拓展思維空間　激發(fā)創(chuàng)新意識(shí)

朱春強(qiáng)

(江蘇省宜興市第二高級(jí)中學(xué)，214204)

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拓展思維空間激發(fā)創(chuàng)新意識(shí)

朱春強(qiáng)

(江蘇省宜興市第二高級(jí)中學(xué)，214204)

創(chuàng)新是時(shí)代的要求,創(chuàng)新教育勢在必行.中學(xué)的創(chuàng)新教育,主要定位于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí).在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中,就是著力去開發(fā)學(xué)生的思維空間,讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中自主探究,發(fā)現(xiàn)問題,解決問題,有所創(chuàng)造．運(yùn)用多媒體輔助教學(xué)，利用《幾何畫板》軟件在解析幾何教學(xué)中的強(qiáng)大功能(能夠動(dòng)態(tài)地保持給定的幾何關(guān)系),可形象、生動(dòng)、直觀地讓學(xué)生感受數(shù)學(xué),從而培養(yǎng)和拓展學(xué)生的思維空間,激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)．

前不久，筆者利用多媒體輔助教學(xué),在校內(nèi)開設(shè)了一堂公開課.這里談一下筆者對(duì)“直線與圓關(guān)系”一課的教學(xué)認(rèn)識(shí),也算是對(duì)創(chuàng)新教育教學(xué)模式的一次嘗試．

一、教學(xué)目標(biāo)

(1)認(rèn)知目標(biāo):探討、判斷直線與圓位置關(guān)系的方法;熟悉掌握、運(yùn)用圓中半弦、弦心距、半徑之間的關(guān)系．

(2)能力目標(biāo):提高猜想,合理推理能力．培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問題、提出問題,并用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力．

(3)情感目標(biāo):通過對(duì)問題的探究,利用多媒體的優(yōu)越性,直觀、動(dòng)態(tài)地感受,研究幾何圖形,感悟數(shù)學(xué)美．

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

強(qiáng)化發(fā)現(xiàn)問題、認(rèn)識(shí)問題的意識(shí),感受、認(rèn)識(shí)、理解幾何圖形的位置關(guān)系,通過直觀發(fā)現(xiàn),感受數(shù)學(xué)的內(nèi)在美．

三、教學(xué)方法

利用多媒體輔助教學(xué)手段，充分發(fā)揮幾何畫板在解析幾何教學(xué)中的強(qiáng)大功能及Powerpoint動(dòng)畫設(shè)計(jì)功能.

四、教學(xué)過程

1.復(fù)習(xí)

(1)判斷直線與圓位置關(guān)系的方法:

(i)圓心到直線的距離d與圓半徑r的關(guān)系；

(ii)直線與圓的方程聯(lián)立,通過判別式Δ(相離:d>r? Δ< 0,相切:d=r?Δ=0, 相交d0).

(2)圓中半弦m,弦心距d,半徑r之間的關(guān)系:m2+d2=r2.

(學(xué)生在初中對(duì)以上問題較熟悉,結(jié)論易得)

2.通過一題多變訓(xùn)練學(xué)生思維的變通性

設(shè)計(jì)變題

(1)距離為1的點(diǎn)有幾個(gè)?

(2)距離為2的點(diǎn)有幾個(gè)?

(4)距離為5的點(diǎn)有幾個(gè)?

(用同樣的分析方法,直觀發(fā)現(xiàn)答案分別為4,2,1,0個(gè))

通過例1,讓學(xué)生直觀感受幾何圖形,總結(jié)結(jié)論(學(xué)生總結(jié)).

點(diǎn)的個(gè)數(shù)與直線l垂直的圓的直徑兩端點(diǎn)到直線l的距離有關(guān)．

設(shè)計(jì)意圖改變題設(shè)中的距離數(shù)值,發(fā)現(xiàn)問題規(guī)律．利用PowerPoint動(dòng)畫設(shè)計(jì)功能,直觀、明顯地得出結(jié)論.學(xué)生通過觀察,可以很快得到結(jié)論,培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的能力.

