一類具有Leakage時滯的慣性Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡的全局指數(shù)穩(wěn)定性和Hopf分支

田曉紅,徐 瑞,王志麗

(軍械工程學院應用數(shù)學研究所,河北石家莊050003)

一類具有Leakage時滯的慣性Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡的全局指數(shù)穩(wěn)定性和Hopf分支

田曉紅?,徐 瑞,王志麗

(軍械工程學院應用數(shù)學研究所,河北石家莊050003)

研究一類具有Leakage時滯的慣性Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡模型.通過構造適當?shù)腖yapunov泛函得到了平衡點全局指數(shù)穩(wěn)定的充分條件.通過分析特征方程,討論了系統(tǒng)平衡點的局部穩(wěn)定性,得出了系統(tǒng)Hopf分支存在的充分條件.最后對所得理論結果進行了數(shù)值模擬.

慣性Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡模型;Leakage時滯;Hopf分支;全局指數(shù)穩(wěn)定性

§1 引 言

生物學中,一些哺乳動物的半規(guī)管以及毛發(fā)細胞膜都可由包含電感的一個等效電路來描述[1].因此,在一定條件下,神經(jīng)元的電子線路也可通過加入一個電感來實現(xiàn),完成類似于帶通濾波器或電調諧的作用.基于此構建的電路網(wǎng)絡將包括所謂的慣性,即電感,它是電壓關于時間的二階導數(shù).與傳統(tǒng)的網(wǎng)絡模型相比,這種具有慣性項的網(wǎng)絡更能準確地描述生物神經(jīng)網(wǎng)絡,便于記憶的無序搜索.1987年,Babcock和Westervelt[2]在標準RC聯(lián)軸器中引入了慣性項,提出了具有單個和兩個神經(jīng)元的電子神經(jīng)網(wǎng)絡模型,研究發(fā)現(xiàn)與具有標準電容電阻的電子神經(jīng)網(wǎng)絡相比,慣性項的出現(xiàn)使神經(jīng)網(wǎng)絡具有更加復雜的動力學性態(tài),它是導致系統(tǒng)出現(xiàn)分叉和混沌的一個主要因素.在文[2]工作的基礎上,Li[3]等考慮了時滯對網(wǎng)絡動態(tài)特性的影響,通過分析特征方程研究了具有傳輸時滯的單一慣性神經(jīng)網(wǎng)絡模型的分支和混沌現(xiàn)象.

慣性神經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng)具有周期運動,擬周期運動和混沌等豐富的動力學特性,對它的研究不僅便于理解神經(jīng)網(wǎng)絡的生物學背景,而且為神經(jīng)網(wǎng)絡的開發(fā),設計和應用提供了有效途徑.近年來,慣性神經(jīng)網(wǎng)絡模型動力學性態(tài)的研究已逐漸成為當前的熱點問題[4-7].在文獻[5]中,Ke和Miao研究了如下慣性Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡模型：

等式左邊的二階導數(shù)被稱作系統(tǒng)(1)的慣性項,βi＞0是常數(shù).xi(t)表示第i個神經(jīng)元在t時刻的狀態(tài)變量.在系統(tǒng)(1)中總假定：

(A1)αi(·)表示一個正的連續(xù)有界的放大函數(shù),即滿足0

(A2)hi(·)表示適當?shù)男袨楹瘮?shù).δij表示第j個神經(jīng)元在t時刻的傳輸時滯且滿足0≤ δij≤ δ.

A=(aij)和B=(bij)(i,j=1,2,···,n)分別表示與時滯狀態(tài)無關和相關的連接權矩陣.

Ii表示第i個神經(jīng)元在t時刻的外部輸入.

(A3)fj表示第j個神經(jīng)元在t時刻的激活函數(shù),且滿足Lipschitz條件,即存在常數(shù)lj＞ 0使得對j=1,2,···,n,有|fj(x)-fj(y)|≤ lj|x-y|, x,y ∈ R.

在系統(tǒng)(1)中,通過利用同胚定理,得到了系統(tǒng)存在唯一的平衡點的充分條件.通過構造適當?shù)腖yapunov泛函并利用不等式技巧,進一步得到了系統(tǒng)(1)的平衡點全局指數(shù)穩(wěn)定的充分條件.

作者注意到,在系統(tǒng)(1)中,Ke和Miao只考慮了軸突信號的傳輸時滯.事實上,在神經(jīng)網(wǎng)絡的硬件實現(xiàn)過程中,由于神經(jīng)元的有限傳輸速度和電路放大器的有限開關速度,神經(jīng)元的自衰減過程并不是瞬時的.當神經(jīng)元斷開網(wǎng)絡連接和外部輸入時,重置電位到隔離到靜止狀態(tài)需要一個時間過程.為了刻畫這種現(xiàn)象,Gopalsamy[8]研究了在穩(wěn)定的負反饋項,即Leakage項(漏項)中含有時滯的BAM神經(jīng)網(wǎng)絡模型,并發(fā)現(xiàn)Leakage時滯對神經(jīng)網(wǎng)絡的動力學性態(tài)有很大的影響,可能破壞系統(tǒng)的穩(wěn)定性.目前,具有Leakage時滯的神經(jīng)網(wǎng)絡模型動力學性態(tài)的研究引起了人們的關注[9-11],但對于含有Leakage時滯的Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡模型的研究工作則很少見到.

