高考解析幾何解答題的幾種題型及應(yīng)對(duì)策略

嚴(yán)循躍

(江蘇省如皋中學(xué)，226500)

?

○高考之窗○

高考解析幾何解答題的幾種題型及應(yīng)對(duì)策略

嚴(yán)循躍

(江蘇省如皋中學(xué)，226500)

圓錐曲線綜合題類型較多,是各地高考必考的大題之一,題目本身運(yùn)算量較大,學(xué)生無(wú)論是解決問(wèn)題方法的選取還是在運(yùn)算技巧處理上都精準(zhǔn)度較低.為了讓學(xué)生能順利解決此類題,本文通過(guò)對(duì)此類題?？碱愋瓦M(jìn)行歸納,以達(dá)到幫助同學(xué)克服畏難情緒,提高解題能力的目的.

題型1求參數(shù)的取值范圍

例1在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)M到點(diǎn)F(1,0)的距離比它到y(tǒng)軸的距離多1，記點(diǎn)M的軌跡為C.

(1)求軌跡C的方程;

(2)設(shè)斜率為k的直線l過(guò)定點(diǎn)P(-2,1).求直線l與軌跡C恰好有一個(gè)公共點(diǎn)、兩個(gè)公共點(diǎn)、三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)k的相應(yīng)取值范圍.

分析在第(1)問(wèn)中,可先設(shè)點(diǎn)M(x,y),由題意可求得點(diǎn)M的軌跡方程.在第(2)問(wèn)中,可先由點(diǎn)斜式把直線方程寫(xiě)出來(lái),將直線方程與第(1)問(wèn)所求的軌跡方程聯(lián)立,需注意考慮k=0及k≠0的情況,當(dāng)k≠0時(shí),聯(lián)立后得到的關(guān)系式,還需討論方程的判別式Δ及直線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的正負(fù).

簡(jiǎn)解(1)易得點(diǎn)M的軌跡C的方程為

(2)在點(diǎn)M的軌跡C中,記C1:y2=4x,C2:y=0(x<0).

依題意,可設(shè)直線l的方程為

y-1=k(x+2).

ky2-4y+4(2k+1)=0.

①

當(dāng)k≠0時(shí),方程① 的判別式為

Δ=-16(2k2+k-1).

②

設(shè)直線l與x軸的交點(diǎn)為(x0,0),則

③

規(guī)律方法求范圍問(wèn)題的關(guān)鍵是建立求解關(guān)于某個(gè)變量的目標(biāo)函數(shù),通過(guò)求這個(gè)函數(shù)的值域確定目標(biāo)的范圍.在建立函數(shù)的過(guò)程中要根據(jù)題目的其他已知條件,把需要的量都用我們選用的變量表示.有時(shí)為了運(yùn)算的方便,在建立關(guān)系的過(guò)程中也可以采用多個(gè)變量,只要在最后結(jié)果中把多變量歸結(jié)為單變量即可,同時(shí)要特別注意變量的取值范圍.

求解特定字母取值范圍問(wèn)題的常用方法:(1)構(gòu)造不等式法:根據(jù)題設(shè)條件以及曲線的幾何性質(zhì)(如:曲線的范圍、對(duì)稱性、位置關(guān)系等),建立關(guān)于特定字母的不等式(或不等式組),然后解不等式(或不等式組),求得特定字母的取值范圍.(2)構(gòu)造函數(shù)法:根據(jù)題設(shè)條件,用其他的變量或參數(shù)表示欲求范圍的特定字母,即建立關(guān)于特定字母的目標(biāo)函數(shù),然后研究該函數(shù)的值域或最值情況,從而得到特定字母的取值范圍.(3)數(shù)形結(jié)合法:研究特定字母所對(duì)應(yīng)的幾何意義,然后根據(jù)相關(guān)曲線的定義、幾何性質(zhì),利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.

