黑子面積隨黑子數(shù)變化的統(tǒng)計(jì)研究*

馮　雯，謝婧嵐，李可軍

(1. 昆明理工大學(xué)分析測(cè)試中心，云南 昆明　650093； 2. 南京大學(xué)現(xiàn)代天文與天體物理教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 南京　210093；3. 中國(guó)科學(xué)院云南天文臺(tái)，云南 昆明　650011；4. 中國(guó)科學(xué)院太陽(yáng)活動(dòng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 (國(guó)家天文臺(tái))，北京　100012；5. 中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京　100049)

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黑子面積隨黑子數(shù)變化的統(tǒng)計(jì)研究*

馮雯1,2，謝婧嵐3,4,5，李可軍3,4

(1. 昆明理工大學(xué)分析測(cè)試中心，云南 昆明650093； 2. 南京大學(xué)現(xiàn)代天文與天體物理教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 南京210093；3. 中國(guó)科學(xué)院云南天文臺(tái)，云南 昆明650011；4. 中國(guó)科學(xué)院太陽(yáng)活動(dòng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 (國(guó)家天文臺(tái))，北京100012；5. 中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京100049)

摘要：對(duì)1874年5月-2015年3月期間每月黑子數(shù)和黑子面積數(shù)進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，統(tǒng)計(jì)研究黑子數(shù)與黑子面積比例的變化。結(jié)果表明：黑子數(shù)與黑子面積非線(xiàn)性變化，在活動(dòng)周極大時(shí)期更明顯。二者的分布概率整體相似，都隨數(shù)值增大而降低，但黑子面積下降得更明顯，表明二者存在非線(xiàn)性關(guān)系。黑子數(shù)與黑子面積的比例在活動(dòng)周極小時(shí)期約為10.2，在極大時(shí)期約為21.8，長(zhǎng)期約為16.8。每個(gè)周的上升期和下降期確定的比例有微小差別，不同活動(dòng)周確定的比例有小的差別，二者間的比例有減小的趨勢(shì)。

關(guān)鍵詞：太陽(yáng)活動(dòng)；黑子數(shù)；黑子面積；相關(guān)分析

黑子(相對(duì))數(shù)是一個(gè)表征太陽(yáng)活動(dòng)強(qiáng)弱的最經(jīng)典、最常用的量，由沃爾夫(R. WOLF)于1848年提出，因此有時(shí)也稱(chēng)沃爾夫(黑子相對(duì))數(shù)。其定義為：R=k(10g+f)，式中g(shù)是日面上黑子群的群數(shù)；f是單個(gè)黑子數(shù)；k是一個(gè)與觀(guān)測(cè)儀器、方法、天氣條件、觀(guān)測(cè)者的經(jīng)驗(yàn)等因素有關(guān)的換算因子。之所以出現(xiàn)10，是因?yàn)楹谧拥?“群” 比 “個(gè)” 更容易觀(guān)測(cè)與確定，因而要占有更大的權(quán)重使定義量可靠[1-2]。一般群里有幾 “個(gè)” 到數(shù)十 “個(gè)” 黑子，取得太大， 如100， 又掩蓋了 “個(gè)” 的作用。黑子數(shù)也叫國(guó)際黑子(相對(duì))數(shù)，現(xiàn)在由全球各天文臺(tái)觀(guān)測(cè)資料綜合得出每天的值，由太陽(yáng)影響數(shù)據(jù)分析中心(Solar Influences Data Analysis Center, SIDC)代表世界數(shù)據(jù)中心(World Data Center)發(fā)布[3]。黑子數(shù)在天文學(xué)、地球科學(xué)、大氣科學(xué)等很多領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用。黑子面積是另一個(gè)經(jīng)常用來(lái)表征太陽(yáng)活動(dòng)的量，從物理意義上講，它是更好的量[2]。黑子面積定義為黑子在日面(太陽(yáng)視圓面)的面積投影改正到日面中心以太陽(yáng)半球面積的百萬(wàn)分之一為單位的數(shù)值[2,4]。早期連續(xù)的黑子面積數(shù)據(jù)由皇家格林威治天文臺(tái)(Royal Observatory, Greenwich, GRO)提供，始于1874年5月，止于1976年12月，之后主要由美國(guó)空軍/美國(guó)國(guó)家海洋和大氣管理局(USAF/NOAA)提供。文[2]用1874年5月到1976年12月的平滑黑子數(shù)(R)和平滑面積數(shù)(S)研究二者間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)S=16.7R+4。若使用1977年1月至2014年8月的美國(guó)空軍/美國(guó)國(guó)家海洋和大氣管理局?jǐn)?shù)據(jù)，S=11.2R。因此皇家格林威治天文臺(tái)和美國(guó)空軍/美國(guó)國(guó)家海洋和大氣管理局的黑子面積數(shù)之間有一個(gè)轉(zhuǎn)換因子16.7/11.2=1.39。將后者轉(zhuǎn)變到前者系列后合成的黑子面積數(shù)據(jù)(GRO/USAF)由馬歇爾太空飛行中心(Marshall Space Flight Center, NASA)網(wǎng)站管理更新。

