實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的四個(gè)關(guān)鍵問題

山東曲阜師范大學(xué)　　木　玉　　史可富　　(郵編：273165)

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聚焦

實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的四個(gè)關(guān)鍵問題

山東曲阜師范大學(xué)木玉史可富(郵編：273165)

摘要《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》提出的課程目標(biāo)是學(xué)生通過九年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)達(dá)到的要求.這個(gè)目標(biāo)可分為“知識(shí)技能”、“數(shù)學(xué)思考”、“問題解決”和“情感態(tài)度”四個(gè)方面.實(shí)現(xiàn)課程目標(biāo)是一個(gè)系統(tǒng)工程，有許多問題亟待解決.讓學(xué)生參與數(shù)學(xué)活動(dòng)是獲得數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的根本途徑；培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考能力是數(shù)學(xué)教學(xué)中非常有價(jià)值的行為；加強(qiáng)推理能力訓(xùn)練對(duì)于形成學(xué)生的數(shù)學(xué)思考至關(guān)重要；通過問題解決可有效的培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力；學(xué)生的情感態(tài)度直接影響其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率.

關(guān)鍵詞數(shù)學(xué)課程目標(biāo)；數(shù)學(xué)思考；問題解決；情感態(tài)度

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》(以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)(2011年版)》)對(duì)數(shù)學(xué)課程的“總目標(biāo)”是這樣表述的：

通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能：

(1)獲得適應(yīng)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)；

(2)體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考，增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力；

(3)了解數(shù)學(xué)的價(jià)值，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，具有初步的創(chuàng)新意識(shí)和科學(xué)態(tài)度.

對(duì)于上述總目標(biāo)，《課標(biāo)(2011年版)》又從“知識(shí)技能、數(shù)學(xué)思考、問題解決、情感態(tài)度”四個(gè)方面進(jìn)行了具體的闡述.這些目標(biāo)是學(xué)生受到良好數(shù)學(xué)教育的標(biāo)志，對(duì)學(xué)生的全面、持續(xù)、和諧發(fā)展有著重要的意義.如何實(shí)現(xiàn)這些目標(biāo)是一個(gè)系統(tǒng)的工程，需要解決的問題很多.筆者經(jīng)過認(rèn)真思考和篩選，認(rèn)為解決好以下四個(gè)問題對(duì)于全面實(shí)施課程目標(biāo)具有重要的實(shí)踐價(jià)值.

1引導(dǎo)學(xué)生在過程中獲得“四基”

數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分，數(shù)學(xué)素養(yǎng)是現(xiàn)代社會(huì)每一個(gè)公民應(yīng)該具備的基本素養(yǎng).數(shù)學(xué)的“基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”(習(xí)慣簡(jiǎn)稱為“四基”)是學(xué)生未來生活、工作和學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)，是一個(gè)學(xué)生基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)中的核心要素.

《課標(biāo)(2011年版)》指出“學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是一個(gè)生動(dòng)活潑的、主動(dòng)的和富有個(gè)性的過程.學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動(dòng)過程”.學(xué)生獲取“四基”的根本途徑是參加活動(dòng)，經(jīng)歷知識(shí)的產(chǎn)生、形成和應(yīng)用過程.這就要求數(shù)學(xué)教學(xué)必須揭示出“數(shù)學(xué)知識(shí)的來龍去脈”，讓學(xué)生經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”的過程，否則，便會(huì)“割斷數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的血肉聯(lián)系，就會(huì)打消學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性.”

基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能是學(xué)生發(fā)展的基礎(chǔ)性目標(biāo)，二者是“交織”在一起的，即學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)掌握的同時(shí)也自然形成了一定的數(shù)學(xué)技能；反過來，在訓(xùn)練學(xué)生用基礎(chǔ)知識(shí)解決某些問題的技能時(shí)，又加深了對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解.

