使學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“巧練”中實(shí)現(xiàn)增效減負(fù)

安徽省合肥市包河區(qū)教研室　　汪洪潮　　(郵編：230001)

?

教學(xué)

使學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“巧練”中實(shí)現(xiàn)增效減負(fù)

安徽省合肥市包河區(qū)教研室汪洪潮(郵編：230001)

摘要“減負(fù)增效“是一項(xiàng)艱巨的任務(wù)，減輕學(xué)生過重的課業(yè)負(fù)擔(dān)是教師的職責(zé)之一.“減負(fù)”了不一定能“增效”，要實(shí)現(xiàn)“增效”的目的，教師在作業(yè)的設(shè)計(jì)時(shí)需要精雕細(xì)琢.“巧練”是指用盡可能少的作業(yè)量，實(shí)現(xiàn)盡可能高的“效率”.“巧練”要圍繞核心知識和基本思想方法，抓住問題的本質(zhì)和解決問題的方法，關(guān)注數(shù)學(xué)思維和能力的提升，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升.

關(guān)鍵詞減負(fù)增效；巧練；核心知識；數(shù)學(xué)能力；數(shù)學(xué)素養(yǎng)

自新課改以來，“減負(fù)增效”就一直是熱門話題，從中央到地方、從教師到學(xué)生都在喊“減負(fù)”.可是，現(xiàn)實(shí)效果卻不容樂觀，學(xué)生“負(fù)擔(dān)”不減反增，苦不堪言.曾有一次聽到一位優(yōu)秀的畢業(yè)班同學(xué)講述：“我度過了終身難忘的一個(gè)寒假，每天堅(jiān)持做老師布置的寒假作業(yè)達(dá)9小時(shí)，明天開學(xué)了，還沒做完”.她的話讓我心頭一震，“減負(fù)”真的是“理想很豐滿，現(xiàn)實(shí)很骨感嗎”？問題到底出現(xiàn)在哪里？我們的學(xué)生為什么會有那么多寫不完的作業(yè)？仔細(xì)一想，就會明白：“減負(fù)”是很好的倡議，但是作業(yè)少了，負(fù)擔(dān)輕了，怎樣保證考試成績呢？怎樣保證升學(xué)率呢？如果“減負(fù)”不能“增效”，誰還敢大膽“減負(fù)”？其實(shí)，如果“減負(fù)”單單是減量，效果肯定不行，要通過教學(xué)內(nèi)部結(jié)構(gòu)的變化、對教與學(xué)的重新認(rèn)識、對教學(xué)方式的轉(zhuǎn)變來減輕學(xué)生的負(fù)擔(dān)，而要實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)就必須先“增效”，才有可能實(shí)現(xiàn)“減負(fù)”.

合肥市中學(xué)數(shù)學(xué)教研室主持研究的課題《本真性數(shù)學(xué)課堂教學(xué)模式的實(shí)踐研究》，旨在過“深備”、“先學(xué)”、“精導(dǎo)”、“巧練”等四個(gè)環(huán)節(jié)的研究，探索總結(jié)出“回歸數(shù)學(xué)本真，打造高效課堂”的方法和經(jīng)驗(yàn).教師對課堂教學(xué)四個(gè)環(huán)節(jié)的有效實(shí)施，就是“提高效率”，只有教師先“增效”了，才有可能實(shí)現(xiàn)學(xué)生“減負(fù)”的目的，以下略談如何使學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中實(shí)施“巧練”達(dá)到增效減負(fù)的目的.

1“巧練”要立足主要知識和基本思想方法

“巧練”的重點(diǎn)是練，關(guān)鍵在于巧.一堂課的知識點(diǎn)可能很多，我們不能面面俱到，以“刷題”的方式眉毛胡子一把抓是不行的.應(yīng)該根據(jù)教學(xué)目標(biāo)，圍繞課堂的主要知識和基本思想方法設(shè)計(jì)問題，使學(xué)生通過若干有效的問題訓(xùn)練，達(dá)到既鞏固了主要知識，又領(lǐng)悟了思想方法，這樣的練習(xí)才是“巧練”.如，在學(xué)習(xí)了《三角形中的邊關(guān)系》后，設(shè)置如下問題就是比較合適：

案例1等腰三角形中，周長為18cm.(1)如果腰長是底邊的2倍，求各邊長；(2)如果一邊長為4cm，求另兩邊長.