盡管二者都被用來(lái)代表太陽(yáng)活動(dòng)，但二者間的關(guān)系復(fù)雜。有學(xué)者認(rèn)為，雖然每天的R和S似乎無(wú)關(guān)聯(lián)，但從年平均值來(lái)看，S=16.7R。也有學(xué)者認(rèn)為，S/R值可能與太陽(yáng)活動(dòng)的相位有關(guān)，并不像年均值一樣，是個(gè)常數(shù)[4-5]。文[6]用交叉遞歸圖(Cross Recurrence Plot, CRP)方法研究了二者間的相位關(guān)系，發(fā)現(xiàn)相位在7～12年時(shí)間尺度高度同步，但在高頻相位混雜；在太陽(yáng)活動(dòng)周極大極小時(shí)刻比其它時(shí)刻更不同步。文[7]研究了黑子面積與黑子數(shù)比對(duì)太陽(yáng)輻射的影響以及黑子面積觀(guān)測(cè)資料的可靠性。該文認(rèn)為二者的比例代表了黑子個(gè)體對(duì)黑子群的匯聚度和黑子的平均尺度，也反映了黑子相對(duì)光斑對(duì)太陽(yáng)輻射的貢獻(xiàn)。因此研究二者間比例的變化是有意義的。文[8-9]將黑子面積與黑子數(shù)的比定義為一個(gè)新的量：黑子單元面積，研究該量的時(shí)間演化。本文從統(tǒng)計(jì)的角度探討二者在太陽(yáng)周不同時(shí)刻、不同太陽(yáng)周的關(guān)系。

1黑子數(shù)與黑子面積的關(guān)系分析

1.1數(shù)據(jù)

1874年5月-2015年3月期間每月黑子面積數(shù)是合成后的 GRO/USAF黑子面積數(shù)據(jù)，同時(shí)期的黑子數(shù)來(lái)自太陽(yáng)影響數(shù)據(jù)分析中心，如圖1。圖中，為圖視清晰，黑子面積被16.7除了。黑子數(shù)和黑子面積在活動(dòng)周極大時(shí)期的差別比其他時(shí)期顯著大，表明二者間的關(guān)系可能是非線(xiàn)性的。

圖2給出了黑子數(shù)和黑子面積的概率分布。二者的分布很相似：概率與數(shù)目成反比，小的黑子數(shù)和黑子面積出現(xiàn)的概率高。黑子面積的概率似乎隨黑子面積下降得更快，預(yù)示二者的非線(xiàn)性關(guān)系。

圖1　1874年5月-2015年3月期間黑子數(shù)(實(shí)線(xiàn))和黑子面積數(shù)(點(diǎn)線(xiàn)， 被縮小了16.7倍)

