追求自然的數(shù)學(xué)教學(xué)
——“對數(shù)的換底公式”的教學(xué)設(shè)計(jì)與反思

王　培

(江蘇省如東高級中學(xué)，226400)

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○教學(xué)研究○

追求自然的數(shù)學(xué)教學(xué)
——“對數(shù)的換底公式”的教學(xué)設(shè)計(jì)與反思

王培

(江蘇省如東高級中學(xué)，226400)

一、基本情況

1. 學(xué)情分析

授課對象為高一普通班學(xué)生.學(xué)生能夠熟練掌握指數(shù)對數(shù)互化,并進(jìn)行同底對數(shù)的運(yùn)算，有一定的觀察、探究能力.

2. 教材分析

所用教材為《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)(必修1)》(蘇教版).學(xué)生在此之前,已經(jīng)學(xué)習(xí)了對數(shù)的概念、同底對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).本節(jié)內(nèi)容是對數(shù)的第三節(jié)課換底公式，讓學(xué)生掌握換底公式是本節(jié)課的重點(diǎn),也是難點(diǎn).通過換底公式的應(yīng)用,讓學(xué)生感悟化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.教學(xué)目標(biāo)是讓學(xué)生掌握對數(shù)的換底公式,會(huì)用換底公式將一般對數(shù)化為常用對數(shù)或自然對數(shù),并進(jìn)行一些簡單的化簡與證明.

二、教學(xué)設(shè)計(jì)

蘇教版必修1教科書第77頁，用這樣一個(gè)問題來進(jìn)行引入：“試用常用對數(shù)表示log35”.這樣的設(shè)計(jì)顯得有些突兀,不自然.

數(shù)學(xué)教學(xué)首先要讓學(xué)生感到數(shù)學(xué)是自然的.這種自然包括理解數(shù)學(xué)知識是自然的，數(shù)學(xué)知識的生成過程是自然的，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的范圍是自然的，掌握數(shù)學(xué)思想方法也是自然的.

那么，怎樣使學(xué)生感到對數(shù)換底公式的學(xué)習(xí)是自然的呢?對此，筆者進(jìn)行了一些思考:本節(jié)課是運(yùn)算法則課,運(yùn)算法則實(shí)際上解決三個(gè)問題:一是這是種什么運(yùn)算?二是這種運(yùn)算從哪里來(運(yùn)算法則產(chǎn)生的必要性和科學(xué)性)？三是這種運(yùn)算用到哪里去(運(yùn)算法則的數(shù)學(xué)應(yīng)用)？

回看對數(shù)的三節(jié)課內(nèi)容,我們不難發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)學(xué)本質(zhì):對數(shù)的概念(指數(shù)與對數(shù)的互化)是解決對數(shù)問題的基本依據(jù),同底對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)只能應(yīng)用到同底的對數(shù)加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算,有一定的局限性.這些，自然地引出一些思考:不同底的對數(shù)怎么運(yùn)算?同底的對數(shù)能不能做乘除運(yùn)算呢?

有了這樣的思維沖突,引入對數(shù)的換底公式就顯得“水到渠成”.

1. 問題引入

師:請同學(xué)們回顧前兩節(jié)課我們學(xué)習(xí)的內(nèi)容:對數(shù)的概念和運(yùn)算性質(zhì).

師:下面請同學(xué)們解決以下三個(gè)問題：

(1)log182+log189=______；

(3)log23×log34=______.

生1:第一題等于1,第二題和第三題不好算.

師:為什么不好算?

生1:因?yàn)榈诙}是同底的對數(shù)相除,沒有這個(gè)法則;第三題是對數(shù)相乘,而且是不同底的對數(shù),也沒有這樣的法則.

師:觀察得很仔細(xì).那么同底的對數(shù)相除是什么結(jié)果?不同底的對數(shù)怎么計(jì)算?這就是本節(jié)課我們要研究的內(nèi)容.

設(shè)計(jì)意圖上述問題引入,一下子就調(diào)動(dòng)了學(xué)生的思維積極性.當(dāng)學(xué)生已有的知識不能解決問題2、3時(shí),學(xué)生自發(fā)地感受到需要有新的運(yùn)算法則來補(bǔ)充；同時(shí),在問題3的處理上,學(xué)生有意識地認(rèn)識到需要轉(zhuǎn)化為同底的對數(shù).怎樣將不同底的對數(shù)轉(zhuǎn)化為同底的對數(shù)呢?自然地引出了本節(jié)課的課題.