在知識(shí)技能的教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)認(rèn)真研讀《課標(biāo)(2011年版)》和教材，科學(xué)分析學(xué)生的認(rèn)知水平，結(jié)合具體的學(xué)習(xí)內(nèi)容，努力把教材內(nèi)容進(jìn)行“二次加工”，在“最近發(fā)展區(qū)內(nèi)”將其設(shè)計(jì)成能引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、驗(yàn)證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)的問題系列，以此引導(dǎo)學(xué)生“經(jīng)歷三個(gè)過程”：

(1)經(jīng)歷數(shù)與代數(shù)的抽象、運(yùn)算與建模等過程，掌握數(shù)與代數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能；

(2)經(jīng)歷圖形的抽象、分類、性質(zhì)探討、運(yùn)動(dòng)、位置確定等過程，掌握?qǐng)D形與幾何的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能；

(3)經(jīng)歷在實(shí)際問題中收集和處理數(shù)據(jù)、利用數(shù)據(jù)分析問題、獲取信息的過程，掌握統(tǒng)計(jì)與概率的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能.

“數(shù)學(xué)思想”蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識(shí)的形成、發(fā)展和應(yīng)用過程之中，是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和一些解題方法在更高層次上的抽象與概括，不只是拿幾個(gè)用來表述它的數(shù)學(xué)語言或概念，更重要的則是其形成與完善的過程，它起始于數(shù)學(xué)知識(shí)，起始于主體對(duì)客體的深刻分析和綜合認(rèn)識(shí).

對(duì)數(shù)學(xué)基本思想的教學(xué)應(yīng)結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)活動(dòng)進(jìn)行.要在傳授數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，讓學(xué)生清晰地了解知識(shí)的產(chǎn)生過程、知識(shí)間的相互聯(lián)系以及整個(gè)知識(shí)體系的構(gòu)成框架.

形成數(shù)學(xué)思想方法的基本思路有兩條：

一是隨著“純”數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)，學(xué)生不斷的進(jìn)行反思和升華，逐步理解和掌握隱含在這些數(shù)學(xué)知識(shí)之中的數(shù)學(xué)思想方法.即

二是通過解決一些具體的實(shí)際問題，使學(xué)生在鞏固、掌握所需要數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，形成那些對(duì)人的數(shù)學(xué)素質(zhì)有促進(jìn)作用的基本思想方法，即

這兩條思路都離不開“過程”，可見，數(shù)學(xué)思想的形成與發(fā)展是在學(xué)生經(jīng)過數(shù)學(xué)活動(dòng)的過程中實(shí)現(xiàn)的.

“數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”是人們?cè)跀?shù)學(xué)活動(dòng)過程中形成并在遇到某種相似情景時(shí)可以憶起的某種體驗(yàn)、方法性知識(shí)或某種觀念，它是學(xué)生在“做”的過程和“思考”的過程中積淀并逐步積累起來的.引導(dǎo)學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的根本途徑也有兩條：

一是進(jìn)行有效的思考與探究活動(dòng)，經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的發(fā)生過程、數(shù)學(xué)命題的探索過程、解題思路的探尋過程、問題的發(fā)現(xiàn)、提出和解決過程，在經(jīng)歷這些過程的同時(shí)積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)；

二是參與綜合實(shí)踐活動(dòng)，積累綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、技能和方法等解決簡(jiǎn)單問題的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

案例1“零指數(shù)冪”的建立過程.

“零指數(shù)冪”的意義是一種“規(guī)定”，但教學(xué)中不能單純地要求學(xué)生記住這個(gè)“規(guī)定”，并進(jìn)行相應(yīng)的操練，而應(yīng)根據(jù)學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，設(shè)計(jì)一些有利于學(xué)生進(jìn)行觀察、思考與探究的問題，盡量充分地展開引入這個(gè)規(guī)定的“過程”，引導(dǎo)學(xué)生感悟這種“規(guī)定”的合理性.

這個(gè)概念的建立過程可分為以下三步：

(1)提出猜想：20=1.

零指數(shù)是同學(xué)們學(xué)習(xí)中的一個(gè)難點(diǎn).為了降低教學(xué)難度，教師一定要把引入它的“合理性”展現(xiàn)出來，為此，可這樣引導(dǎo)：

①讓學(xué)生計(jì)算2222.啟發(fā)學(xué)生分別用除法和同底數(shù)冪除法的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，從而得到下面的結(jié)果：2222=1或2222=22-2=20.

②提問學(xué)生：如何解釋對(duì)于同一個(gè)題目用不同的方法計(jì)算會(huì)得到兩種不同的答案？

③學(xué)生猜想：為了使被除式的指數(shù)等于除式的指數(shù)時(shí)，同底數(shù)冪除法的運(yùn)算性質(zhì)也能使用，應(yīng)當(dāng)有20=1.

