常見遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的求解方法

王新宏

(甘肅省張掖市實(shí)驗(yàn)中學(xué)，734000)

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常見遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的求解方法

王新宏

(甘肅省張掖市實(shí)驗(yàn)中學(xué)，734000)

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的一項(xiàng)重點(diǎn)內(nèi)容,求遞推數(shù)列的通項(xiàng)是其中的一個難點(diǎn).它類型多,解法靈活,技巧性強(qiáng),是考查學(xué)生邏輯推理與化歸轉(zhuǎn)化能力的良好載體,也是近年來高考常有的內(nèi)容.下面介紹高中階段四種常見遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的求解方法,希望對讀者能有所啟發(fā)與幫助．

一、累加法

它適用于在數(shù)列{an}中,已知首項(xiàng)a1,且滿足an+1=an+f(n),其中數(shù)列{f(n)}是可以求和的.通常f(n)有以下三種常見類型:

(1)f(n)=kn+b(k≠0),那么數(shù)列{f(n)}為等差數(shù)列,其中k為公差,首項(xiàng)為k+b;

(2)f(n)=kan(ak≠0,a≠1),那么數(shù)列{f(n)}為等比數(shù)列,其中a為公比,首項(xiàng)為ka;

結(jié)合已知，得

以上n個等式相加，得

鞏固練習(xí)1

(1) 已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=an+3n,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

(2) 已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=an+2n+1,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

二、累積法

(2)f(n)=kan,(ak≠0,a≠1),即數(shù)列{f(n)}為等比數(shù)列,其中a為公比,首項(xiàng)為ka.

注意:累積法求通項(xiàng)共有的一步是

鞏固練習(xí)2

在數(shù)列{an}中,已知a1=1,an+1=2n·an,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

三、構(gòu)造等差數(shù)列法

這里我們主要介紹最簡單,最為常見的構(gòu)造出新的等差數(shù)列的三種類型,

因?yàn)閍n=-SnSn-1(n≥2),所以

鞏固練習(xí)3

在數(shù)列{an}中,已知a1=2,an+1=2an+2n+1,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

四、構(gòu)造等比數(shù)列法

這種方法主要適用于以下五種常見類型:

(1)在數(shù)列{an}中,已知首項(xiàng)a1,且滿足an+1=pan+q(p,q為常數(shù),且p≠0,且p≠1).此類數(shù)列解決的思路是運(yùn)用化歸與轉(zhuǎn)化的思想,利用待定系數(shù)法或作差法,構(gòu)造新的等比數(shù)列求解.

例5在數(shù)列{an}中,已知a1=1,當(dāng)n≥2時,有an=3an-1+2,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

分析1(待定系數(shù)法)

分析2(作差法)

例6在數(shù)列{an}中,已知a1=1,an+1=3an+2n+1,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

(本文為甘肅省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2013年度《新課改理念下高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)高效策略研究》課題(課題批準(zhǔn)號GS(2013)GHB0771)成果之一．)

○解題思路與方法○