題型2定點(diǎn)問(wèn)題

例2已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3,最小值為1.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)若直線l:y=kx+m與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn)(A,B不是左右頂點(diǎn)),且以AB為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn),求證:直線l過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由l與C的方程聯(lián)立可得3+4k2-m2>0，故

由AB為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)D(2,0),易得kAD·kBD=-1,即

當(dāng)m=-2k時(shí),l:y=k(x-2),直線過(guò)定點(diǎn)(2,0),與已知矛盾;

題型3定直線問(wèn)題

(1)求橢圓C的方程;

(2)設(shè)直線x=my+1與橢圓C交于P、Q兩點(diǎn),直線A1P與A2Q交于點(diǎn)S．試問(wèn):當(dāng)m變化時(shí),點(diǎn)S是否恒在一條定直線上?若是,請(qǐng)寫(xiě)出這條直線方程,并證明你的結(jié)論;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由．

若點(diǎn)S在同一條直線上,則直線只能為l:x=4.以下證明對(duì)于任意的m,直線A1P與直線A2Q的交點(diǎn)S均在直線l:x=4上．

(m2+4)y2+2my-3=0.

記P(x1,y1),Q(x2,y2),則

∴y0=y0′,即S0與S0′重合,這說(shuō)明,當(dāng)m變化時(shí),點(diǎn)S恒在定直線l:x=4上．

以下證明對(duì)于任意的m,直線A1P與直線A2Q的交點(diǎn)S均在直線l:x=4上．事實(shí)上,記P(x1,y1),Q(x2,y2),則由方法1得

消去y,得

①

②

∵2my1y2-3(y1+y2)=0,

∴②式恒成立．這說(shuō)明,當(dāng)m變化時(shí),點(diǎn)S恒在定直線l:x=4上．

方法3記P(x1,y1),Q(x2,y2),

由方法2得A1P與A2Q的方程聯(lián)立消去y

=4.

這說(shuō)明,當(dāng)m變化時(shí),點(diǎn)S恒在定直線l:x=4上．

題型4定值問(wèn)題

(1)求直線AA1與直線A2B交點(diǎn)M的軌跡方程;

①

②

③

∵A(x1,y1)在橢圓C0上,

代入③，可得

∴點(diǎn)M的軌跡方程為

(2)設(shè)A′(x3,y3,因?yàn)榫匦蜛BCD與矩形A′B′C′D′的面積相等,所以

∵A,A′均在橢圓上,

規(guī)律方法解析幾何中定值問(wèn)題的證明可運(yùn)用函數(shù)的思想方法來(lái)解決.證明過(guò)程可總結(jié)為“變量——函數(shù)——定值”,具體操作程序如下:

(1)變量——選擇適當(dāng)?shù)牧繛樽兞?

(2)函數(shù)——把要證明為定值的量表示成變量的函數(shù);

(3)定值——化簡(jiǎn)得到函數(shù)的解析式,消去變量得到定值．

求定值問(wèn)題常見(jiàn)的方法有兩種:

(1)從特殊情況入手,求出定值,在證明定值與變量無(wú)關(guān);

(2)直接推理、計(jì)算,并在計(jì)算過(guò)程中消去變量,從而得到定值．

題型5最值問(wèn)題

(1)求橢圓C的方程.

(2)過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)(A,B不是橢圓C的頂點(diǎn)).點(diǎn)D在橢圓C上,且AD⊥AB,直線BD與x軸、y軸分別交于M,N兩點(diǎn).

① 設(shè)直線BD,AM的斜率分別為k1,k2,證明存在常數(shù)λ使得k1=λk2,并求出λ的值;

② 求?OMN面積的最大值.

設(shè)直線AD的方程為y=kx+m(k≠0,m≠0)與C的方程聯(lián)立,可得

(1+4k2)x2+8mkx+4m2-4=0，

由題意知x1≠-x2,

令y=0,得x=3x1,即M(3x1,0).可得

由① 知M(3x1,0),可得?OMN的面積

規(guī)律方法圓錐曲線中的最值問(wèn)題類型較多,解法靈活多變,但總體上主要有兩種方法:一是利用幾何方法,即通過(guò)利用曲線的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理、性質(zhì)等進(jìn)行求解;二是利用代數(shù)方法,即把要求最值的幾何量或代數(shù)表達(dá)式表示為某個(gè)(些)參數(shù)的函數(shù)(解析式),然后利用函數(shù)方法、不等式方法等進(jìn)行求解.

