軌道車輛垂向振動(dòng)的Matlab建模與仿真教學(xué)研究

洪 磊 趙素芳 聶麗青南京工程學(xué)院汽車與軌道交通學(xué)院 江蘇南京 211167

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軌道車輛垂向振動(dòng)的Matlab建模與仿真教學(xué)研究

洪 磊 趙素芳 聶麗青
南京工程學(xué)院汽車與軌道交通學(xué)院 江蘇南京 211167

摘 要：在城市軌道車輛工程課程的教學(xué)中，城軌車輛垂向振動(dòng)問題的分析需建立并求解復(fù)雜的微分方程，給學(xué)生理解帶來較大困難，應(yīng)用Matlab的可視化仿真工具Simulink建立二系簧車輪荷重系統(tǒng)垂向振動(dòng)的仿真模型，在此基礎(chǔ)上對(duì)車體和轉(zhuǎn)向架的垂向自由振動(dòng)規(guī)律進(jìn)行了較詳細(xì)的仿真分析。結(jié)果表明，仿真結(jié)果與理論分析方法具有一致性，驗(yàn)證了Matlab仿真方法在城軌車輛垂向振動(dòng)教學(xué)中具有較好的應(yīng)用價(jià)值。

關(guān)鍵詞：軌道車輛；垂向振動(dòng)；Matlab/Simulink；二系簧；車輪荷重系統(tǒng)

隨著我國(guó)城市軌道交通的不斷興建，社會(huì)對(duì)城市軌道交通車輛專業(yè)人才的需求也在不斷增加。近年來，南京工程學(xué)院以培養(yǎng)高素質(zhì)工程技術(shù)應(yīng)用型人才為導(dǎo)向，在車輛工程學(xué)科下開設(shè)了城市軌道車輛專業(yè)，教學(xué)內(nèi)容緊密結(jié)合城市軌道車輛產(chǎn)業(yè)現(xiàn)狀，形成了具有一定特色的專業(yè)發(fā)展方向。城市軌道車輛工程課程是城市軌道車輛專業(yè)方向的一門專業(yè)必修課，開設(shè)于大三上學(xué)期，教學(xué)目標(biāo)是使學(xué)生掌握城市軌道車輛的基本特征、結(jié)構(gòu)原理和總體設(shè)計(jì)方法，為學(xué)生學(xué)習(xí)本專業(yè)后續(xù)課程打下基礎(chǔ)。由于該課程貼合實(shí)際，因而學(xué)生在學(xué)習(xí)中表現(xiàn)出濃厚的興趣。然而，學(xué)生普遍反映該課程中數(shù)學(xué)推導(dǎo)公式較多，而教材的分析過程過于抽象，理解困難，其中尤以城軌車輛垂向振動(dòng)分析一章為最。

城軌車輛的垂向振動(dòng)分析是城市軌道車輛工程課程教學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)[1]，然而城軌車輛垂向振動(dòng)問題的分析需建立并求解復(fù)雜的微分方程，給教學(xué)帶來了諸多不便。教學(xué)中涉及微分方程的解算，不僅枯燥且耗費(fèi)大量的時(shí)間，其結(jié)果的分析較為抽象，學(xué)生理解也比較困難，因此，形象直觀地進(jìn)行教學(xué)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，提高教學(xué)質(zhì)量，將計(jì)算機(jī)仿真技術(shù)引入教學(xué)中是一種比較理想的方法。以二系簧車輪荷重系統(tǒng)的垂向振動(dòng)規(guī)律為教學(xué)研究對(duì)象，應(yīng)用Matlab的可視化仿真工具Simulink建立二系簧車輪荷重系統(tǒng)的仿真模型，并且對(duì)仿真結(jié)果進(jìn)行分析，使學(xué)生更易于理解和掌握。

1 Matlab/Simulink簡(jiǎn)介

Matlab/Simulink是由美國(guó)Mathworks公司推出的基于框圖的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)建模與仿真平臺(tái)，Simulink是Matlab最重要的組件之一，它以Matlab的強(qiáng)大計(jì)算功能為基礎(chǔ)，以直觀的模塊框圖進(jìn)行仿真和計(jì)算[2]。Simulink提供了各種仿真工具，尤其是其內(nèi)容豐富的模塊庫(kù)，為復(fù)雜系統(tǒng)的構(gòu)造與仿真分析帶來了極大的便利。在Simulink環(huán)境下可利用基本模塊庫(kù)和數(shù)學(xué)模塊庫(kù)對(duì)城軌車輛振動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行仿真[3,4]，從而為振動(dòng)規(guī)律的教學(xué)和研究提供強(qiáng)有力的仿真環(huán)境。

