高中數(shù)學(xué)不等式恒成立問題的解題思路分析

吳永貴江蘇鹽城市大豐區(qū)南陽中學(xué)

高中數(shù)學(xué)不等式恒成立問題的解題思路分析

吳永貴
江蘇鹽城市大豐區(qū)南陽中學(xué)

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)中，不等式恒成立的問題是一個(gè)十分重要的題型，在很多知識(shí)板塊當(dāng)中，都包含了這一數(shù)學(xué)問題。例如函數(shù)、不等式、數(shù)列、三角、方程等，都能夠體現(xiàn)出這一知識(shí)點(diǎn)。基于此，本文主要探討了高中數(shù)學(xué)不等式的恒成立問題及其解題思路。

高中；不等式恒成立；解題思路

由于不等式恒成立的問題具有較高的思維層次、多樣的表現(xiàn)形式、廣泛的實(shí)際內(nèi)容，因而在很多考試當(dāng)中，都屬于十分常見的題型。在不等式當(dāng)中，包含了不等式、導(dǎo)數(shù)、圖像、一次函數(shù)、二次函數(shù)等方面的知識(shí)，并且融合了化歸、函數(shù)方程、數(shù)形結(jié)合、換元等數(shù)學(xué)思想。

一、不等式恒成立求實(shí)數(shù)取值范圍的題型

在高中數(shù)學(xué)不等式恒成立問題的解題過程中，不等式恒成立求實(shí)數(shù)取值范圍的題型是一種十分重點(diǎn)的題型，在解決此類提醒的過程中，配方法是一種較為實(shí)用的方法。基于對(duì)函數(shù)結(jié)構(gòu)形式的掌握和理解，對(duì)未知數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，使之成為完全平方式，然后根據(jù)偶次方非負(fù)數(shù)的特點(diǎn)，對(duì)函數(shù)最值進(jìn)行求解。

例2：已知函數(shù)f（x）=（x2+2x+a）/x，不等式f（x）＞0在x∈[1，+∞）時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

在解決該題的過程中，x∈[1，+∞）是已知條件，因此，對(duì)于f（x）＞0的問題，可以轉(zhuǎn)變?yōu)榻鉀Q一元二次不等式，即x2+2x+a＞0即可。

解：由于不等式f（x）＞0成立的條件為x∈[1，+∞），也就是x2+ 2x+a＞0，因此，對(duì)式中的參數(shù)變量進(jìn)行分離，可得出a＞－x2－2x=－（x+1）2+1。對(duì)于得到的函數(shù)g（x）=－（x+1）2+1，在x∈[1，+∞）的區(qū)間內(nèi)，函數(shù)g（x）是減函數(shù)，并且其最大值為－3，因此，根據(jù)定理可知，a＞－3。

點(diǎn)評(píng)：在不等式恒成立求實(shí)數(shù)取值范圍的題型的解題過程中，通過對(duì)函數(shù)結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化，將分?jǐn)?shù)不等式恒大于0的問題，轉(zhuǎn)變?yōu)榉肿硬坏仁胶愦笥?的問題進(jìn)行解決。對(duì)參數(shù)進(jìn)行了分隔，再根據(jù)相應(yīng)的定理，將不等式的問題轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠛瘮?shù)最值的問題。最后，利用配方法，對(duì)函數(shù)的最大值進(jìn)行了確定。

二、不等式恒成立求最值的題型

在解決高中數(shù)學(xué)不等式恒成立問題的過程當(dāng)中，針對(duì)不等式恒成立求最值的題型，可以采用判別式法進(jìn)行解決。此種方法主要是通過相互轉(zhuǎn)換不等式、二次函數(shù)、一元二次方程之間的關(guān)系，進(jìn)而解決該類型的題目。例如，可將一元二次不等式轉(zhuǎn)換為一元二次方程或二次函數(shù)，然后通過函數(shù)一元二次方程判別式，或是函數(shù)圖形，對(duì)最終答案進(jìn)行解答。在不等式恒成立求最值的題型當(dāng)中，如果采用判別式法進(jìn)行解決，應(yīng)當(dāng)對(duì)未知數(shù)的二次函數(shù)式進(jìn)行構(gòu)造。假設(shè)在實(shí)數(shù)集R當(dāng)中，一元二次不等式恒成立，因此，在解題當(dāng)中對(duì)判別式法的應(yīng)用就更為簡(jiǎn)單。

例1：已知函數(shù)f（x）=x2+bx+c，其中，b和c∈R，同時(shí)在x∈R的情況下，函數(shù)f（x）≥f’（x），證明如果滿足x≥0的條件，f（x）≤（x+c）2。假設(shè)對(duì)于任意的b、c來說，不等式f（c）－f（b）≤M（c2－b2）恒成立，求M的最小值。

解：對(duì)于第一個(gè)問題，利用導(dǎo)數(shù)定理可知f’（x）=2x+b。由于f（x）≥f’（x），所以，x2+bx+c≥2x+b，即x2+（b-2）x+c-b≥0。如果△=（b-2）2-4（c-b）≤0成立，就可得出c≥b2/4+1，則c≥1。因此，c≥2√（b2/4+1）=丨b丨。因此，2c-b=（c-b）+（c-1）+1＞0。由此可知，如果x≥0，則（x+c）2-f（x）=（2c-b）x+c2-c≥0。因此，在x≥0的條件下，f（x）≤（x+c）2。

對(duì)于第二個(gè)問題，根據(jù)之前的計(jì)算，能夠得出x≥丨b丨。對(duì)于這一問題，可以拆分為兩個(gè)部分進(jìn)行解答。首先令c＞丨b丨，則M≥[f（x）-f（b）]/（c2-b2）。=（c2-b2+bc-b2）/（c2-b2）=（c+2b）/（c+ b）。假設(shè)t=b/c，可知-1＜t＜1。因此，（c+2b）/（c+b）=2-1/（t+1）。因此得出的函數(shù)g（t）=2-1/（t+1），其值域?yàn)椋?∞，3/2）。因此，當(dāng)c＞丨b丨時(shí)，M的取值范圍為[3/2，+∞）。然后令c=丨b丨，則根據(jù)上述計(jì)算可知c=2，b=±2。因此f（c）-f（b）=0或-8，同時(shí)c2-b2=0。因此，f（c）-f（b）≤c2-b2。綜上所述，M的最小值為3/2。

點(diǎn)評(píng)：在解決不等式恒成立求最值的題型的過程中，根據(jù)一元二次不等式恒成立的條件，將不等式列出，未知數(shù)的二元次形式不等式恒成立。在此條件下，可以采用判別式法在對(duì)函數(shù)不等式進(jìn)行求解。

結(jié)論

在不等式恒成立問題的解題過程中，很多高中教師都會(huì)教學(xué)生用分離參數(shù)的方法進(jìn)行解題。這種方法雖然能夠在很多題型中發(fā)揮作用，但是，在解決不同題型的過程中，不應(yīng)全部使用此種方法，否則將會(huì)在一定程度上限制學(xué)生的解題思路。在實(shí)際解題當(dāng)中，應(yīng)當(dāng)針對(duì)不同的題型，采取不同的解題思路和解題方法，從而更好的解決高中數(shù)學(xué)不等式恒成立的問題。

[1]郭喜紅.高中數(shù)學(xué)不等式恒成立問題的解題思路研究[J].數(shù)理化解題研究(高中版),2013,12:22.

[2]曹志新.高中生解不等式困難點(diǎn)的研究[D].東北師范大學(xué), 2012.