2. 數(shù)學(xué)建構(gòu)

探究換底公式

師:先看這道例題:試用常用對數(shù)表示log35.怎樣用以10為底的對數(shù)表示呢?

生2:根據(jù)對數(shù)的定義,設(shè)log35=x,則

3x=5.

師:很好.現(xiàn)在得到了指數(shù)式,怎樣得到對數(shù)式呢?

學(xué)生答不出來.

師:我們前面學(xué)過,對數(shù)不僅是個(gè)數(shù),還是種運(yùn)算,從運(yùn)算的角度看，這里我們怎么得到以10為底的對數(shù)呢?

生3:兩邊取常用對數(shù),得lg3x=lg5

xlg3=lg5.

師:非常好.這樣我們將log35用以10為底的對數(shù)表示,同學(xué)們想想,能不能用自然對數(shù)表示?是什么形式?

師:很好.更為一般的,我們可以猜測logaN=?,并證明.

學(xué)生小組合作,很快得到了結(jié)論.

生5剛回答完問題,就有學(xué)生舉手.

師:同學(xué)總結(jié)得非常好,這樣我們就得到了今天我們所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容:對數(shù)的換底公式.(教師板演)請同學(xué)們思考換底公式的特征?我們?nèi)绾斡洃?

師:同學(xué)們現(xiàn)在你能解決本節(jié)課剛開始的第2、3兩道題嗎?

=2.

設(shè)計(jì)意圖從特殊的問題入手,讓學(xué)生直觀感受到為什么這樣解決和怎樣解決,具體的數(shù)據(jù),讓學(xué)生清晰地了解到運(yùn)算的一般流程,從而對于老師提出的更為一般的問題:“l(fā)ogaN=?”則顯得從容很多.得到對數(shù)的換底公式后,再回顧反思,解決本節(jié)課開始未能解決的兩道題目,讓學(xué)生初步體會(huì)換底公式的應(yīng)用.

探究換底公式的推論

師:在實(shí)際的對數(shù)運(yùn)算中,我們還常常用到以下推論.請同學(xué)們翻開課本第80頁,完成第11題的證明.設(shè)a,b均為不等于1的正數(shù),利用對數(shù)的換底公式證明:

學(xué)生的證明過程略.

師:對于第1個(gè)式子可以改寫為logab×logba=1；

對于第2個(gè)式子,當(dāng)m=n時(shí),loganbm=logab.

師:請同學(xué)們思考下,這兩個(gè)推論有什么意義?

生8:第一個(gè)推論說明了logab與logba的關(guān)系,是互為倒數(shù)關(guān)系；第二個(gè)推論是將底數(shù)與真數(shù)的指數(shù)都拿出來當(dāng)新對數(shù)的系數(shù),其中真數(shù)的指數(shù)當(dāng)分子,底數(shù)的指數(shù)當(dāng)分母.

師:,說得也很好,同學(xué)們記住他剛所講的記憶法則了嗎?

同學(xué)們齊答:記住了.

師:對于第2個(gè)式子,當(dāng)m=n時(shí),loganbm=logab又有什么意義呢?

生9:若底數(shù)和真數(shù)可以寫成冪的形式,且指數(shù)相等,則底數(shù)和真數(shù)的指數(shù)可以去掉,結(jié)果不變.

師:你能舉例說明嗎?

生9:比如log2516=log5242=log54.

設(shè)計(jì)意圖對數(shù)的換底公式的推論(或變形公式)很多,到底介紹多少為宜?怎樣介紹給學(xué)生,是生搬硬套地讓學(xué)生死記?還是讓學(xué)生巧記?筆者經(jīng)過認(rèn)真思考,巧妙地利用教材中的題目,讓學(xué)生先證明,后觀察這兩個(gè)式子的特點(diǎn).當(dāng)學(xué)生成功地證明出兩個(gè)等式,完成初識公式第一步,學(xué)生觀察總結(jié)式子特點(diǎn)后,達(dá)到再識公式第二步,當(dāng)老師舉例請同學(xué)們計(jì)算時(shí),公式記憶再次加強(qiáng),達(dá)到掌握公式應(yīng)用的第三步.

3.數(shù)學(xué)應(yīng)用

例1求值

(1)log89×log332；

(3)51-log0.23.

師:通過幾道題目的訓(xùn)練,請同學(xué)們總結(jié)對數(shù)運(yùn)算的技巧.