本文將基于文獻[5]和[8]的工作,研究如下具有Leakage時滯和傳輸時滯的慣性Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡模型：

其中τi為Leakage時滯且滿足0 ≤ τi≤ τ. 在系統(tǒng)(2)中,αi(·),hi(·),Ii,fj和A=(aij),B=(bij)的定義見(A1)-(A3).在本文中,總假定：

(A4)fj(0)=0,hi(0)=0且存在常數(shù)和i,i使得

系統(tǒng)(2)滿足的初始條件為

這里φi(s)和ψi(s)是有界的連續(xù)函數(shù).

§2 全局指數(shù)穩(wěn)定性

則系統(tǒng)(2)的唯一平衡點x?是全局指數(shù)穩(wěn)定的.

證 由引理2.1可知, 若(H1)成立,則系統(tǒng)(2)存在唯一的平衡點x?=(x,x,···,x). 于是(2)的等價系統(tǒng)(4)存在唯一的平衡點(x?T,y?T)T.為證明x?是全局指數(shù)穩(wěn)定的,先討論系統(tǒng)(4)的平衡點(x?T,y?T)T的穩(wěn)定性問題.

計算V1(t)沿系統(tǒng)(6)的解的導數(shù)可得

其中

由(10)式有

§3 局部穩(wěn)定性和Hopf分支的存在性

在本節(jié)中,將進一步討論模型(2)中當神經(jīng)元的個數(shù)n=2時對應系統(tǒng)的局部穩(wěn)定性.

為此,取坐標變換ˉxi(t)=xi(t)-,i=1,2,···,n,并仍以x記ˉx,則系統(tǒng)(2)等價于下列系統(tǒng)：

這里

顯然,系統(tǒng)(2)的平衡點x?變?yōu)榱讼到y(tǒng)(14)的平凡平衡點.

在上式中令n=2,δij=0,τi= τ,則系統(tǒng)(14)變?yōu)椋?/p>

下面,將通過分析特征方程討論系統(tǒng)(14)的特殊情形：系統(tǒng)(15)的零解的穩(wěn)定性和Hopf分支的存在性.由前面的討論可知,系統(tǒng)(15)的等價系統(tǒng)為：

易知,若(A1)-(A4)成立,則系統(tǒng)(16)存在一個平凡平衡點E?(0,0,0,0).

令x1(t)=c1eλt,y1(t)=c2eλt,x2(t)=c3eλt,y2(t)=c4eλt,并將其代入到系統(tǒng)(16)在E?處的線性系統(tǒng),要求ci(i=1,2,3,4)有非零解,則可得系統(tǒng)(16)在E?處的特征方程為：

易知,方程(17)可改寫為：

根據(jù)Hurwitz判據(jù)可知,當τ=0時,如果Δ2＞0和Δ3＞0成立,則方程(19)的所有根均具有負實部,故E?是局部漸近穩(wěn)定的.易知,方程(18)等價于下列方程：

假定方程(20)有一對共軛純虛根±iω(ω＞0).將λ=iω(ω＞0)代入到方程(20)中,并分離實部與虛部可得

于是,判斷方程(20)純虛根的存在性等價于判斷方程(21)的解的存在性.

將(22)代入到(25)中,計算可得

經(jīng)計算,有

根據(jù)以上分析,可得如下結論：

定理3.1 假定Δ2＞0和Δ3＞0.對系統(tǒng)(16),有下列結論成立：

(i)如果方程h(z)=0沒有正實根,則對所有的τ≥0,系統(tǒng)(16)的平凡平衡點E?是局部漸近穩(wěn)定的.

(ii)如果sign{h′(z)/G(ω)}＞0,則當τ∈[0,τ)時,E?是局部漸近穩(wěn)定的;當τ＞ τ時,E?不穩(wěn)定;當τ=τ時,系統(tǒng)(16)在平衡點E?附近出現(xiàn)Hopf分支.

§4 數(shù)值模擬

在系統(tǒng)(16)中,令β1=1.2,β2=0.8,a11=0.2,a12=-0.5,a21=-0.5,a22=0.5,a1(x)=1.5cosx,a2(x)=1.5-sinx,b1(x)=0.5x,b2(x)=0.5x,g1(x)=arctanx,g2(x)=tanhx.此時系統(tǒng)(16)存在一個平凡平衡點E?(0,0,0,0).計算可得Δ2=2.4600,Δ3=3.1356且有ω=0.6792,τ=0.9612,sign{h′(z)/G(ω)}=5.0676＞0.則由定理3.1可知,當τ=0.8＜ τ0時,系統(tǒng)(16)的解軌線趨向于E?;當τ=1.0＞τ0時,系統(tǒng)(16)在E?附近出現(xiàn)Hopf分支.數(shù)值模擬結果驗證了上述結論(見圖1).