2 二系簧車輪荷重系統(tǒng)的垂向振動(dòng)仿真

為了揭示城軌車輛垂向振動(dòng)的規(guī)律，可以將整個(gè)城軌車輛系統(tǒng)簡(jiǎn)化為由若干質(zhì)量和彈簧減振元件等組成、由無質(zhì)量的輪對(duì)(或車輪)支承著沿軌道運(yùn)行的振動(dòng)系統(tǒng)，即車輪荷重系統(tǒng)[1]。其中，只有2個(gè)質(zhì)量(車體和轉(zhuǎn)向架)和2個(gè)彈簧減振元件(一系彈簧和二系彈簧)構(gòu)成的振動(dòng)模型稱為二系簧車輪荷重系統(tǒng)，它的振動(dòng)形態(tài)能在很大程度上反映城軌車輛振動(dòng)的一般性規(guī)律。對(duì)二系簧問題的深入講解，既便于學(xué)生入門和理解，也為后續(xù)整個(gè)車輛系統(tǒng)振動(dòng)規(guī)律的教學(xué)奠定了基礎(chǔ)。

2.1 二系簧車輪荷重系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

軌道車輛二系簧車輪荷重系統(tǒng)垂向振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)模型如圖1所示，該模型用一個(gè)無質(zhì)量的輪對(duì)代表城軌車輛各輪對(duì)在軌道上的運(yùn)行特點(diǎn)，轉(zhuǎn)向架和車體各簡(jiǎn)化為一個(gè)質(zhì)量塊，轉(zhuǎn)向架和車體的總質(zhì)量分別為M1和M2。輪對(duì)與轉(zhuǎn)向架之間、轉(zhuǎn)向架與車體之間分別簡(jiǎn)化為一系彈簧和二系彈簧，一系與二系彈簧的剛度分別為k1和k2，本文著重討論轉(zhuǎn)向架與車體的固有振動(dòng)特性，故模型不考慮減振元件。

圖1 二系簧車輪荷重系統(tǒng)垂向動(dòng)力學(xué)模型

在圖1中，z1和z2分別表示轉(zhuǎn)向架和車體偏離各自平衡位置的位移，z1′′和z2′′分別為各自的運(yùn)動(dòng)加速度。根據(jù)牛頓第二定律，可以得到車體與轉(zhuǎn)向架的運(yùn)動(dòng)方程分別為：

由式(1)和(2)可得系統(tǒng)特征方程為：

對(duì)特征方程進(jìn)行求解，可以得到兩個(gè)特征解：

式中，w1和w2分別表示系統(tǒng)的低頻振動(dòng)頻率和高頻振動(dòng)的頻率。

設(shè)第1系彈簧的靜撓度為f1，第2系彈簧的靜撓度為f2，這兩系彈簧總的靜撓度為f。由于車體質(zhì)量M2遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于轉(zhuǎn)向架質(zhì)量M1，故可近似得到：

車體和轉(zhuǎn)向架在垂直方向上的沉浮自由振動(dòng)形式均是由低頻振動(dòng)、高頻振動(dòng)這兩種振動(dòng)形式所組成的，所以，它們的沉浮自由振動(dòng)也是由高低兩種不同的振動(dòng)頻率的振動(dòng)形式所疊加而成，有：

式中，A1,A2分別表示轉(zhuǎn)向架垂向自由振動(dòng)低頻振動(dòng)波和高頻振動(dòng)波的振幅；B1,B2分別表示車體垂向自由振動(dòng)低頻振動(dòng)波和高頻振動(dòng)波的振幅。

轉(zhuǎn)向架和車體之間的振幅比分別為A1/B1和A2/B2，兩者都是常數(shù)，是由系統(tǒng)原本參數(shù)來確定的，與系統(tǒng)振幅的絕對(duì)值沒有關(guān)系。

2.2 Simulink仿真模型

2.1節(jié)通過理論分析方法得出了軌道車輛二系簧車輪荷重系統(tǒng)垂向振動(dòng)的一般規(guī)律，給出了車體和轉(zhuǎn)向架運(yùn)動(dòng)方程、系統(tǒng)二階固有頻率、振動(dòng)形式和振幅比特性的理論描述。但上述分析涉及微積分和線性代數(shù)理論，解算過程復(fù)雜，特別是振幅比特性描述更為抽象，給學(xué)生的理解造成很大困難，為此，由系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程式(1)和(2)出發(fā),利用Matlab/ Simulink建立二系簧車輪荷重系統(tǒng)的垂向振動(dòng)的仿真模型，如圖2所示，示波器Scope1和2分別顯示轉(zhuǎn)向架和車體振動(dòng)位移波形，由此可直觀地對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)特性進(jìn)行分析。

圖2 二系簧車輪荷重系統(tǒng)垂向振動(dòng)Simulink仿真模型

2.3 參數(shù)設(shè)置與仿真分析

根據(jù)我國(guó)鐵路客車運(yùn)行的實(shí)際情況[5,6]，在圖2振動(dòng)仿真模型中，設(shè)置各項(xiàng)參數(shù)如下：轉(zhuǎn)向架質(zhì)量M1=4.5t ，車體質(zhì)量M2=45t，兩系彈簧總的靜撓度為f =170mm，取第2系彈簧懸掛和第1系彈簧懸掛兩者靜撓度的比值為f2/ f1=64/36，由此算得第一系彈簧和第二系彈簧的靜撓度分別為f1=61.2mm 、f2=108.8mm ，進(jìn)一步算得k1=7.935× 103N/ mm ，k2=4.057× 103N/ mm 。由公式(5)可算得系統(tǒng)的固有頻率分別為w1=7.59rad/s,w2=52.49rad/s。