圖2　黑子數(shù)(上圖)和黑子面積數(shù)(下圖)的分布概率

1.2黑子數(shù)與黑子面積的非線(xiàn)性關(guān)系

圖3給出黑子面積隨黑子數(shù)變化關(guān)系的散點(diǎn)圖。對(duì)其進(jìn)行線(xiàn)性擬合，得到二者的關(guān)系為S=16.793R-82.4。相關(guān)系數(shù)高達(dá)0.923，表明這種線(xiàn)性關(guān)系具有統(tǒng)計(jì)意義。圖3表明，隨著黑子數(shù)增大，數(shù)據(jù)越彌散。接下來(lái)用二次函數(shù)對(duì)它們進(jìn)行擬合，結(jié)果為：S=0.0094R2+15.292R-49.6，相關(guān)系數(shù)為0.944。黑子數(shù)較小時(shí)，兩個(gè)擬合線(xiàn)非常接近，線(xiàn)性描述是恰當(dāng)?shù)?。隨著黑子數(shù)增大，二次項(xiàng)曲線(xiàn)越來(lái)越高于直線(xiàn)，差別越來(lái)越大，非線(xiàn)性更明顯。隨著黑子數(shù)增多，黑子面積增長(zhǎng)得更明顯。這就是說(shuō)，在活動(dòng)周極大時(shí)期黑子數(shù)與黑子面積的非線(xiàn)性更明顯。

圖3　黑子面積數(shù)隨黑子面積變化(叉號(hào))的線(xiàn)性擬合(實(shí)線(xiàn))和二次項(xiàng)擬合(虛線(xiàn))

R=0時(shí)，表示沒(méi)有黑子出現(xiàn)在日面，這時(shí)S應(yīng)該為0，但線(xiàn)性擬合表達(dá)式中出現(xiàn)了一個(gè)截距值-82.4。這個(gè)值相對(duì)于所有黑子面積的實(shí)測(cè)值非常小。R=4.9時(shí)，S=0，線(xiàn)性擬合表達(dá)式中一次項(xiàng)和截距項(xiàng)相等。對(duì)于所有黑子數(shù)的實(shí)測(cè)值，R=4.9是非常小的，一次項(xiàng)經(jīng)常遠(yuǎn)高于截距。因此，統(tǒng)

計(jì)上講，截距對(duì)斜率偏離比例值(沒(méi)有待確定的常數(shù)項(xiàng)時(shí)一次項(xiàng)的待定系數(shù))的影響很小。由線(xiàn)性擬合的斜率知道，二者間的比例約為16.8。

為了判斷二次項(xiàng)是否真的統(tǒng)計(jì)存在，對(duì)原始1 690個(gè)數(shù)據(jù)對(duì)， 每次隨機(jī)選取1 500對(duì)，分別進(jìn)行線(xiàn)性和二次項(xiàng)擬合。這個(gè)過(guò)程重復(fù)5 000次，得到相關(guān)系數(shù)的分布如圖4，全部的擬合結(jié)果有統(tǒng)計(jì)意義。只有兩次，線(xiàn)性和二次擬合的相關(guān)系數(shù)相等，其他都是二次擬合的相關(guān)系數(shù)高。圖5給出了二次項(xiàng)系數(shù)的分布，小于等于0的情況只有29次。擬合結(jié)果為，S=(16.792 ± 0.217)R-82.3 ± 8.3,S=(9.339 ± 3.581)×10-3R2+(15.307 ± 0.495)R-49.8 ± 8.4。二次項(xiàng)系數(shù)的平均值是方差值的2.6倍多，這就是說(shuō)，偏離平均值約2.6倍方差時(shí)，系數(shù)還是大于0，因此二次項(xiàng)是統(tǒng)計(jì)存在的。

1.3黑子數(shù)與黑子面積的比例隨黑子數(shù)變化的關(guān)系

圖4　線(xiàn)性擬合與二次項(xiàng)擬合的相關(guān)系數(shù)的比對(duì)。每次從黑子數(shù)和黑子面積數(shù)據(jù)對(duì)中隨機(jī)取1 500對(duì)進(jìn)行線(xiàn)性和二次項(xiàng)擬合，得到它們的相關(guān)系數(shù)(加號(hào))，重復(fù)5 000次