(2)質(zhì)疑這個(gè)猜想是否合理，并通過多種途徑引導(dǎo)學(xué)生感受猜想的合理性.

例如，可以用細(xì)胞分裂作為情境，提出下面的問題：

一個(gè)細(xì)胞分裂1次變2個(gè)，分裂2次變4個(gè)，分裂3次變8個(gè)……，那么一個(gè)細(xì)胞沒有分裂時(shí)個(gè)數(shù)為多少？

如圖1，觀察數(shù)軸上表示2的正整數(shù)次冪……16，8，4，2，…的點(diǎn)的位置變化，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

圖1

觀察下列式子中指數(shù)、冪的變化，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律：

24=16，23=8，22=4，21=2，2()=1.

這樣，學(xué)生通過探究活動(dòng)，就能比較充分地感受到“20=1”的合理性，于是作出“零指數(shù)冪”意義的“規(guī)定”：a0=1(a≠0).

(3)驗(yàn)證這個(gè)規(guī)定與原有“冪的運(yùn)算性質(zhì)”是相容、和諧的.

運(yùn)用冪的運(yùn)算性質(zhì)：a5÷a0=a5-0=a5；根據(jù)零指數(shù)冪意義的規(guī)定：a5÷a0=a5÷1=a5.

這樣引入“零指數(shù)冪”概念，學(xué)生將經(jīng)歷如下的過程：面對(duì)問題挑戰(zhàn)→提出猜想(“規(guī)定”)→說明猜想的合理性→做出“規(guī)定”→驗(yàn)證這種“規(guī)定”與原有知識(shí)體系的和諧性(一致性)→數(shù)學(xué)得到進(jìn)一步發(fā)展.

學(xué)生在經(jīng)歷上述系列過程的同時(shí)，不僅能理解、掌握“零指數(shù)冪”的意義，而且還能積累學(xué)習(xí)“零指數(shù)冪”的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，借助這樣的經(jīng)驗(yàn)科學(xué)地探究其他相關(guān)問題.這樣設(shè)計(jì)“零指數(shù)冪”的教學(xué)過程，充分地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)自身發(fā)展的軌跡，有助于學(xué)生感受數(shù)學(xué)是如何在自身的矛盾運(yùn)動(dòng)中，不斷地得到發(fā)展的.

總之，學(xué)生只有在經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程當(dāng)中，才能做到扎實(shí)掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，形成基本的數(shù)學(xué)技能，感悟基本的數(shù)學(xué)思想方法，不斷積累基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).從而實(shí)現(xiàn)《課標(biāo)2011年版》)提出的第一條課程“總目標(biāo)”.

2加強(qiáng)推理能力的訓(xùn)練，讓學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考

“四基”是從傳授知識(shí)層面而言的，數(shù)學(xué)教育的意義遠(yuǎn)遠(yuǎn)不只是知識(shí)的傳授，更為重要的應(yīng)該是訓(xùn)練學(xué)生的心智、開發(fā)并提升其潛能，逐步形成數(shù)學(xué)思考的習(xí)慣.所謂數(shù)學(xué)思考，就是在遇到各種各樣的問題情境時(shí)，能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)的知識(shí)、方法、思想和觀念去分析、探究，從而發(fā)現(xiàn)其中存在的數(shù)學(xué)現(xiàn)象和數(shù)學(xué)規(guī)律，并運(yùn)用數(shù)學(xué)的知識(shí)和方法加以解決的過程.數(shù)學(xué)思考是數(shù)學(xué)教學(xué)中最有價(jià)值的行為，無論是題型模仿，類型強(qiáng)化，還是技能操練都離不開數(shù)學(xué)思考.因?yàn)閷W(xué)生只有通過數(shù)學(xué)思考才能體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，從而增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力、分析和解決問題的能力.也只有通過數(shù)學(xué)思考，學(xué)生才能真正感悟到數(shù)學(xué)的本質(zhì)，體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)之間存在的實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系，從而在創(chuàng)新實(shí)踐方面得到發(fā)展.

