彎曲的時空

趙崢，1967年畢業(yè)于中國科技大學物理系，1981年于北京師范大學天文系獲碩士學位，1987年于布魯塞爾自由大學獲博士學位。曾任北京師范大學研究生院副院長、物理系主任、中國引力與相對論天體物理學會理事長、中國物理學會理事?，F(xiàn)為北京師范大學物理系教授，理論物理博士生導師、教育學博士生導師。

愛因斯坦猜測，萬有引力可能是一種幾何效應，可能是時空彎曲的表現(xiàn)。他推測，物質的存在造成了時空彎曲。由于萬有引力只是時空彎曲表現(xiàn)出的幾何效應，所以不應該把萬有引力看作真正的力。單純在萬有引力作用下的質點運動，例如行星繞日運動、地球上的自由落體運動，都應該看作是不受外力的慣性運動。做慣性運動的“自由”質點，當然應該沿時空中的“直線”進行，也就是說自由質點應該沿短程線運動。

愛因斯坦覺得，建立新理論的關鍵是尋找兩個方程。一個是物質如何決定時空彎曲的方程，他稱其為場方程；另一個是不受外力的自由質點在彎曲時空中做慣性運動的方程，他稱其為運動方程。

愛因斯坦在格羅斯曼的幫助下，很快掌握了黎曼幾何的基本知識，并投入了尋找場方程的努力。這一工作耗費了愛因斯坦很大的精力和漫長的時間。他設想，方程的左端應該是描述時空曲率的項，右端應該是描述物質存在狀態(tài)的項，即：

時空曲率=物質分布

右端的物質項用時空中能量和動量的分布來表述，其形式比較容易猜測，愛因斯坦很快就寫了出來。左端的曲率項的形式卻很難猜想，他在格羅斯曼的幫助下嘗試了2年，也沒有找到正確的形式。

1915年，愛因斯坦移居德國，得以與著名數(shù)學家希爾伯特交往。他在與希爾伯特幾次討論后，當年底就寫出了場方程左端的正確形式，從而得出了完整的場方程，并用此方程解釋了水星軌道近日點的進動，終于建立起了他的新理論——廣義相對論。

在廣義相對論誕生前后的幾個月內，愛因斯坦與希爾伯特之間產生了競爭。在與愛因斯坦的討論中，希爾伯特對愛因斯坦的新理論產生了興趣，他也開始尋找場方程的正確形式。希爾伯特不愧是數(shù)學大師，他很快就趕了上來。在愛因斯坦把自己的最終論文投給雜志社的同時，希爾伯特也投了稿。

愛因斯坦的稿件是1915年11月25日完成并投稿的，發(fā)表于當年的12月5日。希爾伯特的稿件是1915年11月20日完成并投稿的，發(fā)表于1916年的3月1日。

希爾伯特論文的發(fā)表時間比愛因斯坦晚，但投稿時間比愛因斯坦早。應該說明的是，愛因斯坦的論文中包括了場方程的正確形式，希爾伯特的稿件中最初沒有給出場方程。不過，在愛因斯坦的論文刊出后，希爾伯特在對自己稿件的清樣做修改時，加上了正確的場方程。希爾伯特是在看到了愛因斯坦的論文之后，才明確寫出場方程的，而且他對場方程右端物質項的理解有錯誤。

此外，愛因斯坦在自己的論文發(fā)表之前，就用場方程得出了水星軌道近日點進動的正確值，并寫信告訴了希爾伯特，希爾伯特還回信對愛因斯坦表示了祝賀。雖然二人在廣義相對論的發(fā)現(xiàn)權方面有過小的誤會，但希爾伯特很快就表示：愛因斯坦是廣義相對論的唯一創(chuàng)建人。

愛因斯坦在創(chuàng)建廣義相對論的道路上有過多次物理思想的重大創(chuàng)新。他于1905年開始研究萬有引力，1907年提出等效原理，1911年得出光線在引力場中彎曲的結論，1913年與格羅斯曼一起把黎曼幾何引進新理論的研究。應該強調的是，猜測到萬有引力是一種幾何效應，是時空彎曲的表現(xiàn)，這一點是非常難得的。所以，愛因斯坦后來曾經自豪地說：“狹義相對論如果我不發(fā)現(xiàn)，5年之內就會有人發(fā)現(xiàn)；廣義相對論如果我不發(fā)現(xiàn)，50年之內也不會有人發(fā)現(xiàn)?！?/p>

希爾伯特是在1915年才開始參與新理論研究的，他對新理論的物理本質的理解當然不如愛因斯坦，但是他與愛因斯坦的討論，肯定對后者找到場方程的正確形式有啟發(fā)和幫助，否則不會在幾次討論之后，愛因斯坦就得到了幾年沒有找到的場方程。

