一道高考題解法的源頭、反思與推廣

安徽省合肥市第一中學(xué)　　刁海寶　　(郵編：230601)安徽省靈璧中學(xué)　　　　　侯立剛　　(郵編：234200)

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一道高考題解法的源頭、反思與推廣

安徽省合肥市第一中學(xué)刁海寶(郵編：230601)安徽省靈璧中學(xué)侯立剛(郵編：234200)

1提出問題

2解法源頭

Q(a,b)=(y1-a-bx1)2+(y2-a-bx2)2+…+(yn-a-bxn)2=(a+bx1-y1)2+(a+bx2-y2)2+…+(a+bxn-yn)2

這就給出了解決此類問題的一種方法：配成兩個(gè)完全平方式的和再加上一個(gè)常數(shù)的形式.

3解法反思

評(píng)注對(duì)于x2、y2項(xiàng)系數(shù)相同的二元二次式，都可以通過這個(gè)代換消去乘積項(xiàng)xy,從而使問題簡化．

當(dāng)且僅當(dāng)x-1=0且y-2=0,即x0=1,y0=2時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)t=±1.

評(píng)注這種解法構(gòu)造空間向量基底，使向量b用基底表示，把問題轉(zhuǎn)化成求二元二次函數(shù)的最小值．

評(píng)注這種線性代換具有一般性，可用待定系數(shù)法消去乘積項(xiàng)．

4解法推廣

對(duì)于形如F(x,y)=ax2+bxy+cy2+dx+ey+f (a、b、c不同時(shí)為0)的二元二次函數(shù)的最值問題，在高等數(shù)學(xué)中已經(jīng)有完美的結(jié)論，而在中學(xué)階段，若用求偏導(dǎo)數(shù)的方法求這類函數(shù)的最值，學(xué)生是不能接受的．以下用初等數(shù)學(xué)的方法——換元、配方法予以推廣．

設(shè)x=t+my,則

F(x,y)=h(t,y)=a(t+my)2+b(t+my)y+cy2+d(t+my)+ey+f

=at2+(2ma+b)ty+(am2+bm+c)y2+dt+(md+e)y+f.令2ma+b=0.

(1)若a=0則b=0.此時(shí)h(t,y)=cy2+dt+(md+e)y+f,只有在c≠0且d=0的條件下才有最值；

當(dāng)且僅當(dāng)2ea-bd=0時(shí)，h(t,y)=at2+dt+f可以取得最值．

當(dāng)a>0時(shí)F(x,y)取得最小值，當(dāng)a<0時(shí)F(x,y)取得最大值．

若a>0且4ac-b2<0或者a<0且4ac-b2>0,則h(t,y)不存在最大值．

這樣便得到一個(gè)定理：

定理對(duì)于函數(shù)F(x,y)=ax2+bxy+cy2+dx+ey+f (a,b,c不同時(shí)為0)

(2)若a≠0,則(i)當(dāng)4ac-b2=0時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)2ea-bd=0時(shí)，對(duì)于滿足2ax-2amy+d=0每個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)(x,y)均可以使F(x,y)可以取得最值：當(dāng)a>0時(shí)F(x,y)取得最小值，當(dāng)a<0時(shí)F(x,y)取得最大值．

(ii)當(dāng)4ac-b2≠0時(shí)，

若a>0且4ac-b2<0或者a<0且4ac-b2>0,則F(x,y)不存在最值．

參考文獻(xiàn)

1薛金星.2015年全國及各省市高考試題全解·數(shù)學(xué)卷.西安：陜西人民教育出版社，2015

(收稿日期：2016-02-26)