復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的探究

安徽省靈璧中學(xué)　　王　躍　　(郵編：234200)

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復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的探究

安徽省靈璧中學(xué)王躍(郵編：234200)

摘要函數(shù)的零點(diǎn)是高中函數(shù)知識(shí)模塊中占有及其重要的地位. 復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷是高考的熱點(diǎn)、難點(diǎn).在分析解題思路、探究解題方法中發(fā)揮著重要作用，它把函數(shù)與方程緊密地聯(lián)系在一起，是函數(shù)的一個(gè)非常重要的特性.

關(guān)鍵詞復(fù)合函數(shù)；零點(diǎn)；方程

復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題是高考、模擬及調(diào)研考試中的熱點(diǎn)問(wèn)題之一.復(fù)合函數(shù)涉及內(nèi)外兩層函數(shù)是學(xué)生的一個(gè)難點(diǎn)，也是考查的重點(diǎn).考查方式多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，可以說(shuō)是小題中的大題，大多作為小題的把關(guān)、壓軸.這類(lèi)問(wèn)題往往涵蓋函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論、轉(zhuǎn)化與化歸四種數(shù)學(xué)思想，所以復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題具有關(guān)系復(fù)雜、綜合性強(qiáng)、難度大等特點(diǎn)，對(duì)考生的思維能力、運(yùn)算能力和應(yīng)變能力都有很高的要求.

1預(yù)備知識(shí)

一般地，對(duì)于函數(shù)y=f(x),我們把方程f(x)=0的實(shí)數(shù)根x叫做函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn).函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)=0的實(shí)數(shù)根，也就是函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即方程f(x)=0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn)?函數(shù)的圖象與x軸有交點(diǎn).

證明因?yàn)閤i是方程f(x)=0的根，所以f(xi)=0； 設(shè)l1、l2、…、lni為方程g(x)=xi的不同的實(shí)數(shù)根，所以g(l1)=g(l2)=…=g(lni)=xi,所以l1、l2、…、lni也為方程f[g(x)]=0不同的實(shí)數(shù)根，即l1、l2、…、lni為y=f[g(x)]的零點(diǎn).故函數(shù)y=f[g(x)]的零點(diǎn)共有(n1+n2…+nm)個(gè).

上面的兩個(gè)命題，為解決復(fù)合方程零點(diǎn)問(wèn)題提供方便.對(duì)于復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，只需研究外函數(shù)和內(nèi)函數(shù)的不同根的情況即可，也可以用上述命題討論復(fù)合函數(shù)中參數(shù)的范圍.下面通過(guò)運(yùn)用上述命題，來(lái)解決復(fù)合函數(shù)類(lèi)型的題目.

2典型解析

類(lèi)型一y=f[f(x)]型

例1設(shè)函數(shù)f(x)=x3-3x,h(x)=f[f(x)]-c,其中c∈[-2,2],試討論函數(shù)y=h(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

分析欲討論函數(shù)h(x)=f[f(x)]-c的零點(diǎn)，先考慮方程f(t)=c的不同實(shí)根ti(i∈N+),然后考慮方程f(x)=ti的根.

解令f(x)=t,考慮方程f(t)=c.

(1)當(dāng)c=-2時(shí)，方程f(t)=c有2個(gè)不相等的實(shí)根t1、t2(t1=-2,t2=1),方程f(x)=t1有2個(gè)不相等的實(shí)根，f(x)=t2有3個(gè)不相等的實(shí)根. 根據(jù)命題1，故函數(shù)y=h(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為5.

(2)當(dāng)c=2時(shí)，方程f(t)=c有2個(gè)不相等的實(shí)根t3、t4(t3=-1,t4=2),方程f(x)=t3有3個(gè)不相等的實(shí)根，f(x)=t4有2個(gè)不相等的實(shí)根. 根據(jù)命題1，故函數(shù)y=h(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為5.

(3)當(dāng)-2

綜上所述：(1)當(dāng)c=2或c=-2時(shí)，函數(shù)y=h(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)均為5；

(2)當(dāng)-2

方法歸納對(duì)于y=f[f(x)]型的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題的研究，令f(x)=t,先轉(zhuǎn)化為求f(t)=0的不同實(shí)數(shù)根ti(i∈N+),再求f(x)=ti(i∈N+)的根的情況即可.

類(lèi)型二y=f[g(x)]型

A.(2,8]B.(2,9]

C. (8,9]D. (8,9)

分析令x2+x=t,先討論f(t)=a不同的實(shí)根ti(i∈N+)情況，再研究x2+x=ti根.

解令x2+x=t.

方程x2+2x=t2無(wú)解，x2+2x=t3有2個(gè)不相等的實(shí)根.根據(jù)命題2，故f(x2+2x)=a有2個(gè)不相等的實(shí)根；

(4)當(dāng)a=8時(shí)，方程f(t)=a有3個(gè)不相等的實(shí)根t7、t8、t9(t7=-1,01).方程x2+2x=t7有1個(gè)實(shí)根，x2+2x=t8有2個(gè)不相等的實(shí)根,x2+2x=t9有2個(gè)不相等的實(shí)根. 根據(jù)命題2，故f(x2+2x)=a有5個(gè)不相等的實(shí)根；

(5)當(dāng)81)；方程x2+2x=t10有2個(gè)不相等的實(shí)根，x2+2x=t11有2個(gè)不相等的實(shí)根,x2+2x=t12有2個(gè)不相等的實(shí)根. 根據(jù)命題2，故f(x2+2x)=a有6個(gè)不相等的實(shí)根.

(6)當(dāng)a>9時(shí)，方程f(t)=a有2個(gè)不相等的實(shí)根t13、t14(01)方程x2+2x=t13有2個(gè)不相等的實(shí)根，x2+2x=t14有2個(gè)不相等的實(shí)根. 根據(jù)命題2，故f(x2+2x)=a有4個(gè)不相等的實(shí)根.

綜上所述：當(dāng)8

方法歸納對(duì)于y=f[g(x)]型的零點(diǎn)問(wèn)題的研究，令g(x)=t,先討論f(t)=0不同的實(shí)根ti(i∈N+)情況，再研究g(x)=ti根的情況即可.

方程與函數(shù)的理論是高中新教材中新增的知識(shí)點(diǎn)，從近幾年高考的趨勢(shì)來(lái)看，十分注重復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)的考查，它對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生多角度思考問(wèn)題，提高學(xué)生綜合能力有著非常重要的意義.

參考文獻(xiàn)

1肖桂中.高考函數(shù)考查的新亮點(diǎn)——零點(diǎn).數(shù)學(xué)通訊，2011(11、12)

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3鄧亞妮.淺談函數(shù)零點(diǎn)的求解與應(yīng)用.中學(xué)數(shù)學(xué)，2008(09)

4傅建紅.一類(lèi)悄然升溫的“嵌套函數(shù)”零點(diǎn)相關(guān)問(wèn)題例談.中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2013(12)

(收稿日期：2016-02-12)