首先對(duì)小于等于10(即截至10)的黑子數(shù)與對(duì)應(yīng)黑子面積數(shù)據(jù)進(jìn)行線(xiàn)性擬合。第2次對(duì)小于等于15(截至15)的黑子數(shù)與對(duì)應(yīng)黑子面積進(jìn)行擬合，黑子數(shù)每次增加5與對(duì)應(yīng)黑子面積進(jìn)行擬合，這樣就得到擬合直線(xiàn)的參數(shù)(截距與斜率)隨所用黑子數(shù)變化的關(guān)系，如圖6。在圖中，所用黑子數(shù)表示為所用黑子的截止數(shù)(每次擬合都從零黑子數(shù)開(kāi)始)。擬合的相關(guān)系數(shù)在圖中給出。圖7給出每次計(jì)算涉及的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)。截止黑子數(shù)從10增加到約100，相關(guān)系數(shù)快速增加，數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)快速增加，因此擬合結(jié)果的置信度快速增長(zhǎng)，線(xiàn)性關(guān)系也快速增強(qiáng)。之后，截止黑子數(shù)再增加，相關(guān)系數(shù)和數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)的增加都放緩，線(xiàn)性關(guān)系的增強(qiáng)也放緩。第1次擬合的截距為-7.22，斜率為10.28，黑子數(shù)為0.7時(shí)，擬合表達(dá)式中一次項(xiàng)和截距項(xiàng)相等，因此統(tǒng)計(jì)上講，截距對(duì)斜率偏離比例值的影響很小。因此，在活動(dòng)周的極小時(shí)期，二者的比例約為10.28。隨著黑子數(shù)增加，例如從開(kāi)始的10增加到100，截距的絕對(duì)值增加到69.55，斜率增加到16.34。這時(shí)，黑子數(shù)為4.2時(shí)，比例項(xiàng)和截距項(xiàng)相等，統(tǒng)計(jì)上講，截距對(duì)斜率偏離比例值的影響仍然很小。之后，黑子數(shù)增加，截距的絕對(duì)值增加緩慢，截距對(duì)斜率偏離比例值的影響越來(lái)越小。

圖5　5 000次對(duì)黑子數(shù)和黑子面積數(shù)據(jù)對(duì)進(jìn)行二次項(xiàng)擬合得到的二次項(xiàng)系數(shù)值的分布。每次從總的1 690個(gè)數(shù)據(jù)對(duì)中隨機(jī)取1 500對(duì)

圖6　在不同黑子數(shù)與黑子面積數(shù)據(jù)對(duì)長(zhǎng)度下的線(xiàn)性擬合結(jié)果(叉號(hào))：截距(上框圖)，斜率(中間框圖)，以及擬合的相關(guān)系數(shù)(下框圖)。橫坐標(biāo)表示截止的黑子數(shù)，每次從零黑子數(shù)開(kāi)始

接下來(lái)先對(duì)全部黑子數(shù)(即始于0)與面積數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，第2次對(duì)大于等于5(始于5)的黑子數(shù)與對(duì)應(yīng)黑子面積進(jìn)行擬合，第3次對(duì)大于等于10(始于10)的黑子數(shù)與對(duì)應(yīng)黑子面積進(jìn)行擬合， 開(kāi)始的黑子數(shù)每次增加5與對(duì)應(yīng)黑子面積進(jìn)行擬合，這樣就得到擬合直線(xiàn)的參數(shù)(截距與斜率)隨所用黑子數(shù)變化的關(guān)系，如圖8。在圖中，所用黑子數(shù)表示為所用黑子數(shù)的開(kāi)始數(shù)值(每次擬合所用黑子數(shù)都截止到最大黑子數(shù))。相關(guān)系數(shù)也在圖中給出。圖9給出每次計(jì)算涉及的數(shù)據(jù)對(duì)的個(gè)數(shù)。最后一次計(jì)算的開(kāi)始黑子數(shù)為145，所用數(shù)據(jù)對(duì)的數(shù)目為92(圖中最小值)，相關(guān)系數(shù)為0.654(圖中最小值)，線(xiàn)性擬合有統(tǒng)計(jì)意義，因此各次計(jì)算結(jié)果都有統(tǒng)計(jì)意義。圖8顯示，從R=105開(kāi)始， 截距的絕對(duì)值隨開(kāi)始黑子數(shù)有一個(gè)較大的增加。開(kāi)始黑子數(shù)為105時(shí)，擬合結(jié)果為S=17.516R-168.394。S=0，則R=9.61，比開(kāi)始黑子數(shù)小得多，因此截距對(duì)斜率偏離比例值的影響很小。最后一次計(jì)算，開(kāi)始黑子數(shù)為145，這時(shí)S=21.811R-920.962。S=0，則R=42.2，比開(kāi)始黑子數(shù)小很多，因此截距對(duì)斜率偏離比例值的影響較小。二者間的比例約為21.8。