本題的解決首先要用到本節(jié)的“三角形兩邊之和大于第三邊”的重點(diǎn)知識，其次又要用到“分類討論”思想，最后，還要滲透方程的思想，可謂“一箭三雕”.難度不大，但內(nèi)涵豐富，很有韻味，屬高質(zhì)量的問題.

相反，如果抓不住主要知識，糾結(jié)于細(xì)枝末節(jié)，設(shè)置大量有“陷阱”的問題，不僅會增加學(xué)生負(fù)擔(dān)，反而對知識的學(xué)習(xí)與鞏固不利.

案例2在學(xué)習(xí)二次函數(shù)定義后，為了鞏固二次函數(shù)的概念，有老師布置了如下問題：

(1)如果函數(shù)y=(m-1)xm2+2m-2是二次函數(shù)，則m的值是______；

(2)如果函數(shù)y=(m-2)x|m+1|-1+(m+4)x+1是二次函數(shù)，則m的值是______.

這兩題雖然鞏固了二次函數(shù)概念中自變量指數(shù)為2，二次項(xiàng)系數(shù)不為0的要求，但解答過程卻要用到解一元二次方程和絕對值方程等知識，既耗費(fèi)時(shí)間，又不能有效鞏固和檢測主要知識，故不可取.

2“巧練”要突出知識的本質(zhì)和解決問題的方法

同一節(jié)課知識點(diǎn)是有限的，但題目是無限的，如何引導(dǎo)學(xué)生從無邊無際的題海中跳出來，需要老師抓住知識的本質(zhì)和解決問題的方法，只有這樣才能“既見樹木又見森林”.

在一次《“一線三直角”模型的復(fù)習(xí)》課中，老師一方面收集關(guān)于“一線三直角”模型的有關(guān)中考題，讓學(xué)生仿著做、學(xué)著練，又布置如下問題讓學(xué)生解決，既沒有分析“一線三直角”模型試題的特點(diǎn)、也沒有對有關(guān)“一線三直角”模型題型的拓展，更沒有對“一線三直角”模型的解題方法予以總結(jié).

案例3如圖1，B、E、C在同一直線上，且∠B=∠C=∠AED=90°.

求證：△ABE∽△ECD.

“一線三直角”是兩三角形相似的常見模型，其關(guān)鍵是利用“∠1+∠2=90°和∠2+∠3=90°”得到“∠1=∠3”，但問題的本質(zhì)遠(yuǎn)不止于此.如圖2，將兩個(gè)等腰直角三角形如圖擺放，如圖3，將等邊三角形的一個(gè)角折疊，使頂點(diǎn)落在對邊上，這兩個(gè)圖中都蘊(yùn)含了兩三角形相似，其本質(zhì)和“一線三直角”類似，都是利用“∠1+∠2=180°-α”和“∠3+∠2=180°-α”來推出“∠1=∠3”的結(jié)論.

課堂復(fù)習(xí)不能就題講題，應(yīng)該抓住問題的本質(zhì)，將“一線三直角”模型進(jìn)一步變式和推廣.

將這種模型進(jìn)行如下變式，即等角在直線的兩側(cè)，如圖4和圖5，也可以得到相應(yīng)性質(zhì).

如果將“一線三直角”模型運(yùn)用到四邊形中，可以發(fā)現(xiàn)類似的性質(zhì).

如圖6，已知四邊形ABCD中，∠B=∠C，AE、DF分別是∠BAD與∠CDA的角平分線，那么可以得到結(jié)論：△ABE∽△FCD.進(jìn)一步，如圖7，如果E、F重合,那么還可以得到結(jié)論：(1)△ABE∽△ECD∽△AED；(2)BE=CE；(3)BE2=AB×CD.

教師只有深刻理解和掌握了問題的內(nèi)涵，才有可能引導(dǎo)學(xué)生掌握思考問題的方法，學(xué)會舉一反三，觸類旁通，達(dá)到解一道題而領(lǐng)悟解一類題的方法和思路.

