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——記一節(jié)《組合數(shù)模型的應(yīng)用》復(fù)習(xí)課

福建省惠安第三中學(xué)　　江志杰　　(郵編：362100))

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著眼數(shù)學(xué)建模提升核心素養(yǎng)
——記一節(jié)《組合數(shù)模型的應(yīng)用》復(fù)習(xí)課

福建省惠安第三中學(xué)江志杰(郵編：362100))

《關(guān)于普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂》的專題報(bào)告中提出：中國(guó)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)培養(yǎng)好數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析六大核心素養(yǎng)．這個(gè)報(bào)告內(nèi)容新鮮深刻，昭示了高中數(shù)學(xué)課程進(jìn)一步改革的思想，也映射出整個(gè)高中課程改革的發(fā)展方向，有著極其重要的指導(dǎo)意義．在六大核心素養(yǎng)中數(shù)學(xué)建模強(qiáng)調(diào)應(yīng)用，目前仍然是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的短板，短板應(yīng)當(dāng)如何在日常教學(xué)中補(bǔ)齊落實(shí)呢？下面筆者以一節(jié)《組合數(shù)模型的應(yīng)用》復(fù)習(xí)課為例，談?wù)勅绾谓?gòu)合理恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型化解數(shù)學(xué)問(wèn)題：

【教學(xué)目標(biāo)】

1.初步學(xué)會(huì)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，熟練運(yùn)用組合數(shù)公式解決各種常見(jiàn)的計(jì)數(shù)問(wèn)題；

2.提升學(xué)生在變式探究、轉(zhuǎn)化化歸、分類整合以及類比遷移等方面的綜合能力．

3.培養(yǎng)學(xué)生在數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等方面的核心素養(yǎng)．

【教學(xué)重點(diǎn)】

構(gòu)建合理的數(shù)學(xué)模型解決各種常見(jiàn)的計(jì)數(shù)問(wèn)題．

【教學(xué)難點(diǎn)】

從紛繁復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題中提煉合理的數(shù)學(xué)模型．

【教學(xué)過(guò)程】

1復(fù)習(xí)引入

1.1組合數(shù)公式

1.2引例

設(shè)計(jì)意圖本題貌似排列問(wèn)題，實(shí)則運(yùn)用組合模型解決；因?yàn)橥N顏色球大小、形狀、質(zhì)地完全一樣，我們真正關(guān)心的是10個(gè)位置中哪6個(gè)位置放白球，剩下的4個(gè)位置自然放黑球．該題目的在于提醒學(xué)生對(duì)于排列組合知識(shí)切不可生搬硬套，同時(shí)也為解決接下來(lái)一系列計(jì)數(shù)問(wèn)題提供基礎(chǔ)模型或思維載體．

2研探拓展

設(shè)計(jì)意圖依題意，亮著的6盞燈相當(dāng)于6個(gè)白球，關(guān)滅的4盞燈相當(dāng)于4個(gè)黑球，故本題實(shí)乃“換湯不換藥”．

設(shè)計(jì)意圖按照題意注意到從點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)B必經(jīng)過(guò)6步“橫格線”和4步“縱格線”，因此問(wèn)題轉(zhuǎn)為10步中哪6步走“橫格線”(相當(dāng)于白球)，剩下4步走“縱格線”(相當(dāng)于黑球)的組合模型，再次從圖形的角度強(qiáng)調(diào)上述模型的廣泛應(yīng)用以及數(shù)學(xué)抽象概括能力．

設(shè)計(jì)意圖本題目的一方面在于展現(xiàn)“插空法”解決不相鄰問(wèn)題，另一方面更在于引導(dǎo)學(xué)生將眼光轉(zhuǎn)移到在6盞亮燈“空隔”的位置上放入4盞關(guān)滅的燈，即在位置之外的“位置(空隔)”建立組合模型．另外，若將6盞亮燈當(dāng)做6個(gè)相同的白球，4盞關(guān)滅的燈當(dāng)成4個(gè)隔板，于是問(wèn)題轉(zhuǎn)為：6個(gè)相同的白球放入5個(gè)不同盒子，每個(gè)盒子至少一個(gè)，共有多少種方法？

變式2-1關(guān)于a、b、c、d的方程a+b+c+d=10有______組不同的正整數(shù)解．

變式2-2關(guān)于a、b、c、d的方程a+b+c+d=10(其中a≥2,b≥3)有______組不同的正整數(shù)解．

設(shè)計(jì)意圖本題原型是：10個(gè)評(píng)優(yōu)名額分給a、b、c、d四個(gè)班級(jí)，要求a班至少2個(gè)，b班至少3個(gè)，c、d班各至少一個(gè)，問(wèn)共有多少種不同的分配方案？本題變式目的在于體現(xiàn)以基礎(chǔ)模型為“范本”，將“非標(biāo)準(zhǔn)”模型轉(zhuǎn)換為“標(biāo)準(zhǔn)”模型或熟知模型來(lái)解決．

做一做

變式2-3關(guān)于a、b、c、d的方程a+b+c+d=10有______組不同的非負(fù)整數(shù)解．

變式2-4從地面到觀望臺(tái)須登上10級(jí)臺(tái)階，若某人每登一步或1級(jí)或2級(jí)，則這個(gè)人有______種不同的登階方式．

