例析求參數(shù)取值范圍的方法

曹　昕　　　　　洪家鳳

(安徽省渦陽縣第二中學(xué),233600)　(安徽省渦陽縣第四中學(xué),233600)

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例析求參數(shù)取值范圍的方法

曹昕洪家鳳

(安徽省渦陽縣第二中學(xué),233600)(安徽省渦陽縣第四中學(xué),233600)

在高中數(shù)學(xué)中,求某個參數(shù)的取值范圍是很常見的一種題型.由于這類問題涉及的知識點多,用到的數(shù)學(xué)思想方法也較多,故常受到高考命題專家的青睞,也能很好的體現(xiàn)《考試大綱》中“在知識交匯處命題,以能力立意”的高考宗旨.這類問題思維要求高,解法靈活,學(xué)生不易掌握,教師教起來也感覺困難.為了便于讀者的教與學(xué),筆者對此類問題加以總結(jié),列出常見類型的求解方法,希望能對讀者有所幫助.

一、分類討論法

分析該題為已知函數(shù)的極小值求參數(shù)值,只要確定f(x)在(0,e)內(nèi)的極小值點即可.

解f(x)的定義域為(0,+∞),

① 當a>1時,令f′(x)>0,得0a，∴f(x)在(0,1)和(a,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,在(1,a)內(nèi)單調(diào)遞減，此時

② 當a=1時,f′(x)恒大于等于0,不可能有極小值.

綜上，a=-1.

評注函數(shù)極值問題與函數(shù)的單調(diào)性息息相關(guān),若函數(shù)f(x)在x=x0的左邊導(dǎo)函數(shù)值負,右邊導(dǎo)函數(shù)值正,則x=x0是函數(shù)f(x)的極小值點;反之,則x=x0是函數(shù)f(x)的極大值點.

二、分離參數(shù)法

例2(2013年全國高考題)已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d).若曲線y=f(x)和y=g(x)都過點P(0,2),且在點P處有相同的切線y=4x+2.

(1)求a,b,c,d的值；

(2)若x≥-2時,f(x)≤kg(x),求k的取值范圍.

分析(2)對x的值分三類討論將k分離出來,分別求出k的范圍再取交集.

解(1)a=4,b=2,c=2,d=2(過程略).

(2)由(1)知f(x)=x2+4x+2,g(x)=2(x+1)ex.

①當x=-1時,易見k∈R.

② 當-2≤x<-1時,

∴y=h(x)在[-2,-1)上遞增，

k≤(h(x))min=h(-2)=e2.

③ 當x>-1時,

∴當x∈(-1,0)時,h′(x)>0;

當x∈(0,+∞)時,h′(x)<0.

故k≥h(x)max=h(0)=1.

綜上，所述k的取值范圍為[1,e2].

評注分離參數(shù)法，就是將參數(shù)與主變元分離于式子的兩邊,再結(jié)合主變元的范圍確定含主變元的式子的范圍.若參數(shù)k≤f(x)恒成立,則k≤f(x)min;

若參數(shù)k≥f(x)恒成立,則k≥f(x)max.這種方法可避開繁瑣的分類討論,使得問題的解決簡單快捷.

三、構(gòu)造函數(shù)法

例3(2014年江蘇高考題)已知函數(shù)f(x)=ex+e-x,其中e是自然對數(shù)的底數(shù).

(1)證明:f(x)是R上的偶函數(shù);

(2)若關(guān)于x的不等式mf(x)≤e-x+m-1在(0,+∞)內(nèi)恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;

分析第(2)問:

途徑1:利用分離參數(shù)解決恒成立問題,分離后構(gòu)造函數(shù),用求導(dǎo)的方法求出最值，這是中學(xué)常見的解題策略;

途徑2:將不等式變形移項后構(gòu)造適當?shù)暮瘮?shù),并對函數(shù)進行分析,從而解決問題.

解法1已知不等式變形為

解法2由已知得me2x-(m-1)ex+m-1≤0在x∈(0,+∞)內(nèi)恒成立.

構(gòu)造函數(shù)

g(x)=me2x-(m-1)ex+m-1,

其中x∈(0,+∞).

令ex=u>1.則

g(u)=mu2-(m-1)u+m-1(u>1).

由g(u)≤0，得

評注分離參數(shù)后構(gòu)造函數(shù)是解決恒成立問題的通法,很多時候會避免討論,給解題帶來簡便.把不等式變形后構(gòu)造函數(shù),也是解決問題的常用方法,要合理地把握,合理地變通,在數(shù)學(xué)教學(xué)中要讓學(xué)生抓住通法進行思考,就能順利解答.

四、數(shù)形結(jié)合法

例4已知函數(shù)f(x)=x3-3ax+2,求當方程x3-3ax+2=0分別有三個不同的實根及有唯一的實根時a的范圍(其中a>0).

分析方程x3-3ax+2=0有三個不同的實根,就是函數(shù)f(x)=x3-3ax+2的圖象與x軸有三個不同交點.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f(x)=x3-3ax+2的圖象,數(shù)形結(jié)合可知:只要函數(shù)f(x)的極大值大于0,極小值小于0時即可使方程x3-3ax+2=0有三個不同的實根；當極大值與極小值同號時有唯一實根.

解函數(shù)的定義域為R,其導(dǎo)函數(shù)為

f′(x)=3x2-3a.

x(-∞,-a)-a(-a,a)a(a,+∞)f'(x)+0-0+f(x)遞增極大值遞減極小值遞增

根據(jù)列表討論,可作函數(shù)的草圖(如圖1)

評注一些抽象的數(shù)學(xué)問題存在著形象的直觀模型,在解題時有意識地去挖掘抽象問題的直觀形象,變抽象為形象,由數(shù)思形,

數(shù)形結(jié)合,往往可以起到意想不到的效果.在解決這類問題時，如果給定的一個函數(shù),其圖象的大致輪廓能清晰地呈現(xiàn)在我們面前，一些數(shù)學(xué)問題也就能順利地得到解決.方程根的個數(shù)或者說函數(shù)零點的個數(shù)問題是數(shù)形結(jié)合思想的一個具體的應(yīng)用.

五、特殊值巧解法

例5(2013年全國高考題)已知函數(shù)

若|f(x)|≥ax,則a的取值范圍是()

(A)(-∞,0] (B)(-∞,1]

(C)[-2,1](D)[-2,0]

分析若按分類討論的方法去解決本題費時費力,一般的學(xué)生是很難完成的.考慮到題目是選擇題,可用特殊值法排除.觀察選項我們不難發(fā)現(xiàn)A,D選項沒有1,不妨令a取1,則顯然有l(wèi)n(x+1)>x不成立,即a不能取1,這樣答案就在A,D中選擇.再觀察A,D選項有何不同呢?A中有-3,D中沒有.令m取-3,顯然有|f(x)|=x2-2x≥-3x,x≤0不成立.這樣很容易選出正確答案D.

六、 一元二次方程根的分布法

例6若x2-ax+a=0在(-3,4)內(nèi)有兩個不等的實數(shù)根,求a的取值范圍.

解令f(x)=x2-ax+a.

由題意，知

評注解決二次函數(shù)根的分布問題，需關(guān)注拋物線的開口方向、對稱軸方程、區(qū)間端點處函數(shù)值、判別式Δ,結(jié)合其圖象分析以上四個方面便可將問題解決.