培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思考的方法很多，筆者認(rèn)為加強(qiáng)推理能力的訓(xùn)練是非常有效的.《課標(biāo)(2011年版)》指出：“推理一般包括合情推理和演繹推理，合情推理是從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結(jié)果；演繹推理是從已有的事實(shí)(包括定義、公理、定理等)和確定的規(guī)則(包括運(yùn)算的定義、法則、順序等)出發(fā)，按照邏輯推理的法則證明和計(jì)算.在解決問題的過程中，兩種推理功能不同，相輔相成：合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論；演繹推理用于證明結(jié)論.”

在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)按照由“合情推理”到“演繹推理”再到“合情推理與演繹推理并用”的順序培養(yǎng)學(xué)生的推理論證能力，逐漸使學(xué)生既會(huì)進(jìn)行猜想，又能把握證明；既能合情推理，又能嚴(yán)格論證.要把推理能力的訓(xùn)練貫穿在整個(gè)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程之中，這里的“整個(gè)學(xué)習(xí)過程“主要包括三個(gè)層次的含義：

其一，應(yīng)貫穿在整個(gè)數(shù)學(xué)課程的各個(gè)學(xué)習(xí)內(nèi)容中，即包括《課標(biāo)(2011年版)》界定的“數(shù)與代數(shù)”、“圖形與幾何”、“統(tǒng)計(jì)與概率”及“綜合與實(shí)踐”等所有領(lǐng)域；

其二，應(yīng)貫穿在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的各種活動(dòng)過程中；

其三，應(yīng)貫穿在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的各個(gè)環(huán)節(jié)之中.

在“圖形與幾何”部分，用點(diǎn)、線、角、三角形、圓等這些學(xué)生容易接受而明確無誤的數(shù)學(xué)對(duì)象作為載體，訓(xùn)練他們的推理能力是十分有效的.在學(xué)習(xí)這部分的許多內(nèi)容時(shí)，教師要通過創(chuàng)設(shè)情境引導(dǎo)學(xué)生用合情推理探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論，用演繹推理證明結(jié)論，這樣學(xué)生可搞清它們的來源，分清它們的條件和結(jié)論，弄清抽象、概括或證明的過程，讓學(xué)生做到“既知其然，又知其所以然.”

案例2“兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形”的發(fā)現(xiàn)與證明過程

對(duì)于這個(gè)判定定理，教師在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)，不可直接去證明，而是要設(shè)法讓學(xué)生先發(fā)現(xiàn)這個(gè)結(jié)論，然后再給出證明.讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)的方法有許多，為突出數(shù)學(xué)的直觀性，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手操作和觀察、發(fā)現(xiàn)等能力，我們選擇讓學(xué)生通過操作實(shí)驗(yàn)來發(fā)現(xiàn)的方式.具體操作、探索過程為：

(1)如圖2，剪兩個(gè)一樣大的三角形硬紙片ABC，A′B′C′(三邊都不相等的)；

(2)用這兩個(gè)三角形拼成四邊形，觀察所得到的四邊形的特點(diǎn)，你能得到怎樣的猜想？并相互交流自己發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；

(3)證明所得到的猜想，將其歸納成一般結(jié)論.

圖2　　　　　　圖3

學(xué)生在操作的過程中將會(huì)猜想到“兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形”，并且還能進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，在圖3中，已知AB=CB′，且BC=AB′，要證明四邊形ABCB′是平行四邊形，只需連接AC，證明△ABC與△CB′A全等即可.這個(gè)證明思路就是學(xué)生在拼接三角形紙片的過程中自主發(fā)現(xiàn)的，學(xué)生一旦發(fā)現(xiàn)這個(gè)思路，證明過程就容易了.這樣的導(dǎo)學(xué)過程，與教師一開始就直接添加輔助線AC，證明△ABC與△CB′A全等，從而得出結(jié)論相比，學(xué)生的收獲會(huì)有很大的差別.對(duì)于一些幾何證明問題，如果長(zhǎng)期堅(jiān)持“先探究思路，再證明”的教學(xué)方式，學(xué)生的數(shù)學(xué)思考能力、動(dòng)手實(shí)踐能力、解決問題的能力、創(chuàng)新能力等將會(huì)有很大的提高.這一點(diǎn)符合《課標(biāo)(2011年版)》倡導(dǎo)的基本理念，但卻是我們的教學(xué)現(xiàn)實(shí)所欠缺的.