3“巧練”要幫助學(xué)生將知識內(nèi)化，促進(jìn)能力的形成

課堂練習(xí)的目的是鞏固知識，訓(xùn)練思維，形成技能.增效減負(fù)是要求設(shè)置集鞏固知識、訓(xùn)練能力和掌握方法于一身的好問題，通過問題的訓(xùn)練，達(dá)到知識內(nèi)化，形成技能的效果.如學(xué)習(xí)《線段、射線和直線》后，若安排如下問題：

案例4 (1)如圖8，直線l上依次有A、C、D、B四點(diǎn)，則圖中線段共有幾條？

(2)某次會議有5個(gè)人參加，如果每個(gè)人都和其他人握一次手，那么一個(gè)人要握幾次手？一共握了多少次手？

問題(1)雖然簡單，解決的方法也不同，但老師在分析時(shí)，總結(jié)了兩種最基本的方法：其一是按線段上所含點(diǎn)的個(gè)數(shù)數(shù)，含有兩個(gè)點(diǎn)的線段有AC、CD、DB三條，含有三個(gè)點(diǎn)的線段有AD、CB兩條，含有四個(gè)點(diǎn)的線段有AB，總計(jì)共6條；其二是按線段的左端點(diǎn)依次數(shù)，左端點(diǎn)是點(diǎn)A的有AC、AD、AB三條，左端點(diǎn)是點(diǎn)C的有CD、CB兩條，左端點(diǎn)是點(diǎn)D的有DB，共計(jì)六條.雖然方法不同，但結(jié)果都一樣.重要的是，這樣按一定順序、有條理的“數(shù)法”，有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)所得結(jié)果的規(guī)律，進(jìn)而推廣到一般情況.把這樣看似簡單的問題講清、講透，為后續(xù)解決類似的“數(shù)角”、“數(shù)三角形”等問題提供經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)知識和方法的遷移，逐步發(fā)展成解決問題的技能.

問題(2)是參會人員握手次數(shù)的問題，老師將人抽象成平面內(nèi)的點(diǎn)，將實(shí)際生活中的故事抽象成數(shù)學(xué)問題，將“握手問題”巧妙的轉(zhuǎn)化為“數(shù)線段問題”，有效地將問題(1)中的“數(shù)線段”的思維方法應(yīng)用于類似其他問題中，促進(jìn)學(xué)生解決問題能力的提升.

在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，往往有學(xué)生這樣說，老師講的都聽得懂，自己做時(shí)就不會了.這種現(xiàn)象在幾何證明中常常出現(xiàn)，比如一旦告訴了輔助線的添法，很多學(xué)生就會證明了.這種“不會添輔助線”的現(xiàn)象折射出學(xué)生沒有真正學(xué)會思考、學(xué)會解題.南京師范大學(xué)涂榮豹教授在《解題教學(xué)與學(xué)習(xí)》的報(bào)告中指出，解題教學(xué)教師要“想給學(xué)生看”、“想給學(xué)生聽”.要引導(dǎo)學(xué)生感悟“解法的自然”呈現(xiàn).如下列問題：

案例5已知：如圖9，△ABC中，D、E分別是邊AB、AC上的點(diǎn)，且AD=AE,DE的延長線交BC延長線于點(diǎn)F,若BC∶CF=2∶3，求BD∶CE的值.

本題證明時(shí)，很多學(xué)生就是不知道如何添加輔助線，圖中有很多點(diǎn)，從哪一點(diǎn)作平行線？為什么是這樣？是如何想到的？為什么從點(diǎn)C作平行線比從點(diǎn)E做平行線好？這些問題都是需要認(rèn)真考慮的.

其實(shí)，輔助線是溝通已知條件和求證結(jié)論的橋梁，教師在學(xué)生練習(xí)后要對此進(jìn)行分析和總結(jié)，指出添加輔助線的規(guī)律，并安排一些與之相關(guān)的問題，幫助學(xué)生形成解決此類問題的能力：

1.已知：如圖10，△ABC中，D是邊BC的中點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn),BE的延長線交AC于點(diǎn)F,求AF∶FC的值.