設(shè)計(jì)意圖本題入手的經(jīng)典思路在于分類列舉，凸顯夯基固本、回歸常規(guī)路線建構(gòu)組合數(shù)模型．本題解法的關(guān)鍵在于先確定這個(gè)人共登多少步，其中有幾步放“1級(jí)”(相當(dāng)于黑球)，剩下幾步放“2級(jí)”(相當(dāng)于白球)．

解析設(shè)這個(gè)人有x步登1級(jí)，有y步登2級(jí)，則x+2y=10(其中x、y∈N)．

綜上，這個(gè)人有N=1+9+28+35+15+1=89(種)不同的登階方式．

設(shè)計(jì)意圖以此揭示經(jīng)典的組合模型往往巧妙地蘊(yùn)含在抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言背景中，要求學(xué)生在充分閱讀材料的基礎(chǔ)上，通過(guò)數(shù)學(xué)抽象概括為熟知的數(shù)學(xué)模型．本題解法的關(guān)鍵應(yīng)明確產(chǎn)生數(shù)列種數(shù)的來(lái)源在于前后項(xiàng)的“變化”，于是問(wèn)題的核心應(yīng)在于前后項(xiàng)的“變化”共有多少種？所以我們所研究的目標(biāo)位置就是7個(gè)前后項(xiàng)之差，也就是前后項(xiàng)7個(gè)“間隔”中有多少個(gè)放“+2”(相當(dāng)于黑球)，剩下幾個(gè)放“-2”(相當(dāng)于白球)，再次強(qiáng)調(diào)在數(shù)列項(xiàng)的位置之外的“位置(空隔)”構(gòu)建組合模型．

想一想若某位同學(xué)在某一周的第一天和第七天分別吃3個(gè)蘋(píng)果，且從這周第二天開(kāi)始，每天所吃的蘋(píng)果個(gè)數(shù)與前一天相比存在3種可能：或“多吃一個(gè)”或“持平”或“少吃一個(gè)”，則該位同學(xué)在這一周的每天所吃的蘋(píng)果數(shù)有______種不同的可能性．

綜上，該同學(xué)在這一周的每天所吃蘋(píng)果數(shù)的可能性有：______種．(答案：141)

設(shè)計(jì)意圖本題是上題的背景變式與延續(xù)應(yīng)用，它們一脈相承、前后呼應(yīng)，解法上因?yàn)橛猩项}作鋪墊，問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)還在于6個(gè)“蘋(píng)果數(shù)之差”(位置)，應(yīng)安排多少個(gè)位置放“+1”(相當(dāng)于黑球)，多少個(gè)位置放“-1”(相當(dāng)于白球)，剩下的位置放“0”(相當(dāng)于紅球)才能滿足題意(即保證a1=a7=3)．

3總結(jié)歸納

(1)紛繁復(fù)雜的計(jì)數(shù)問(wèn)題歸根結(jié)底在于尋找合理恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，從而簡(jiǎn)捷形象地化解；

(2)解決計(jì)數(shù)問(wèn)題的一大關(guān)鍵就是要搞清問(wèn)題的目標(biāo)位置在哪里，目標(biāo)元素到底是誰(shuí)？

(3)回顧上述一系列問(wèn)題的變式實(shí)質(zhì)上都在用同一種組合數(shù)模型來(lái)刻畫(huà)，強(qiáng)調(diào)“模型歸一、多題一法”，我們務(wù)必要將常規(guī)的經(jīng)典模型研究透徹，加強(qiáng)解題反思，尋找題目之間的共性所在，才能實(shí)現(xiàn)以點(diǎn)帶面、舉一反三的效果．

4結(jié)束語(yǔ)

(1)組合數(shù)模型應(yīng)用充分說(shuō)明：數(shù)學(xué)建模是聯(lián)系數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)應(yīng)用的橋梁，其能有效地將思維過(guò)程簡(jiǎn)約化、形象化．建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，是將錯(cuò)綜復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題簡(jiǎn)化、抽象為合理的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的過(guò)程，通過(guò)觀察和探索研究對(duì)象的固有特征和內(nèi)在規(guī)律，利用數(shù)學(xué)的知識(shí)和方法去分析并解決問(wèn)題．對(duì)數(shù)學(xué)模型的理解、把握和構(gòu)建的能力，在很大程度上反映著數(shù)學(xué)思維能力、數(shù)學(xué)意識(shí)及運(yùn)用數(shù)學(xué)的方式．這就需要我們須有深厚扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、敏銳的洞察力、想象力以及良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

(2)反思本節(jié)所探究的一系列問(wèn)題變式，其實(shí)都在倡導(dǎo)“模型歸一、一法多用”的理念，所謂“模型歸一”顧名思義就是將類似的數(shù)學(xué)問(wèn)題用同一模型來(lái)概括刻畫(huà)，將一個(gè)個(gè)紛繁復(fù)雜的題目轉(zhuǎn)換成我們熟悉的一個(gè)典型模型加以解決，凸顯出數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，達(dá)到“學(xué)一題會(huì)一類”之功效．可以說(shuō)，“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟”，一系列好的數(shù)學(xué)問(wèn)題往往就是提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的良好素材．

(收稿日期：2016-04-12)