此外,基于上述參數(shù),選擇時滯τ在區(qū)間(0.5＜τ＜1.5)內(nèi)變化.圖2表明系統(tǒng)(16)將會出現(xiàn)更加復雜的動力學行為包括混沌現(xiàn)象(見圖2)(由于x1(t)和y1(t)的數(shù)值模擬結果與x2(t)和y2(t)的類似,故此省略).

圖1 取τ=0.8＜τ0,E?是局部漸近穩(wěn)定的 τ=1.0＞τ0時,E?不穩(wěn)定

圖2 系統(tǒng)(16)在平面(τ,x2)和(τ,y2)上的分岔圖

§5 討論

本文研究了一類具有l(wèi)eakage時滯和傳輸時滯的慣性Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡模型,通過構造全新的Lyapunov泛函,得到了依賴于leakage時滯和傳輸時滯的全局指數(shù)穩(wěn)定的判定條件.在系統(tǒng)(2)中,令τi=0,則系統(tǒng)(2)可簡化為(1),即文[5]中所研究的模型(1).易知,文[5]中判定平衡點全局指數(shù)穩(wěn)定的定理2是本章定理2.1的特殊情況.因此,本文的工作推廣和改進了文獻[5]中的相關結果.此外,由定理3.1可知,當leakage時滯τ改變時,系統(tǒng)(16)的平衡點逐漸由穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定,并在平衡點附近出現(xiàn)Hopf分支,甚至出現(xiàn)了混沌現(xiàn)象.值得注意的是,本文只針對系統(tǒng)(2)中當n=2,δij=0時的情形,討論了leakage時滯的變化對模型動力學性態(tài)的影響,關于系統(tǒng)(2)的分支問題將在今后的工作中進一步研究.

[1] Angelaki D E,Correia M J.Models of membrane resonance in pigeon semicircular canal type II hair cells[J].Biol Cybernet,1991,65：1-10.

[2] Babcock K L,Westervelt R M.Dynamics of simple electronic neural networks[J].Physica D,1987,28：305-316.

[3] Li Chunguang,Chen Guangrong,Liao Xiaofeng,et al.Hopf bifurcation and chaos in a single inertial neuron model with time delay[J].Eur Phys J B,2004,41：337-343.

[4] Liu Qun,Liao Xiaofeng,Guo Songtao,et al.Stability of bifurcating periodic solutions for a single delayed inertial neuron model under periodic excitation[J].Nonlinear Anal,RWA,2009,10：2384-2395.

[5] Ke Yunquan,Miao Chunfang.Stability analysis of inertial Cohen-Grossberg-type neural networks with time delays[J].Neurocomputing,2013,117：196-205.

[6] Ge Juhong,Xu Jian.Stability switches and fold-Hopf bifurcations in an inertial four-neuron network model with coupling delay[J].Neurocomputing,2013,110：70-79.

[7] Zhang Zhengqiu,Quan Zhiyong.Global exponential stability via in equality technique for inertial BAM neural networks with time delays[J].Neurocomputing,2015,151：1316-1326.

[8] Gopalsamy K.Leakage delays in BAM[J].J Math Anal Appl,2007,325：1117-1132.

[9] Liu Bingwen.Global exponential stability for BAM neural networks with time-varying delays in the leakage terms[J].Nonlinear Anal RWA,2013,14：559-566.

[10]Zhang Hong,Shao Jianying.Almost periodic solutions for cellular neural networks with time-varying delays in leakage terms[J].Appl Math Comput,2013,219：11471-11482.

[11]Balasubramaniam P,Vembarasan V,Rakkiyappan R.Global robust asymptotic stability analysis of uncertain switched Hop fi eld neural networks with time delay in the leakage term[J].Neural Comput&Applic,2012,21：1593-1616.

Global exponential stability and Hopf bifurcation of inertial Cohen-Grossberg neural networks with time delays in leakage terms

TIAN Xiao-hong,XU Rui,WANG Zhi-li
(Institute of Applied Mathematics,Shijiazhuang Mechanical Engineering College,Shijiazhuang 050003,China)

In this paper,a class of inertial Cohen-Grossberg neural networks with time delays in leakage terms is investigated.By constructing the appropriate Lyapunov functional,sufficient conditions are obtained for the global exponential stability of the equilibrium.By analyzing the corresponding characteristic equation,the local stability of the equilibrium and the existence of Hopf bifurcation are established.Numerical simulations are carried out to illustrate the main results.

inertial Cohen-Grossberg neural networks;leakage delays;Hopf bifurcation;global exponential stability

34K20;92B20

O175.1

A

：1000-4424(2016)04-0428-13

2016-01-26

2016-11-06

國家自然科學基金(11371368;11071254;61305076);河北省自然科學基金(A2013506012;A2014506015)

*通信作者,E-mail：tianxh-2008@163.com