例談一類不等式的應用問題

張　剛

(安徽省宿州市埇橋區(qū)祁縣中學，234115)

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例談一類不等式的應用問題

張剛

(安徽省宿州市埇橋區(qū)祁縣中學，234115)

基本不等式是高中數(shù)學的重要內容之一,也是每年高考數(shù)學考查的熱點內容之一. 使用基本不等式,要緊扣“一正二定三相等”的原則,這是使用基本不等式解決數(shù)學問題的關鍵.但是有些數(shù)學問題看似屬于常規(guī)基本不等式模型,仔細分析,并不符合常規(guī)基本不等式使用的條件,很多學生遇到這類問題,往往不知所措,亂用公式,從而導致考試時大量失分,實在得不償失.本文結合幾例,談談如何破解這類不等式的應用問題,現(xiàn)拋磚引玉如下,供大家參考.

一、 分離系數(shù),借助單調性

解將函數(shù)解析式變形，得

解由f(x)≥3變形，得

評注x∈N*,說明自變量是連續(xù)的正整數(shù),對應函數(shù)的圖象也就是一些孤立的點,其單調性只能通過點的高低具體判斷.

二、 和為定值,巧妙換元

例3已知實數(shù)x,y,z,滿足x+y+z=1,x2+y2+z2=3,則z的最大值為______.

解x+y=1-z,

x2+y2=3-z2,

則(x+y)2=x2+y2+2xy

≤2x2+2y2

=6-2z2,

得(1-z)2≤6-2z2,

評注本題難點在于靈活運用基本不等式,通過換元,獲得關于z的不等式 (1-z)2≤6-2z2.

三、 化“多”為“單”,利用導數(shù)

例4實數(shù)a,b,c滿足a+b+c=9,ab+bc+ca=24,求abc的取值范圍.

解由已知，得a+b=9-c，

ab=24-(a+b)c=24-c(9-c).

又(a+b)2=a2+b2+2ab≥4ab,

所以 (9-c)2≥96-36c+4c2,

解得1≤c≤5.

又abc=[24-c(9-c)]c

=c3-9c2+24c.

所以本題即求f(c)=c3-9c2+24c在[1,5]上的值域.利用導數(shù)法可知函數(shù)f(c)在區(qū)間(2,4)上單調遞減,在區(qū)間(1,2),(4,5)上單調遞增.又易知f(1)=f(4)=16,f(2)=f(5)=20,所以16≤f(c)≤20,故abc的取值范圍為[16,20].

評注本題求解需要關注兩點:一是準確分析c的取值范圍(利用基本不等式及解不等式法);二是轉化目標式,構造函數(shù),利用導數(shù)法求取值范圍.

四、 抓住整體,降次換元

例5若x>0,則函數(shù)

的最大值為______.

又易知新函數(shù)在[2,+∞)上單調遞減,

五、 利用性質,合理構造

解法1由題意知

所以2t≥20,即t≥10，最小值為10.

解法2由題意，知

所以t2≥100,即t≥10，最小值為10.

評注求t=max{f(x),g(x)}的最小值問題,可利用2t≥f(x)+g(x)的性質求解;當f(x)>0,g(x)>0時,可利用t2≥f(x)g(x)的性質求解.