2.已知：如圖11，△ABC中，D、E分別是邊BC、AB上的兩點(diǎn)，AD、CE交于點(diǎn)F,且BD∶DC=1∶2，BE∶AE=2∶3，求AF∶FD的值.

4“巧練”要著眼學(xué)生的發(fā)展，促進(jìn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升.

數(shù)學(xué)教育不是“畢其功于一役”的教育，應(yīng)該是“風(fēng)物長宜放眼量”的教育，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要著眼于學(xué)生的終身發(fā)展，要致力于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升.要實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，就應(yīng)該抓住核心概念組織教學(xué)，練習(xí)中就要圍繞這些核心概念編制問題，將核心概念融入到學(xué)生對新知識的理解、運(yùn)用之中.如在學(xué)習(xí)了《等腰三角形》一課后，老師安排了如下練習(xí).

案例6如圖12，在ABC中，AB=AC.

(1)∵AD⊥BD，∴∠____=∠____；____=____.

(等腰三角形底邊上的高與____、____重合).

(2)∵AD是中線，∴____⊥____；∠____=∠____.

(等腰三角形底邊上的中線與____、____重合).

(3)∵AD是角平分線，∴____⊥____；____=____.

(等腰三角形頂角的平分線與____、____重合).

這組題的目的是復(fù)習(xí)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，同時(shí)對數(shù)學(xué)中的“文字語言”、“圖形語言”和“符號語言”的相互轉(zhuǎn)化進(jìn)行訓(xùn)練，通過填空，有效的訓(xùn)練學(xué)生用“數(shù)學(xué)符號”來表示數(shù)學(xué)的邏輯推理能力，可謂“舉重若輕”.又如學(xué)習(xí)《用字母表示數(shù)》之后，布置如下問題：

案例7 (1)用計(jì)算器計(jì)算12×18，25×25，37×33，41×49,56×54,63×67，…，并探索規(guī)律，嘗試再寫出兩個(gè)式子.

(2)用含字母的代數(shù)式表示運(yùn)算規(guī)律，并說明規(guī)律的正確性.

問題(1)的目的是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會觀察，學(xué)會思考，逐步培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問題的能力.通過觀察、計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)，這幾個(gè)兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算式中，十位數(shù)字相等，個(gè)位數(shù)字之和為10，積是三位或四位數(shù)，積的后兩位恰好是因數(shù)個(gè)

位數(shù)字之積，前面一位或兩位等于因數(shù)十位數(shù)字乘以比它大1的數(shù)的積.問題(2)是用數(shù)學(xué)符號語言表述發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，其目的是培養(yǎng)學(xué)生提出問的能力.設(shè)一個(gè)因數(shù)的十位數(shù)字是a，個(gè)位數(shù)字是b，則以上規(guī)律可表示為：

(10a+b)[10a+(10-b)]=100a(a+1)+ab.

如果發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并提出了問題，那么分析和解決它就比較容易了.這種發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力是我們要致力培養(yǎng)的“四種能力”，它們是學(xué)生終身發(fā)展所需要的重要素養(yǎng).我們只有在日常的教學(xué)活動中精心準(zhǔn)備，巧妙設(shè)計(jì)，有效點(diǎn)撥，才有可能使學(xué)生在潛移默化的學(xué)習(xí)活動中發(fā)展和提升自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

“巧練”離不開“深備”，也離不開“先學(xué)”和“精導(dǎo)”，要達(dá)到“增效減負(fù)”的目的，教師必須充分把握教學(xué)內(nèi)容的內(nèi)涵，對準(zhǔn)教學(xué)重難點(diǎn)，深刻理解教學(xué)內(nèi)容所蘊(yùn)含的思想方法，巧妙設(shè)置具有典型性、代表性的問題，讓學(xué)生通過有效訓(xùn)練，達(dá)到“解一題，通一類，會一片”的效果.

參考文獻(xiàn)

1史寧中.基本概念與運(yùn)算法則——小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的核心問題.北京：高等教育出版社，2013

2中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版).北京：北京師范大學(xué)出版社，2012

基金項(xiàng)目:安徽省教育規(guī)劃課題一本真性數(shù)學(xué)課堂教學(xué)模式的實(shí)踐研究(課題編號：JG13236).

(收稿日期：2016-02-24)

參考