用三角換元法解一類題

張　進

(江蘇省南京市寧海中學，210024)

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○學習指導○

用三角換元法解一類題

張進

(江蘇省南京市寧海中學，210024)

換元思想是一種重要的數(shù)學思想方法.換元法又稱輔助元素法、變量代換法,它通過引進新的變量把分散的條件聯(lián)系起來，隱含的條件顯露出來或者把條件與結論聯(lián)系起來，將陌生的結構變?yōu)槭煜さ男问?把復雜的計算和推證簡化，換元的實質(zhì)是轉化.

本文主要針對筆者在最近高三復習課中遇到的一類具x2+y2的結構問題,利用三角換元法將問題化歸到我們熟悉的模型中來,轉變一種解決問題的思路,與廣大讀者交流,歡迎給予指導.

評注本題利用了三角換元法,將題中的三個參量減少為一個參量,并將問題轉化為求直線與圓相交斜率的取值范圍問題.通過這種換元,往往可以暴露已知與未知之間被表面形式覆蓋著的實質(zhì),發(fā)現(xiàn)解題途徑.與此類似的有:

例2(2015年浙江高考題)已知實數(shù)x,y滿足x2+y2≤1,則|2x+y-4|+|6-x-3y|的最大值是______.

分析從題目結構上看,可以考慮去絕對值從而轉化為線性規(guī)劃問題,筆者在此嘗試三角換元法,做起來更為簡單.

解設x=rcosθ,y=rsinθ,0

|2x+y-4|+|6-x-3y|=|2rcosθ

+rsinθ-4|+|6-rcosθ-3rsinθ|.

由三角函數(shù)和r的范圍易將絕對值去掉,再由“輔角公式”可將原式化為:10-3rcosθ-4rsinθ=10-5rsin(θ+φ),易知其最大值為15.

評注此題本意考察簡單線性規(guī)劃內(nèi)容,考試中避免不了要畫圖和利用點到直線距離公式的計算,筆者根據(jù)題中x2+y2≤1,考慮圓的參數(shù)方程,即三角換元法將其轉化為三角函數(shù)的最值問題,簡化了運算,在考試中也可節(jié)約時間.

例3設實數(shù)x,y滿足x2+2xy-1=0,則x2+y2的最小值為______.

分析此題為二元二次函數(shù)的最值問題,常規(guī)解法是利用條件轉化為一元函數(shù)最值問題.不過,筆者嘗試對結論中的二元平方關系進行三角換元,亦可解決此題.

解設x2+y2=r2,x=rcosθ,y=rsinθ,r>0,θ∈[0,2π).將x,y代入原式得

r2cos2θ+2r2sinθcosθ-1=0,

從而r2(cos2θ+2sinθcosθ)=1,

變式設實數(shù)x,y滿足x2+2xy-y2=1,則x2+y2的最小值為______.

此題筆者試著構造齊次式或者構造不等式求解,但都需要較強的基本功,對思維要求和運算能力的要求都很高,而用三角換元法則簡化了運算,如下:

解設x2+y2=r2,x=rcosθ,y=rsinθ,r>0,θ∈[0,2π).將x,y代入原式得

r2cos2θ+2r2sinθcosθ-r2sin2θ=1,

分析本題的兩條曲線的公共點,可轉化為方程

即ax2+(2b+1)x-a-2=0.

在區(qū)間[3,4]上至少有一個解的問題.可以利用主次元轉化的方法,視上述方程為關于a,b的直線方程(x2-1)a+2xb+x-2=0,再利用(a,b)到原點的距離大于等于原點到直線的距離求解，這種解法對學生的思維要求很高.

解設a2+b2=r2,a=rcosθ,b=rsinθ,r>0,θ∈[0,2π).

ax2+(2b+1)x-a-2=0,

所以x2rcosθ+2xrsinθ+x-rcosθ-2=0,

(rx2-r)cosθ+2xrsinθ=2-x,

因為|sin(θ+φ)|≤1,

在[3,4]上g′(x)>0,所以g(x)在[3,4]上是增函數(shù)，

評注用三角換元法解決此題思維較為自然,根據(jù)輔角公式以及三角函數(shù)的有界性來求解,將原先的幾何問題轉化為三角函數(shù)問題,此題再一次體現(xiàn)三角換元法的強大實用性.