法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)比較。試驗(yàn)方法是選用如表2所示的4個(gè)全局最優(yōu)解為0的最優(yōu)化函數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)測(cè)試。

表2　測(cè)試函數(shù)

其中，Sphere函數(shù)全局最優(yōu)點(diǎn)在X=（0，0，0，…，0），自變量-50≤xi≤50；Griewank函數(shù)全局最優(yōu)點(diǎn)在X=（0，0，0，…，0），自變量-600≤xi≤600；Rosenbrock函數(shù)全局最優(yōu)點(diǎn)在X=（1，1，1，…，1），自變量-100≤xi≤100；Rastrgin函數(shù)全局最優(yōu)點(diǎn)在X= （0，0，0，…，0），自變量-5.12≤xi≤5.12［9］。

PSO算法的適應(yīng)度函數(shù)即為上述4種測(cè)試函數(shù)，PSO算法慣性權(quán)重ω的調(diào)整機(jī)制如式（2）所示，其他參數(shù)設(shè)置如表3所示。云模型參數(shù)設(shè)置主要是對(duì)Ex、En和He進(jìn)行設(shè)置，根據(jù)正態(tài)云模型的性質(zhì)及經(jīng)驗(yàn)，取Ex=0，En=1/3（云寬度μ=1），He=0.1，如表3所示。

表3　算法主要參數(shù)設(shè)置

3.2實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

采用表2中的4種測(cè)試函數(shù)，在基本參數(shù)設(shè)置一致的條件下，將本文提出的基于云模型改進(jìn)慣性權(quán)重的混沌交替粒子群優(yōu)化算法與文獻(xiàn)［8-10］中的算法進(jìn)行尋優(yōu)比較。經(jīng)多次測(cè)試取平均值，得實(shí)驗(yàn)數(shù)值測(cè)試結(jié)果如表4所示。最優(yōu)測(cè)試值與實(shí)際最優(yōu)值的絕對(duì)誤差如圖4所示。

表4　數(shù)值測(cè)試結(jié)果

圖4　最優(yōu)測(cè)試值與實(shí)際最優(yōu)值的絕對(duì)誤差

由表4、圖4可以看出，本文算法的尋優(yōu)精度明顯高于文獻(xiàn)［8-10］中的算法。另外，各算法對(duì)4類測(cè)試函數(shù)尋優(yōu)過程的對(duì)比結(jié)果，即迭代次數(shù)t與最優(yōu)適應(yīng)值對(duì)數(shù)函數(shù)lg（f（Pg））的關(guān)系，如圖5所示。

基于云模型改進(jìn)慣性權(quán)重的混沌交替粒子群算法，通過正向云發(fā)生器對(duì)算法慣性權(quán)重ω進(jìn)行智能動(dòng)態(tài)調(diào)整，并判定粒子穩(wěn)定性，對(duì)穩(wěn)定粒子進(jìn)行Logistic混沌擾動(dòng)，促進(jìn)可能陷入局部最優(yōu)的粒子跳出局部最優(yōu)，并進(jìn)一步向最優(yōu)位置靠近。由圖5也可以看出，本文提出的改進(jìn)算法比文獻(xiàn)［8-10］中的算法明顯有效，且能夠達(dá)到較高的尋優(yōu)精度。

圖5　各算法對(duì)4類測(cè)試函數(shù)尋優(yōu)過程對(duì)比

另外，本文算法不僅能夠跳出局部最優(yōu)，還具有相對(duì)較快的收斂速度，圖6所示為算法接近完全收斂時(shí)的迭代次數(shù)對(duì)比?？梢钥闯觯疚乃惴ㄔ诮咏耆諗繒r(shí)的迭代次數(shù)較其他算法更少，平均迭代次數(shù)分別比文獻(xiàn)［8-10］中的算法降低了16.37%，20.11%，13.73%。

圖6　算法接近完全收斂時(shí)迭代次數(shù)對(duì)比

4　結(jié)論

針對(duì)標(biāo)準(zhǔn)粒子群優(yōu)化算法及現(xiàn)有改進(jìn)研究中存在的一些問題，提出一種基于云模型改進(jìn)慣性權(quán)重的混沌交替粒子群優(yōu)化算法，采用云模型理論對(duì)粒子群算法的慣性權(quán)重進(jìn)行智能調(diào)整，以平衡算法的局部和全局搜索能力，防止其陷入局部最優(yōu)；另外，對(duì)可能陷入局部最優(yōu)的穩(wěn)定粒子進(jìn)行Logistic混沌擾動(dòng)，以促使其跳出局部最優(yōu)進(jìn)而向最優(yōu)位置靠近。通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證分析，本文算法在尋優(yōu)精度、迭代次數(shù)等方面具有良好的性能，有效解決了粒子群算法容易在后期陷入早熟和局部最優(yōu)的問題。

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Chaos Alternation Particle Swarm Optimization Algorithm Improved Inertia Weight Based on Cloud Model

LI Ji-zhen1，MENG Xiang-ru1，CUI Wen-yan1，YANG Ting2
（1.School of Information and Navigation，Air Force Engineering University，Xi’an 710077，China；2. Unit 95133 of PLA，Wuhan 430415，China）

Abstract：The optimization performance of the standard particle swarm optimization algorithm is adjusted by reducing the inertia weightlinear，which lack of intelligent mechanism and easy to bring into the prematurity and local stalemate in the evening of the algorithm. A chaos alternation particle swarm optimization algorithm improved the inertia weight based on cloud model is proposed to solve these problems. The inertia weight ω of the particle swarm optimization algorithm is adjusted by cloud model intelligently according to the iterative transformation of the particles，and the whole and local searching capabilities of the particle swarm optimization algorithm get balanced，and prevent it into the local stalemate. In addition，determine the stability of the particles，and do chaos disturbance to the stable particles which maybe bring into the local stalemate，make it jump out form the local stalemate and close to the optimization position further. It shows from the experiment and analysis that the chaos alternation particle swarm optimization algorithm improved the inertia weight based on cloud model can be able to jump out from the local stalemate with a higher optimization precision，and the average iterative numbers are reduced by 13.73%～20.11%than other researches when the algorithm gets absolutely convergence.

Key words：particle swarmoptimization，cloud model，inertia weight，stable particles，chaos alternation

中圖分類號(hào)：TP18

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1002-0640（2016）05-0056-06

收稿日期：2015-04-17修回日期：2015-05-20

*基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（61201209，61401499）

作者簡(jiǎn)介：李紀(jì)真（1986-），男，山東泰安人，博士生。研究方向：網(wǎng)絡(luò)安全預(yù)警與響應(yīng)決策。