設(shè)計(jì)意圖例1題(1)讓學(xué)生再次應(yīng)用換底公式;題(2)是課本上的一道題目,在對數(shù)的第二節(jié)課時(shí),同學(xué)已經(jīng)能夠算出答案,現(xiàn)在再重溫“做過的”題目,讓學(xué)生感受到掌握新公式,計(jì)算變得“簡潔”,有了新的知識,認(rèn)識問題的高度則不同,解決問題則變得更“便捷”;題(3)是指數(shù)運(yùn)算,讓學(xué)生復(fù)習(xí)一下指數(shù)的運(yùn)算法則.在問題提出之前、解決問題過程之中、解決問題之后,教師設(shè)計(jì)的問題要及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思、總結(jié),使學(xué)生的解題能力和思維能力得到提升.

例2已知lg 6=a,lg 12=b,試用a,b表示lg 24.

變式已知log25=a,2b=3,試用a,b表示log1245.

設(shè)計(jì)意圖例2是讓學(xué)生了解到解決此類問題有兩種方法:解法1是找出真數(shù)、底數(shù)之間的關(guān)系,此法需要學(xué)生有一定的觀察力,有些難度;解法2是基本量法,發(fā)現(xiàn)真數(shù)最終可分解為2和3的冪的乘積形式,這樣就找到了基本量是lg 2和lg 3,這樣lg 24就能輕松求得.此法具有一定的普遍性.

4. 課堂小結(jié)

師:請同學(xué)們談?wù)劚竟?jié)課的收獲.(略)

三、教學(xué)反思

1.教師要理解數(shù)學(xué),追求自然的數(shù)學(xué)教學(xué)

數(shù)學(xué)教學(xué)如果“不自然”,則會(huì)產(chǎn)生強(qiáng)加于人的效果,對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣與內(nèi)部動(dòng)機(jī)都有不利影響.怎樣使得數(shù)學(xué)教學(xué)自然呢?首要前提是教師要理解數(shù)學(xué),理解數(shù)學(xué)就是要了解數(shù)學(xué)知識的背景,準(zhǔn)確把握數(shù)學(xué)概念、定理、法則、公式等的邏輯意義,深刻領(lǐng)悟內(nèi)容所反映的思想方法,把握知識之間的多元聯(lián)系,能挖掘數(shù)學(xué)知識所蘊(yùn)含的科學(xué)方法、理性精神和價(jià)值觀資源和技術(shù),善于區(qū)分核心知識和非核心知識等.我們要準(zhǔn)確把握每塊知識產(chǎn)生的背景,在教材中的地位、前后的聯(lián)系、后續(xù)學(xué)習(xí)的必要性,其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法有哪些,這些數(shù)學(xué)思想方法在學(xué)習(xí)其他知識時(shí)是否可以利用、類比推廣等.只有理解數(shù)學(xué),我們才能準(zhǔn)確地確定教學(xué)目標(biāo).

本節(jié)課,筆者認(rèn)真研讀教材,理解了對數(shù)的換底公式的由來、證明和應(yīng)用.通過具體的數(shù)學(xué)小題,讓學(xué)生領(lǐng)悟?qū)?shù)的換底公式的產(chǎn)生的必要性;從課本的例題出發(fā),引導(dǎo)學(xué)生猜想并證明公式;精心設(shè)計(jì)例題,讓學(xué)生理解公式的應(yīng)用.

2.尊重學(xué)生的主體地位,讓學(xué)生自然地感悟數(shù)學(xué)

“學(xué)之道在于悟,教之道在于度.”學(xué)生的獨(dú)立思考是學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)的必要條件.南京師大附中陶維林老師說過:“現(xiàn)在的數(shù)學(xué)教師教學(xué)最大的問題是什么?就是忘記了誰在學(xué)習(xí).飯要讓學(xué)生親自吃,覺要讓學(xué)生親自睡,學(xué)習(xí)要讓學(xué)生親自學(xué),老師絕不能代替.”本節(jié)課,為什么要學(xué)習(xí)換底公式?怎樣證明換底公式?換底公式的推論是什么,有什么作用?這些問題的解決,都不是教師告知學(xué)生的,而是在教師精心設(shè)計(jì)的問題引導(dǎo)下,學(xué)生主動(dòng)思考、主動(dòng)發(fā)現(xiàn),主動(dòng)參與到問題的探究與解決過程中.在這過程中,學(xué)生自然地感悟到對數(shù)的換底公式的數(shù)學(xué)本質(zhì).