所以，雖然廣義相對論是愛因斯坦一個人創(chuàng)建的，但是希爾伯特對他的幫助也是難能可貴的。如果沒有希爾伯特在數(shù)學上的幫助，也許廣義相對論的建立還要推遲一段時間。應該說明的是，他們二人由于誤會產生的小火花很快就平息了，此后二人一直是要好的朋友。

場方程是廣義相對論的基本方程，又稱愛因斯坦方程，描述物質如何決定時空彎曲。

廣義相對論的另一個重要方程是運動方程。愛因斯坦設想此方程應該表述不受外力的自由質點在彎曲時空中的運動。因為萬有引力不算力，運動方程描述的應該是質點的慣性運動，當然應該沿短程線跑。數(shù)學家們早就得出了黎曼時空中的短程線方程，愛因斯坦就把該方程引用過來，作為廣義相對論的運動方程。所以，給出運動方程并沒有耗費愛因斯坦多少時間。

需要說明的是，廣義相對論用的幾何與最初的黎曼幾何有差別，本質上是一種偽黎曼幾何。在偽黎曼幾何中，短程線可能是兩點間最短的一條，也可能是最長的一條。所以廣義相對論中的短程線，是兩點間長度取極值的線，它可能是兩點間最短的一條線（取極小值時），也可能是兩點間最長的一條線（取極大值時）。

一開始，愛因斯坦認為廣義相對論的基本方程有兩個，即場方程和運動方程。20世紀30年代，愛因斯坦和前蘇聯(lián)科學家福克分別獨立證明了運動方程可以從場方程推出，所以廣義相對論的基本方程只有一個，那就是場方程。

那么，如何理解時空彎曲呢？我們簡單說明一下。

一個人手托一個物體讓它不動，在牛頓力學看來，物體之所以不動，是因為物體所受的萬有引力與手托它的力平衡，合力為零，所以它處在慣性狀態(tài)（靜止）。人一松手，物體就自由下落，牛頓力學認為這時物體在萬有引力作用下做勻加速直線運動。從廣義相對論看來，萬有引力不是力。手托著不下落的物體只受到一個外力：人用手托它的力。它雖然靜止，但由于受到外力（托力），所以并不是處在慣性狀態(tài)。人一松手，物體開始勻加速下落。由于萬有引力不是力，所以下落物體并未受到任何外力，它的運動屬于慣性運動。所以自由落體運動是彎曲時空中的慣性運動。

牛頓力學認為，行星繞日的運動，是在萬有引力作用下的變加速運動。廣義相對論認為萬有引力不是力，所以行星沒有受到力，它的繞日運動是慣性運動。因此，行星的運動軌跡是短程線。但要注意，通常所說的行星繞日的橢圓軌道并不是短程線。橢圓軌道是三維空間中的軌道。這里說的短程線是四維時空中的曲線。也就是說，行星繞日運動是沿四維時空中的短程線的慣性運動。如圖1所示，這條短程線是四維時空中的螺旋線，此螺旋線在三維空間中的投影就是我們通常所說的行星橢圓軌道（圖1）。

有人用床單作比方解釋時空彎曲。如果4個人各持床單的一角拉緊，床單就成為1個平直的二維空間。把1個小球放在床單上，它靜止不動。一扔，它就做勻速直線運動。這就好比平直空間中的慣性運動狀態(tài)（圖2）。

在繃緊的床單中央放1個鉛球，床單就凹下去了，成為1個二維的彎曲空間。再把1個小球放在床單上，它將不會靜止，會自然地滾向鉛球。我們可以把鉛球看作地球，把小球看作人手托著的物體，你松手后小球向鉛球滾去，就好比人松手后原來手托的物體會落向地球。為什么小球會滾向鉛球去呢？按照牛頓力學的解釋，鉛球（地球）用萬有引力吸引小球（物體）。用愛因斯坦的廣義相對論解釋，則是鉛球（地球）的存在，讓床單（時空）變彎了，在彎曲時空中，小球（物體）做慣性運動，落向了鉛球（地球）。

也可把鉛球看作太陽，小球看作地球。在床單上把小球橫向一扔，它就會圍著鉛球轉動，不會跑掉。為什么不會跑掉呢，地球為什么不飛離太陽呢？按照牛頓理論，這是因為鉛球（太陽）用萬有引力吸引著小球（地球）；按照廣義相對論，則是鉛球（太陽）的存在使床單（時空）變彎了，由于床單（時空）彎曲了，所以小球（地球）做慣性運動，圍著鉛球（太陽）轉，不會逃離鉛球（太陽）。

本文節(jié)速自上海教育出版杜出版的（愛因斯坦與相對論——寫在廣義相對論創(chuàng)建100周年之際），有刪改。