一個(gè)中學(xué)生在他工作之后，有可能再?zèng)]有遇到過一個(gè)幾何題目或一個(gè)解方程的問題，但他從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中所培養(yǎng)起來的思考能力、分析判斷能力、推理論證能力等，卻伴隨他的終生.這便是數(shù)學(xué)教學(xué)所追求的崇高目標(biāo).

3通過問題解決提高學(xué)生的綜合素養(yǎng)

問題解決中的“數(shù)學(xué)問題一般指對(duì)人類具有智力挑戰(zhàn)特征的，沒有現(xiàn)成方法、程序或算法可以直接套用的那類問題.”要解決這樣的問題，要求學(xué)生能夠從給出的問題情境中通過分析，獲取有關(guān)的信息，利用這些信息建立起數(shù)學(xué)模型，并能夠靈活運(yùn)用有關(guān)知識(shí)加以解決.重視問題解決對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的“應(yīng)用意識(shí)”、“推理能力”、“模型思想”、“創(chuàng)新意識(shí)”等核心概念都是非常必要的.因此，重視問題解決是各國(guó)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的共同要求.

《課標(biāo)(2011年版)》針對(duì)“問題解決”，是這樣強(qiáng)調(diào)的：

(1)初步學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，提高實(shí)踐能力；

(2)獲得分析問題和解決問題的一些基本方法，體驗(yàn)解決問題方法的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識(shí)；

(3)學(xué)會(huì)與他人合作交流；

(4)初步形成評(píng)價(jià)與反思的意識(shí).

問題解決不僅僅是數(shù)學(xué)課程的目標(biāo)，而且還是一個(gè)發(fā)現(xiàn)的過程、探索的過程，通過問題解決使學(xué)生實(shí)現(xiàn)“再創(chuàng)造”的過程.學(xué)生借此過程可以真正認(rèn)識(shí)、感悟和理解數(shù)學(xué).

案例3“握手次數(shù)”問題.

在一個(gè)國(guó)際活動(dòng)中，來自不同國(guó)家的10位代表第一次見面，他們兩兩握手做自我介紹.試問：

(1)在這次見面中有多少次不同的握手？

(2)如果代表的人數(shù)多于10人，共有多少次握手？對(duì)于任意人數(shù)赴會(huì)，能否找出一種辦法計(jì)算不同的握手次數(shù)？

這是一個(gè)很有趣的問題，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考能力、問題解決能力等都是非常有益的.為了降低難度，引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和主動(dòng)性，我們可以用下面的三個(gè)問題引導(dǎo)學(xué)生去思考與探索：

(1)如果有兩個(gè)同學(xué)，則握手1次；如果有3個(gè)同學(xué)，要握手3次；如果有4個(gè)同學(xué)，要握手6次……如果有5個(gè)同學(xué)、6個(gè)同學(xué)呢？有n個(gè)同學(xué)呢？

用y表示n個(gè)同學(xué)兩兩握手一次需要握手的次數(shù)，請(qǐng)完成下表：

n123456…y

(2)以表中的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)為坐標(biāo)點(diǎn)，描出y與n之間的函數(shù)關(guān)系所對(duì)應(yīng)的圖象.

(3)猜想y與n之間的函數(shù)關(guān)系是怎樣的？并求出y與n之間的函數(shù)關(guān)系式.

簡(jiǎn)解(1)學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)、探究等活動(dòng)，不難得到表格中對(duì)應(yīng)的y值，依次是0，1，3，6，10，15.

(2)在得到y(tǒng)的值后，建立如圖10所示的直角坐標(biāo)系，橫軸表示學(xué)生人數(shù)n，縱軸表示這n個(gè)學(xué)生兩兩握手時(shí)握手的次數(shù)y，描出并用光滑連線連結(jié)表中的各點(diǎn)：(1，0)，(2，1)，(3，3)，(4，6)，(5，10)，(6，15).

(3)觀察圖4可以發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過這些點(diǎn)的圖象是一條拋物線的一部分，故不難猜到y(tǒng)與n之間的函數(shù)解析式為y=an2+bn+c，把(1，0)，(2，1)，(3，3)代入得

這就是人數(shù)n與握手次數(shù)y之間的一個(gè)數(shù)學(xué)關(guān)系式，有了這個(gè)關(guān)系式，握手問題就不難解決了.

