(α,β)混合序列的強(qiáng)穩(wěn)定性

高 萍

(廈門工學(xué)院理學(xué)院,福建廈門361021)

(α,β)混合序列的強(qiáng)穩(wěn)定性

高 萍

(廈門工學(xué)院理學(xué)院,福建廈門361021)

研究一類被隨機(jī)控制的(α,β)混合序列,并得到了關(guān)于其強(qiáng)穩(wěn)定性的若干結(jié)論.

(α,β)混合序列;隨機(jī)控制;強(qiáng)穩(wěn)定性

§1 引言與引理

二十世紀(jì)八十年代,(α,β)混合概念由Bradley[1]和邵啟滿[2]獨(dú)立的給出.(α,β)混合序列是包含了獨(dú)立序列的一類非常廣泛的序列.設(shè){Xn,n≥1}為定義在概率空間(?,F,P)上的隨機(jī)變量序列,n和m為正整數(shù),記在F中給定σ域B和R,令

其中||X||p=(E|X|p)1/p.規(guī)定(α,β)混合系數(shù)為λ(n)

定義1.1 設(shè)0≤α,β≤1且α+β=1.若隨機(jī)變量序列{Xn,n≥1}滿足：當(dāng)n→ ∞時(shí),λ(n)↓ 0,則稱{Xn,n ≥ 1}為(α,β)混合序列.

目前,關(guān)于(α,β)混合序列已有一些研究成果,如邵啟滿[2]研究了(α,β)混合序列的極限定理,陸傳榮和林正炎[4]建立了(α,β)混合序列協(xié)方差的界,沈燕[5]給出了(α,β)混合序列的Kolmogorov不等式,得出了(α,β)混合序列的若干強(qiáng)極限定理,等等.本文研究一類被隨機(jī)控制的(α,β)混合序列,并得到了關(guān)于其強(qiáng)穩(wěn)定性和部分和強(qiáng)大數(shù)定律的若干結(jié)論.

定義1.2 設(shè)隨機(jī)變量序列{Sn,n≥1},若存在兩個(gè)常數(shù)序列{bn,n≥1}和{dn,n≥1},其中0≤bn↑∞,使得

則稱{Sn,n≥1}是具有強(qiáng)穩(wěn)定性的.

定義1.3 設(shè){Xn,n≥1}為隨機(jī)變量序列,X為一隨機(jī)變量.若存在常數(shù)C＞0使得對(duì)任意x≥0,n≥1,都有

則稱{Xn,n≥1}被X隨機(jī)控制,記為{Xn}＜X.

引理1.1[6]設(shè){Xn,n≥1}為隨機(jī)變量序列,{Xn}＜X,則對(duì)任意q＞0和x＞0,都有

這里C為非負(fù)常數(shù).

§2 主要結(jié)論與證明

本文約定：C均表示正常數(shù),且在不同地方取不同的值;集合A的示性函數(shù)記為IA;對(duì)于任意隨機(jī)變量X 和c＞0,記X(c)=XI{|X|≤c}.

定理2.1 設(shè){an,n≥1}和{bn,n≥1}為兩正實(shí)數(shù)列,bn↑∞.記c1=b1/a1,cn=bn/(anlog2/pn),n≥2,1≤p≤2,設(shè){Xn,n≥1}為(α,β)混合序列,X為一隨機(jī)變量,且{Xn}＜X.對(duì)于任意x＞0,定義N(x)=Card{n：cn≤x}.設(shè)若X滿足：

則存在dn∈ R,n=1,2,···,使得

證 由定義1.3和條件（i）可知

故由引理1.2知(3)成立,從而(1)也成立,定理得證.

推論2.1 在定理2.1的條件下,若滿足對(duì)任意n≥1,EXn=0,且

定理2.3 設(shè){Xn,n≥1}是均值為零的(α,β)混合序列,且被隨機(jī)變量X隨機(jī)控制,

下證A6＜∞.注意到EXi=0,根據(jù)引理1.1及(14)有

當(dāng)q＜ 2＜ p時(shí),由(12)和q＞ r知

綜上,定理得證.

[1] Bradley R C,Bryc W.Multilinear forms and measures of dependence between random variables[J].Multi Anal,1985,16：335-367.

[2] 邵啟滿.相依與獨(dú)立隨機(jī)變量和的極限定理[D].中國(guó)科技大學(xué),1989,1-309.

[3] Cai Zongwu.Strong consistency and rates for recursive nonparametric conditional probability density estimates under(α,β)-mixing conditions[J].Stoch Proc Appl,1991,38：323-333.

[4] 陸傳榮,林正炎.混合相依變量的極限理論,第1版[M].北京：科學(xué)出版社,1997.

[5] Shen Yan,Zhang Yongjun.Strong limit theorems for(α,β)-mixing random variable sequences[J].J Univ Sci Tech China,2011,41(9)：778-795.

[6] 吳群英.混合序列的概率極限理論,第一版[M].北京：科學(xué)出版社,2006.

[7] 林正炎,陸傳榮,蘇中根.概率極限理論基礎(chǔ),第1版[M].北京：高等教育出版社,1999.

Strong stability of(α,β)-mixing sequences

GAO Ping
(College of Science,Xiamen Institute of Technology,Xiamen 361021,China)

In this paper,the author studies the(α,β)-mixing sequences which are stochastically dominated.Some results on the strong stability for(α,β)-mixing sequences are presented.

(α,β)-mixing sequences;stochastically dominated;strong stability

60F15

O211.62

A

：1000-4424(2016)04-0405-08

2016-03-03

2016-06-26