例2已知圓x2+y2=1,當(dāng)k為何值時(shí)，直線l：y=k(x-2)+3與圓有兩個(gè)交點(diǎn)、一個(gè)交點(diǎn)、沒有交點(diǎn)?

分析考察圖1，直線l是含參數(shù)k(扮演角色是直線的斜率)過點(diǎn)P(2,3)的直線系．與圓的位置關(guān)系可用《幾何畫板》軟件的動(dòng)畫讓直線l運(yùn)動(dòng)起來,通過觀察,找到直線l與圓相交時(shí)的臨界位置(無交點(diǎn)?有一個(gè)交點(diǎn)? 有兩個(gè)交點(diǎn)? 有一個(gè)交點(diǎn)?沒有交點(diǎn))，經(jīng)過這樣一個(gè)過程,容易得到相切時(shí)直線斜率k的值是臨界位置的k值，從而易得結(jié)論．

變題1 (考察圖2)，m為何值時(shí)，直線l:x+y-m=0與圓x2+y2=1有兩個(gè)交點(diǎn)、一個(gè)交點(diǎn)、沒有交點(diǎn)?

設(shè)計(jì)意圖變題1是改變直線l的方程,引進(jìn)新的參數(shù)m(扮演的角色是直線l的縱截距)，通過探究直線與圓的位置關(guān)系找臨界位置,觀察直線l的縱截距的變化過程．

變題2改變曲線的方程(由圓變成半圓)觀察直線與曲線的位置關(guān)系及交點(diǎn)變化情況．

變題3改變曲線方程,再改變直線方程,觀察直線與曲線的位置關(guān)系及交點(diǎn)變化情況,研究直線l的縱截距的變化過程．通過改變題設(shè)條件更深入地理解問題的本質(zhì)．

解決直線與圓位置關(guān)系的問題關(guān)鍵在于利用數(shù)形結(jié)合找臨界位置，把握參數(shù)在直線中扮演的角色．通過改變題目的題設(shè)條件,消除同學(xué)對(duì)題目的神秘感,培養(yǎng)和鍛煉讓學(xué)生動(dòng)態(tài)地全面地認(rèn)真問題的本質(zhì).這樣做，有利于加強(qiáng)學(xué)生知識(shí)的橫向和縱向的知識(shí)的聯(lián)系，有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生探索問題的積極性,可使學(xué)生感到出題和解題的樂趣，感受數(shù)學(xué)的內(nèi)在美，提高學(xué)生的思維品質(zhì)．將題目改造過程有計(jì)劃地展示給學(xué)生，學(xué)生學(xué)習(xí)積極性,提高效果明顯,加之《幾何畫板》動(dòng)態(tài)地演示更加激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維．

3.通過一題多解,訓(xùn)練學(xué)生思維的多向性

例3已知圓C:(x-1)2+(y-2)2=16,直線l:mx+3y-4m-6=0.

(1) 證明:直線l與圓相交；

(2)求直線l被圓C截得的弦長最小(最大)時(shí),直線l的方程.

分析第(1)問學(xué)生易從直線與圓位置的位置關(guān)系d與r的關(guān)系判斷．證明直線l與圓相交,即d

第二種方法:直線l含參數(shù)m, 通過前面所學(xué)知識(shí)可知直線l必過定點(diǎn)P(4,2),可從另一方面著手,看點(diǎn)P與圓的位置關(guān)系(點(diǎn)P在圓內(nèi),過點(diǎn)P直線必與圓相交;點(diǎn)P在圓上,過點(diǎn)P的直線與圓可相交或相切;點(diǎn)P在圓外,過點(diǎn)P的直線與圓可以相交、相切或相離)從而由點(diǎn)P在圓內(nèi)進(jìn)行證明．

對(duì)于第(2)問，學(xué)生易從直線l動(dòng)態(tài)變化的過程中,直觀觀察出當(dāng)直線l與圓心C和點(diǎn)P的 連線CP垂直時(shí)(如圖5),弦AB最短;過圓心C時(shí),弦AB最長．圓的弦中直徑最長易解釋,而為什么當(dāng)l⊥CP時(shí)弦AB最短,不易說明．然而可利用幾何圖形——直角三角形中線段的大小關(guān)系證明垂徑定理,很容易說明問題．(利用幾何畫板的動(dòng)畫證明,簡單、直觀)

由點(diǎn)到線，再到面，引出如下的思考題:

當(dāng)直線l傾斜角為何值時(shí),直線l被圓C截得弦與圓心C構(gòu)成的三角形面積最大?

