立體幾何中的展開翻折問題探究

魏成年

(甘肅省武威市第六中學(xué),733000)

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○數(shù)學(xué)探究○

立體幾何中的展開翻折問題探究

魏成年

(甘肅省武威市第六中學(xué),733000)

立體幾何中的最值問題常常需要將幾何體或旋轉(zhuǎn)體展開成平面圖形(空間問題平面化),利用平面幾何的知識來解決.或者將平面圖形折疊成立體圖形,求解立體圖形中的空間角、證明位置關(guān)系問題等.這類問題是考查學(xué)生空間想象能力與邏輯思維能力的好題,也是高考的熱點. 對于這類問題,要結(jié)合多面體或旋轉(zhuǎn)體的定義和結(jié)構(gòu)特征,發(fā)揮自己的空間想象能力,必要時還可制作平面展開圖進(jìn)行操作實踐.在數(shù)學(xué)教學(xué)中要多渠道、多層次通過變式拓展,操作實踐,引導(dǎo)培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成觀察、操作、探索、合情推理的習(xí)慣,形成穩(wěn)定的空間想象能力.現(xiàn)舉例如下.

一、展開圖中求“最短”

一般地,多面體或旋轉(zhuǎn)體繞側(cè)面或表面最短距離的問題,除球體外,基本都是通過展開圖來解決,關(guān)鍵是找準(zhǔn)剪開的線,準(zhǔn)確用展開圖中的某條線段來表示這個最短距離.另外，這里所謂最短距離,實質(zhì)是沿多面體或旋轉(zhuǎn)體側(cè)(表)面的最短路徑.解題的一般思路是沿著它的某條棱或母線剪開成平面圖形,借助這些幾何體的展開圖，利用“兩點之間線段最短”的公理來求解、討論.

對于此類問題,我們在教學(xué)中可以一道例題(如下面的例1)為“母題”,進(jìn)行變式、拓展,形成問題鏈.通過對問題鏈的解決,使學(xué)生對多面體或旋轉(zhuǎn)體中的最短距離有一個更深的理解,使每個學(xué)生的空間思維得到升華,空間想象能力得到提高.

思路分析解決這類問題的方法就是先把多面體側(cè)面展開成平面圖形,再用平面幾何的知識來求解.本題中沿點A、P所在側(cè)棱剪開展平,再利用平面幾何知識或解三角形知識求解.

在本例的教學(xué)中,如果平鋪直敘地給出展開圖,學(xué)生很難留下深刻的印象.為了增加學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣,培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的探究精神,老師可以帶領(lǐng)學(xué)生創(chuàng)設(shè)情境(如求一只螞蟻在三棱錐表面爬行一周又回到出發(fā)點的最短距離),從創(chuàng)設(shè)的問題出發(fā),動手探索,使學(xué)生對最短距離問題有更深的理解、記憶,從而達(dá)到良好的教學(xué)效果

變式1(棱柱上沿側(cè)面行程的距離最短問題)在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱AA1垂直于底面,且側(cè)棱AA1=5,底面ABC是邊長為2的正三角形,求從點A出發(fā)沿三棱柱表面繞兩周到達(dá)點A1的最短距離.

思路分析有了例1的探究、分析、解答,學(xué)生容易將三棱柱沿AA1展開,可利用勾股定理易得從點A出發(fā)沿三棱柱表面繞兩周到達(dá)點A1的最短距離為13.

變式2如圖3,長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=a,BC=b,BB1=c,并且a>b>c>0，求沿著長方體的表面自A到C1的最短線路的長.

思路分析在長方體的展開圖中,沿著不同的棱展開會得到不同的結(jié)論,因此,對于這類問題,需分類展開分類討論.

解將長方體相鄰兩個面展開有三種可能,如圖4,三個圖形(1)(2)(3)中，AC1的長分別為:

∵a>b>c>0，

∴ab>ac>bc>0.

思路分析圓錐上沿側(cè)面行程的距離最短問題與棱錐上沿側(cè)面行程的距離最短問題是相似的,類比棱錐中求展開圖的兩點間的距離,在圓錐中便是求側(cè)面展開圖中扇形的圓心角所對的弦長,利用平面幾何知識可輕松得解.

變式4圓柱的軸截面是邊長為5 cm的正方形ABCD,圓柱側(cè)面上從A到C的最短距離是多少?

思路分析展開圓柱的側(cè)面,其側(cè)面為矩形,則在側(cè)面上從A到C的最短距離就是對角線AC的長.

通過上面的變式探究,學(xué)生對于多面體或旋轉(zhuǎn)體中繞側(cè)面或表面最短距離的問題就不會陌生,思路一旦打開,一種柳暗花明的感覺就油然而生.

二、翻折問題找“不變”

解決翻折問題在于畫好翻折前后的圖形,尋找折痕以及與折痕相關(guān)的量,分清各元素在翻折前后的“變”與“不變”.一般情況下,在折線同側(cè)的量,折疊前后不變,“跨過”折線的量,折疊前后可能會發(fā)生變化，這是解決這類問題的關(guān)鍵. 另外,在解題時還要仔細(xì)審視從平面圖形到立體圖形的幾何特征的變化情況,注意相應(yīng)的點、直線、平面間的位置關(guān)系,線段的長度、角度的變化情況.

例2如圖7所示,在Rt?ABC中,∠C=90°,D,E分別為AC,AB的中點,點F為線段CD上的一點,將?ADE沿DE折起到?A1DE的位置,使A1F⊥CD.

(1)求證:DE∥平面A1CB;

(2)求證:A1F⊥BE;

(3)線段A1B上是否存在點Q,使A1C⊥平面DEQ? 請說明理由.

思路分析在本題的折疊前后有,平行不變量DE∥BC;垂直不變量DE⊥A1D，DE⊥CD,DC⊥BC;長度不變量AD=A1D=DC,弄清了這些不變的量,解答題目就不會感到困難.

解(1)證明:因為D,E分別為AC,AB的中點,所以DE∥BC.

由平行不變量DE∥BC，

又DE?面A1CB,所以DE∥平面A1CB.

(2)證明:由垂直不變量DE⊥A1D、DE⊥CD,且AD∩CD=D,所以DE⊥面A1DC,

而A1F?面A1DC,所以DE⊥A1F.

又因為A1F⊥CD,所以A1F⊥面BCDE,所以A1F⊥BE.

(3) 線段A1B上存在點Q,使A1C⊥面DEQ.

理由如下:

如圖8所示,分別取A1C、A1B的中點P、Q,連結(jié)DP,PQ,QE,則PQ∥BC.

又由平行不變量DE∥BC,

所以DE∥PQ,所以平面DEQ即為平面DEP.

由(2)知,DE⊥面A1DC,所以DE⊥A1C.

由長度不變量AD=A1D=DC,所以P是等腰?DA1C的底邊A1C的中點,所以A1C⊥DP,所以A1C⊥平面DEQ.

故線段A1B上存在點Q,且Q為A1B的中點時,使得A1C⊥面DEQ.

在數(shù)學(xué)教學(xué)中,老師的責(zé)任就是引導(dǎo),引導(dǎo)學(xué)生對折疊前后圖形的元素進(jìn)行分析,分清不變量與變量,深刻理解折疊前后圖形中元素不變的原因,提高學(xué)生的空間想象能力,力爭使學(xué)生對空間圖形的剖析認(rèn)識上升一個臺階.

總之,立體幾何中的這些問題,只要我們善于歸納、總結(jié),按照“直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證、度量計算”的思路,理清折疊、展開的相互聯(lián)系,立體幾何的學(xué)習(xí)就會成竹在胸、得心應(yīng)手.