非線性對流擴(kuò)散方程的三層隱-顯hp-局部間斷Galerkin有限元方法

由同順

(南開大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,天津300071)

非線性對流擴(kuò)散方程的三層隱-顯hp-局部間斷Galerkin有限元方法

由同順

(南開大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,天津300071)

使用Arnold等人提出的求解橢圓方程的間斷有限元的一般框架及新的處理非線性對流項(xiàng)的方法,得到了非線性對流擴(kuò)散方程的三層隱-顯hp-LDG方法的誤差估計.對Burgers方程進(jìn)行了數(shù)值計算,計算結(jié)果驗(yàn)證了文中得到的理論結(jié)果.

對流占優(yōu)擴(kuò)散方程;三層隱-顯hp-LDG方法;提升算子

§1 引 言

間斷Galerkin有限元(DG)方法是有限體積方法的高階推廣,它本身具有局部守恒性,穩(wěn)定性及高精度等特點(diǎn),近年來一直受到人們的廣泛重視并在流體力學(xué)等領(lǐng)域有許多應(yīng)用.關(guān)于DG方法的綜述可參見文獻(xiàn)[1-5].

文[4]對于對流擴(kuò)散方程,提出了局部間斷Galerkin有限元(LDG)方法并對具有常系數(shù)線性問題給出了誤差分析.文[6]討論了非線性對流擴(kuò)散方程的hp-LDG方法,得到了空間半離散hp-LDG格式的誤差估計.為了避免使用小的時間步長,文[7]討論了非線性對流擴(kuò)散方程的一階隱-顯hp-局部間斷Galerkin有限元方法,得到一階全離散隱-顯hp-LDG的誤差估計.為了提高時間精度,本文采用二階精度離散時間變量,對于對流項(xiàng)采用二階顯格式而對于擴(kuò)散項(xiàng)采用隱格式離散且對于非線性項(xiàng)采用二階外推技巧,提出了求解非線性對流擴(kuò)散方程的二階隱-顯hp-局部間斷Galerkin有限元方法并在[1,8,6]的框架下,使用不同于文[4]的方法,采用文[1,8]對于橢圓方程提出的提升算子方法以及使用不同于[9]處理對流項(xiàng)的方法,得到了非線性對流擴(kuò)散方程的全離散二階隱-顯hp-LDG方法的誤差估計.本文給出的數(shù)值算例驗(yàn)證了理論結(jié)果.

本文討論的模型問題為

其中?是R2中的多角形區(qū)域,F(u)=(f1(u),f2(u))T.假設(shè)系數(shù)及右端項(xiàng)滿足下列條件H1：

1.對(x,p)∈ ? ×R,存在正常數(shù)a?及 a?,使得a?≤ a(x,p)≤ a?,fs∈ C1(R)(s=1,2);

2.系數(shù)a(x,u),g(x,u)關(guān)于u是一致Lipschitz連續(xù)的.

設(shè)Th={K}是?的正則三角形或四邊形剖分,用hK表示單元K的直徑,用εI表示Th全體非空內(nèi)邊界的集合,即對任一e∈εI,存在Th中的兩個相鄰單元K+及K-,使得e=?K+∩?K-;用εD表示?的全體非空邊界邊的集合,即對任一e∈εD,存在Th中的一個邊界單元K,使得e=?K∩??;記ε=εI∪εD.用pK≥1表示單元K ∈Th中的多項(xiàng)式的次數(shù).記p ={pK}K∈Th.現(xiàn)定義hp-有限元空間為

§2 三層隱-顯hp-LDG格式

為構(gòu)造LDG格式,引入輔助變量σ=a(x,u)s和s=?u,則對流-擴(kuò)散問題(1)可改寫為

§3 誤差估計

設(shè)問題(1)的解u∈H2(?),則

類似于[10]中的引理4.11及[8]中的引理3.2的證明,可知

由投影算子ΠQh及提升算子L的定義,引理3.3和引理3.1,可知

當(dāng)△t足夠小時,由離散的Grownwall不等式,可得

§4 數(shù)值例子

本文使用二階隱-顯LDG格式分別對?=0.1及?=0√.02的Burgers方程進(jìn)行了數(shù)值計算.在計算中,對流數(shù)值流選為Lax-Friedrichs流,其中M=+1.0E-10.另外,罰參數(shù)選為α=1/h及β=0.5n(n為單元K的單位外法向量),等分正方形區(qū)域? =[0,1]×[0,1]為N2個小正方形,然后再從左上到右下連接小正方形的對角線,形成兩個三角形,其三角形直邊長為h=1.0/N.為了計算關(guān)于空間步長h的誤差階,時間步長取為△t=0.0001,選取空間步長為h=1.0/N,N=2,4,8,16,32,64.另外,為了計算關(guān)于時間步長△t的誤差階,選取空間步長為h=1.0/128,時間步長取為△t=0.1/M,M=2,4,8,16,32,64.在表中,L2(H1)-范數(shù)為關(guān)于初始步的計算,可以使用二階顯式RK方法或CN方法對半離散方程(10)的時間變量t進(jìn)行離散.在本例計算中,初始兩步的值取為真解的相應(yīng)值.從表中可以看到,計算結(jié)果驗(yàn)證了理論結(jié)果(在表1中,p=3,N=64時,‖e‖L2(?=0.1)的誤差階的降低是由于時間方面的誤差(△t)2=1.0E-08大造成的).

表1 關(guān)于h的誤差階μ,t=0.5,β=0.5n, α=1.0/h

表2 關(guān)于△t的誤差階μ,t=0.5,β=0.5n, α=1.0/h

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The three-step implicit-explicit hp-local discontinuous Galerkin fi nite element method for nonlinear convection di ff usion problems

YOU Tong-shun
(College of Mathematics,Nankai University,Tianjin 300071,China)

By using the general framework introduced in Arnod et al.and the new method dealting with the nonlinear convection term,the error estimates of three-step implicit-explicit hp-LDG method for nonlinear convection di ff usion problems are obtained.The numerical example for the nonlinear Burgers equation is presented in the paper.The numerical results verify the theoretical results obtained in this paper.

convection di ff usion equation;three-step implicit-explicit hp-LDG method;lifting operator method

65N12;65N15;65N30

O241.8

A

：1000-4424(2016)04-0491-10

2016-03-11

2016-06-28