由于問題解決中所指的問題比較新穎，似乎無規(guī)律可循，使得學(xué)生沒有現(xiàn)成的對(duì)策，因而需要進(jìn)行創(chuàng)造性的思考、探究、猜測(cè)等活動(dòng).只要學(xué)生具有堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，具備熟練數(shù)學(xué)基本技能，掌握一些探究數(shù)學(xué)問題的經(jīng)驗(yàn)和方法，就不難解決.長(zhǎng)期堅(jiān)持這樣的訓(xùn)練，學(xué)生的問題解決能力將不斷得到提高，并且逐漸形成和提高自己學(xué)習(xí)的能力.

4重視情感態(tài)度的培養(yǎng)

普羅泰戈拉是古希臘偉大的哲學(xué)家和教育家，他曾提出一個(gè)著名的哲學(xué)命題，也是一個(gè)重要的教育原則，即“人是萬物的尺度，是存在者存在的尺度，也是不存在者不存在的尺度”.柏拉圖對(duì)這句話的解釋是：“同樣的風(fēng)在刮著，然而我們中間有一個(gè)人會(huì)覺得冷，另一個(gè)人會(huì)覺得不冷，或者一個(gè)人會(huì)覺得稍微有點(diǎn)冷，又有一個(gè)人覺得很冷”.柏拉圖正確地解釋了普羅泰戈拉命題的含義：風(fēng)冷不冷不決定于風(fēng)的客觀存在，而決定于人的感覺，決定于主體.

這個(gè)頗有相對(duì)論味道的命題告訴我們，就數(shù)學(xué)教學(xué)而言，教師教得好與不好，不只決定于教師的教，而主要決定于學(xué)生的學(xué)習(xí)情感、學(xué)習(xí)意志、學(xué)習(xí)習(xí)慣和學(xué)習(xí)能力.正因?yàn)槿绱?，許多國(guó)家都非常重視對(duì)學(xué)生情感態(tài)度和價(jià)值觀的培養(yǎng).《課標(biāo)(2011年版)》倡導(dǎo)的“人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”的課程基本理念，就包含著對(duì)學(xué)生健全人格的發(fā)展以及學(xué)習(xí)自信心、責(zé)任感、合作意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)、求實(shí)態(tài)度和科學(xué)精神等的要求，

當(dāng)然，實(shí)現(xiàn)《課標(biāo)(2011年版)》提出的課程總目標(biāo)，亟待解決的問題還有很多.希望我們廣大的數(shù)學(xué)教育工作者、一線教師不斷加強(qiáng)研究和學(xué)習(xí)，特別要大力研究《課標(biāo)(2011年版)》、研究教材、研究學(xué)生，精心創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的建立過程、運(yùn)算法則及定律的歸納過程、數(shù)學(xué)命題的發(fā)現(xiàn)過程、解(證)數(shù)學(xué)題目時(shí)思路的分析過程等.讓他們以“再發(fā)現(xiàn)”和“再創(chuàng)造”的方式經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用過程.在這個(gè)過程中，一方面，學(xué)生能容易地自己發(fā)現(xiàn)并掌握知識(shí)、形成技能，更好地體驗(yàn)學(xué)習(xí)內(nèi)容中的情感，使原來枯燥、抽象的知識(shí)變得生動(dòng)形象；另一方面，學(xué)生在應(yīng)用這些知識(shí)解決新的實(shí)際問題的過程中還能達(dá)到鞏固基礎(chǔ)知識(shí)、發(fā)展基本技能的目的，并獲得對(duì)這些知識(shí)所蘊(yùn)含的基本數(shù)學(xué)思想的感悟、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累和積極向上的情感體驗(yàn)，從而為學(xué)生未來的生活、工作、學(xué)習(xí)和研究等奠定堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ).

參考文獻(xiàn)

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5李吉寶，李樹臣. 新課程標(biāo)準(zhǔn)下中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)之特征 .數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2009，18(3)

基金項(xiàng)目:山東省社會(huì)科學(xué)規(guī)劃課題——新課程改革背景下的中學(xué)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)實(shí)施研究(課題編號(hào)：15CJYJ17).

(收稿日期：2016-04-12)

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