將系統(tǒng)仿真的時(shí)間設(shè)為2s，仿真步長(zhǎng)設(shè)為0.02。設(shè)轉(zhuǎn)向架與車體初始速度和加速度均為0。并按如下三種方式設(shè)置位移初始條件，分別為：

(a)轉(zhuǎn)向架z1= 30 mm ，車體z2=? 1.5 mm ；

(b)轉(zhuǎn)向架z1= 20 mm ，車體z2=? 1 mm ；

(c)轉(zhuǎn)向架z1=? 10 mm ，車體z2= 0.5 mm 。

圖3 轉(zhuǎn)向架與車體三組仿真實(shí)驗(yàn)垂向振動(dòng)位移波形圖

三種初始條件下的轉(zhuǎn)向架與車體振動(dòng)波形圖如圖3所示，將上述波形對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)分別導(dǎo)入Matlab的cftool擬合工具箱進(jìn)行曲線擬合[7]，擬合曲線類型設(shè)為式(6)所示的正弦函數(shù)和形式，擬合方法采用默認(rèn)的Trust-Region算法[8]，由此可得到三組仿真實(shí)驗(yàn)的擬合結(jié)果，見表1。

根據(jù)表1的擬合結(jié)果，可以得出如下分析結(jié)論：

(1)轉(zhuǎn)向架和車體的振動(dòng)由低頻和高頻兩種振型組成，固有振動(dòng)頻率相同且不受初始條件影響，低頻頻率w1=7.557 rad/s，高頻頻率w2=52.77 rad/s，與理論計(jì)算結(jié)果基本相同。

(2)轉(zhuǎn)向架和車體之間的振幅比近似為常數(shù)，與系統(tǒng)振幅無關(guān)，三組實(shí)驗(yàn)的結(jié)果非常接近，求其均值可得本系統(tǒng)的低頻振幅比為0.6765，高頻振幅比為14.7876，與理論分析相符。

(3)由相位關(guān)系可見，低頻振動(dòng)時(shí)轉(zhuǎn)向架和車體的位移方向相同，高頻振動(dòng)時(shí)轉(zhuǎn)向架和車體的位移方向相反，且不隨初始條件而改變，這也與理論分析結(jié)果相一致。

3 結(jié)束語(yǔ)

在城市軌道車輛工程課程的教學(xué)過程中，為了深入講解車體和轉(zhuǎn)向架的垂向振動(dòng)分析問題，應(yīng)用Matlab/Simulink建立了二系簧車輪荷重系統(tǒng)的垂向振動(dòng)仿真模型，通過波形顯示和擬合分析，使學(xué)生直觀快捷地理解了軌道車輛二系簧系統(tǒng)的固有振動(dòng)規(guī)律。經(jīng)過教學(xué)實(shí)踐得出如下幾點(diǎn)體會(huì)：第一， Malab/ Simulink突破了微分方程推導(dǎo)和求解的困難，仿真框圖簡(jiǎn)單直觀，其結(jié)果與理論分析結(jié)論完全相符，提高了課程教學(xué)的生動(dòng)性，增強(qiáng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；第二，讓學(xué)生掌握了Matlab/Simulink仿真工具的使用，認(rèn)識(shí)到它在實(shí)際應(yīng)用中的作用，有利于舉一反三，進(jìn)一步應(yīng)用于課程其他內(nèi)容的分析；第三，專業(yè)知識(shí)和軟件技術(shù)的結(jié)合，很大程度上提高了教師和學(xué)生的綜合專業(yè)能力。綜上所述，Matlab/Simulink作為現(xiàn)代教育技術(shù)的一種手段具有較好的推廣價(jià)值。

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The Teaching Research on Matlab Modeling and Simulation of Vertical Vibration for Rail Vehicle

Hong Lei, Zhao Sufang, Nie Liqing
School of Automotive and Rail Transit, Nanjing Institute of Technology, Nanjing, 211167, China

Abstract:In the course of urban rail vehicle engineering teaching, it is needed to establish and resolve complex differential equation to analysis on urban rail vehicle vertical vibration, which brings much difficulties to students’ understanding, In this paper, it is used of Matlab and its visualization and simulation tools Simulink to establish the wheel load system simulation model with two series springs, and the vertical vibration rules of rail vehicle body and bogie are carried out on the basis of the detailed simulation analysis. The results show that the simulation waveforms are consistent with the results of the theoretical analysis method, verify that the Matlab simulation method has good application value on teaching of urban rail vehicle engineering.

Key words:rail vehicle; vertical vibration; Matlab/Simulink; two series springs; wheel load system

收稿日期：2015-10-23

作者簡(jiǎn)介：洪磊 ，博士，講師。

基金項(xiàng)目：南京工程學(xué)院科研基金項(xiàng)目“城市軌道車輛重要部件安全性分析與故障診斷”(編號(hào)：YKJ201333)。