學(xué)生易從求三角形面積著手考慮問題．把AB當(dāng)作為底(如圖6),圓心C到直線l的距離作為高,求解三角形面積，這是最易想到的一般方法．

方法1設(shè)直線l的方程為y-2=k(x-4),則圓心到直線l的距離(如圖6)為

(到此，學(xué)生感到很棘手,對(duì)于一個(gè)二次函數(shù)求最值,是一個(gè)難點(diǎn))

這里通過分解、化難為易、分步處理:

=-9t2+2t+7

(到此學(xué)生認(rèn)為大功告成,回頭看解題,會(huì)發(fā)現(xiàn)設(shè)直線里l的方程是點(diǎn)斜式方程,點(diǎn)斜式有其局限性,不能表示斜率不存在的直線．)

縱觀上面3種方法,方法1解法最繁冗,但如果改變題設(shè),會(huì)發(fā)現(xiàn)若直l與圓心構(gòu)成三角形不能為直角三角形時(shí)，方法2,方法3就不再奏效了．因而方法2,方法3解決此問題要有前提條件，方法1是通法．

一題多解,讓學(xué)生從不同的角度去觀察思考數(shù)學(xué)問題,用學(xué)過的不同的知識(shí),達(dá)到解題的目的,這樣能夠訓(xùn)練學(xué)生思維的多向性,課堂上學(xué)生思維活躍,躍躍欲試.(一位同學(xué),竟聯(lián)想到補(bǔ)三角形為菱形,當(dāng)此菱形為正方形時(shí)面積最大)

五、教后反思

(1)利用多媒體教學(xué),方法與手段上都豐富了傳統(tǒng)教育教學(xué)模式．利用幾何畫板及powerpoint動(dòng)畫效果,增強(qiáng)了同學(xué)對(duì)幾何圖形的直觀認(rèn)識(shí)．學(xué)生很喜歡,學(xué)習(xí)情緒高漲,表現(xiàn)出極大的熱情和一定的創(chuàng)造力．

(2)幾何畫板在數(shù)學(xué)課堂上的運(yùn)用極大地發(fā)揮了這一教學(xué)軟件在解析幾何教學(xué)中的強(qiáng)大的直觀、動(dòng)態(tài)的功能，豐富了課堂氣氛,讓學(xué)生直觀感受到了數(shù)學(xué)的內(nèi)在美,豐富了課堂內(nèi)容，學(xué)生學(xué)習(xí)興趣有明顯的提高,課堂思維活躍．

(3)利用多媒體教學(xué)增加了學(xué)習(xí)的趣味性,課堂容量豐富了許多,講授內(nèi)容也多了許多．

然而如何讓多媒體教學(xué)與傳統(tǒng)教學(xué)合理的融為一體,是我們當(dāng)前創(chuàng)新教育時(shí)代要思考的一個(gè)很重要的問題．這就要求我們每位教師對(duì)《新課程標(biāo)準(zhǔn)》要有深刻理解,對(duì)新課程改革作出積極探索;對(duì)傳統(tǒng)教育學(xué)合理地批判與繼承.在實(shí)際教學(xué)中合理地設(shè)計(jì)教學(xué),設(shè)計(jì)教學(xué)中學(xué)生主體活動(dòng)的結(jié)構(gòu),為學(xué)生發(fā)展開拓有效的活動(dòng)空間．多使用一些需要學(xué)生創(chuàng)造性思考的教學(xué)方法,不斷培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí),為促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展創(chuàng)造條件．讓我們用創(chuàng)造性的教喚起學(xué)生創(chuàng)造的學(xué),用我們創(chuàng)造性的思維方法鑄起學(xué)生創(chuàng)造性的思維品質(zhì),讓教與學(xué)和諧地碰撞出創(chuàng)造的火花．