圖7　在黑子數(shù)與黑子面積數(shù)據(jù)對(duì)不同長(zhǎng)度下進(jìn)行線(xiàn)性擬合時(shí)每次計(jì)算所用數(shù)據(jù)對(duì)的個(gè)數(shù)(叉號(hào))。每次計(jì)算都從最小黑子數(shù)開(kāi)始，橫坐標(biāo)表示的是每次計(jì)算截止的黑子數(shù)

圖8　在不同黑子數(shù)與黑子面積數(shù)據(jù)對(duì)長(zhǎng)度下的線(xiàn)性擬合結(jié)果(叉號(hào))：截距(上框圖)，斜率(中間框圖)，以及擬合的相關(guān)系數(shù)(下框圖)。橫坐標(biāo)表示開(kāi)始時(shí)的黑子數(shù)，每次計(jì)算所用黑子數(shù)都截止到最大值

1.4黑子數(shù)與黑子面積的比例隨活動(dòng)周變化的關(guān)系

數(shù)據(jù)完整涵蓋了12～23太陽(yáng)活動(dòng)周。對(duì)12個(gè)活動(dòng)周的每個(gè)周，分上升期、下降期和完整周3種情況進(jìn)行黑子數(shù)與黑子面積數(shù)的線(xiàn)性擬合，所得擬合參數(shù)(截距與斜率)和擬合相關(guān)系數(shù)如圖10。由圖知，截距對(duì)斜率偏離比例值的影響較小。每個(gè)周的上升期和下降期確定的二者間的比例(斜率)有微小差別，不同活動(dòng)周確定的比例有小的差別。對(duì)各個(gè)活動(dòng)周確定的比例(slope)隨活動(dòng)周變化(cyc)

的關(guān)系進(jìn)行線(xiàn)性擬合，得到相關(guān)系數(shù)為0.518，在92%置信水平有意義，slope=20.919-0.201cyc，因此比例有隨活動(dòng)周減小的趨勢(shì)。對(duì)各個(gè)周確定的3種比例(斜率)分別與各個(gè)周的極大黑子數(shù)和周長(zhǎng)進(jìn)行相關(guān)分析， 發(fā)現(xiàn)它們并不關(guān)聯(lián)。

2結(jié)論與討論

本文利用1874年5月-2015年3月期間皇家格林威治天文臺(tái)/美國(guó)空軍提供的每月黑子面積數(shù)和太陽(yáng)影響數(shù)據(jù)分析中心提供的國(guó)際黑子數(shù)數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)研究二者比例的變化。二者的分布概率整體上很相似，但還是有區(qū)別的，黑子面積的分布概率隨黑子面積的增大而下降得更激烈。分布概率的不同將導(dǎo)致二者間出現(xiàn)非線(xiàn)性。二次項(xiàng)擬合表明二者間的確是非線(xiàn)性的，且非線(xiàn)性在活動(dòng)極大期間更明顯。在活動(dòng)極大時(shí)期，二項(xiàng)擬合值大于對(duì)應(yīng)的線(xiàn)性擬合值，表明黑子的平均尺度在此期間比其他時(shí)間更大。