常見(jiàn)的幾何方法有:(1)直線外一定點(diǎn)P到直線上各點(diǎn)距離的最小值為該點(diǎn)P到直線的垂線段的長(zhǎng)度;(2)圓C外一定點(diǎn)P到圓上各點(diǎn)距離的最大值為|PC|+R,最小值為|PC|-R(R為圓C半徑);(3)過(guò)圓C內(nèi)一定點(diǎn)P的圓的最長(zhǎng)的弦即為經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的直徑,最短的弦為過(guò)P點(diǎn)且與經(jīng)過(guò)P點(diǎn)直徑垂直的弦;(4)圓錐曲線上本身存在最值問(wèn)題,如① 橢圓上兩點(diǎn)間最大距離為2a(長(zhǎng)軸長(zhǎng));② 雙曲線上兩點(diǎn)間最小距離為2a(實(shí)軸長(zhǎng));③ 橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的取值范圍為[a-c,a+c],a-c與a+c分別表示橢圓焦點(diǎn)到橢圓上點(diǎn)的最小與最大距離;④ 拋物線上的點(diǎn)中頂點(diǎn)與拋物線的準(zhǔn)線距離最近.

常用的代數(shù)方法有:(1)利用二次函數(shù)求最值;(2)通過(guò)三角換元,利用正、余弦函數(shù)的有界性求最值;(3)利用基本不等式求最值;(4)利用導(dǎo)數(shù)法求最值;(5)利用函數(shù)單調(diào)性求最值.

題型6圓錐曲線中的存在性問(wèn)題

(1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)是否存在圓心在y軸上的圓,使圓在x軸的上方與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn),且圓在這兩個(gè)交點(diǎn)處的兩條切線相互垂直并分別過(guò)不同的焦點(diǎn)?若存在,求出圓的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

當(dāng)x1=0時(shí),P1,P2重合,題設(shè)要求的圓不存在.

設(shè)C(0,y0),由CP1⊥F1P1,得

綜上,存在滿足題設(shè)條件的圓,其方程為

規(guī)律方法所謂存在性問(wèn)題,就是判斷滿足某個(gè)(某些)條件的點(diǎn)、直線、曲線(或參數(shù))等幾何元素是否存在的問(wèn)題.這類問(wèn)題通常以開(kāi)放性的設(shè)問(wèn)方式給出,若存在符合條件的幾何元素或參數(shù)值,就求出這些幾何元素或參數(shù)值,若不存在,則要求說(shuō)明理由.求解存在性問(wèn)題時(shí),通常的方法是首先假設(shè)滿足條件的幾何元素或參數(shù)值存在,然后利用這些條件并結(jié)合題目的其他已知條件進(jìn)行推理與計(jì)算,若不出現(xiàn)矛盾,并且得到了相應(yīng)的幾何元素或參數(shù)值,就說(shuō)明滿足條件的幾何元素或參數(shù)值存在;若在推理與計(jì)算中出現(xiàn)了矛盾,則說(shuō)明滿足條件的幾何元素或參數(shù)值不存在,同時(shí)推理與計(jì)算的過(guò)程就是說(shuō)明理由的過(guò)程.

解決存在性問(wèn)題應(yīng)注意以下幾點(diǎn):(1)當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時(shí)要分類討論;(2)當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時(shí),先假設(shè)成立,再推出條件;(3)當(dāng)條件和結(jié)論都不知,按常規(guī)方法解題很難時(shí),要思維開(kāi)放,采取另外的途徑.

解決存在性問(wèn)題的解題步驟:第一步:先假設(shè)存在,引入?yún)⒆兞?根據(jù)題目條件列出關(guān)于參變量的方程(組)或不等式(組);第二步:解此方程(組)或不等式(組),若有解則存在,若無(wú)解則不存在;第三步:得出結(jié)論.