圖9　在黑子數(shù)與黑子面積數(shù)據(jù)對(duì)不同長(zhǎng)度下進(jìn)行線(xiàn)性擬合時(shí)每次計(jì)算所用數(shù)據(jù)對(duì)的個(gè)數(shù)(叉號(hào))。橫坐標(biāo)表示開(kāi)始時(shí)的黑子數(shù)，每次計(jì)算所用黑子數(shù)都截止到最大值

圖10　利用活動(dòng)周上升期(叉號(hào)和實(shí)線(xiàn))、下降期(虛線(xiàn)和加號(hào))和整個(gè)周(點(diǎn)線(xiàn)和圓圈)數(shù)據(jù)3種情況下進(jìn)行黑子數(shù)與黑子面積數(shù)的線(xiàn)性擬合，所得擬合線(xiàn)的截距(上框圖)、斜率(中間框圖)和擬合相關(guān)系數(shù)(下框圖)

對(duì)黑子數(shù)不同長(zhǎng)度的數(shù)據(jù)與黑子面積進(jìn)行比對(duì)，研究二者間的關(guān)系在活動(dòng)周的不同時(shí)刻的變化。黑子數(shù)與黑子面積的比例在活動(dòng)周極小時(shí)期約為10.2，在極大時(shí)期約為21.8，長(zhǎng)期看，約為16.8。比例在黑子數(shù)小時(shí)波動(dòng)的幅度比在極大時(shí)期小。每個(gè)周的上升期和下降期確定的比例有微小差別，不同活動(dòng)周確定的比例有小的差別。比例值隨太陽(yáng)周的變化并不與各個(gè)周極大值和周長(zhǎng)隨太陽(yáng)周的變化相關(guān)聯(lián)。二者間的比例有減小的趨勢(shì)。

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A Statistical Study on Sunspot Area Varying with Sunspot Number

Feng Wen1,2, Xie Jinglan3,4,5, Li Kejun3,4

(1. Research Center of Analysis and Test, Kunming University of Science and Technology, Kunming 650093, China;2. Key Laboratory of Modern Astronomy and Astrophysics (Nanjing University), Ministry of Education, Nanjing 210093, China;3. Yunnan Observatories, Chinese Academy of Sciences, Kunming 650011, China; 4. Key Laboratory of Solar Activity, National Astronomical Observatories, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100012, China, Email: lkj@ynao.ac.cn; 5. University of Chinese Academy of Sciences, Beijing 100049, China)

Abstract:Statistical relation of sunspot area varying with sunspot number has been investigated through analyzing sunspot area and sunspot number with data acquired from May 1874 to March 2015. The obtained results are: (1) in general, distribution probabilities of both sunspot number and sunspot area are similar to each other; they decrease along with the increase of value; but the probability of sunspot area decreases more obviously, which implies that a non-linear relation between the two exists; (2) the non-linear relation is more clear during the solar maximum; (3) the ratio of sunspot area to sunspot number is about 10.2 during the solar minimum, 21.8 during the solar maximum, and 16.7 on long-term basis; (4) the ratio of every ascent phase is slightly different from that of the descent phase, and the determined ratios of different solar cycles are different from one another, displaying little relation to both the maximum amplitudes of cycles and cycles lengths; and (5) the ratios tend to decrease with increasing cycle number.

Key words:Solar activity; Sunspot number; Sunspot area; Correlation analysis

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金 (11273057, 11221063)；國(guó)家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃 (2012CB957801, 2011CB811406)以及現(xiàn)代天文與天體物理教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開(kāi)放基金課題資助項(xiàng)目.

收稿日期：2015-05-14；

修訂日期：2015-06-14

作者簡(jiǎn)介：馮雯，女，工程師. 研究方向：日地關(guān)系物理. Email: fengwen69@sina.cn 通訊作者：李可軍，男，研究員. 研究方向：日地關(guān)系物理. Email: lkj@ynao.ac.cn

中圖分類(lèi)號(hào)：P182

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào):1672-7673(2016)02-0153-07

CN 53-1189/PISSN 1672-7673