蔡氏對偶電路的建模及仿真研究

尚廣超，潘 峰

（太原科技大學(xué)電子信息工程學(xué)院，太原030024）

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蔡氏對偶電路的建模及仿真研究

尚廣超，潘 峰

（太原科技大學(xué)電子信息工程學(xué)院，太原030024）

摘 要：蔡氏對偶電路與典型的混沌電路蔡氏電路在結(jié)構(gòu)上完全對偶，且電路元器件較少，是一種自治混沌電路。首先針對蔡氏對偶電路進(jìn)行深入的理論研究，得出蔡氏對偶混沌電路的非線性動態(tài)方程，以此為基礎(chǔ)運用simulink仿真建立蔡氏對偶混沌電路的可視化模型，并選取不同的參數(shù)對電路的各種混沌狀態(tài)進(jìn)行研究。

關(guān)鍵詞：蔡氏對偶電路；混沌現(xiàn)象；simulink仿真

21世紀(jì)所處的是一個“后牛頓時代”，它為人類帶來又一輪新的自然觀，混沌的出現(xiàn)狠狠地推了人們一把，人類自然科學(xué)的腳步已經(jīng)邁入了后牛頓時代。正如自然界里普遍存在著不同類型的混沌運動一樣，日常熟悉的電子線路中也普遍存在著各種各樣的混沌現(xiàn)象［1］。隨著物理學(xué)、數(shù)學(xué)、氣象學(xué)、生態(tài)學(xué)、軍事學(xué)、經(jīng)濟學(xué)等領(lǐng)域的混沌科學(xué)的快速發(fā)展，陸續(xù)出現(xiàn)了許多著名而優(yōu)秀的混沌微分方程，而且這些方程能夠比較容易地通過電子電路而得以實現(xiàn)［2］。最近幾年，隨著混沌有關(guān)的研究越來越多，我們所掌握的混沌動力學(xué)的內(nèi)容也越來越豐富，涉及到混沌的研究領(lǐng)域以及混沌的應(yīng)用也越來越廣泛［3］。非線性電路是混沌理論、混沌同步及混沌控制應(yīng)用研究的重要內(nèi)容之一，蔡氏對偶混沌電路具有結(jié)構(gòu)簡單，電路元器件少等優(yōu)點，是一個典型的非線性電路，同時只需要改動電路中一個元件的參數(shù)，就能產(chǎn)生不同類型的混沌現(xiàn)象，但是有關(guān)此電路的研究一直不是太多。本文先對此電路進(jìn)行深入的理論分析，并建立數(shù)學(xué)模型，然后在數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，利用simulink仿真平臺對其建立可視化模型，并對電路在不同參數(shù)下的幾種混沌狀態(tài)進(jìn)行仿真研究。

1 理論分析

蔡氏對偶電路在電路結(jié)構(gòu)上和蔡氏電路完全對偶，是在蔡氏電路基礎(chǔ)上改進(jìn)而成的，其電路結(jié)構(gòu)如圖1所示，其中Ur是一個流控型的非線性電阻元件，其非線性電阻元件伏安特性（Ur= r（i2））如圖2所示［4］。由圖1可以看出，蔡氏對偶電路由線性電阻、電感、電容和一個非線性電阻原件組成，它滿足混沌電路的產(chǎn)生條件：

1）線性有效電阻不少于1個；

2）儲能元件不少于3個；

3）非線性元件不少于1個。

蔡氏對偶混沌電路是一個三階自治非線性電路，自治蔡氏混沌電路的運動軌道是無窮多周期軌道。

圖1 蔡氏對偶電路Fig.1 Chua′s dual circuit

圖2 非線性電阻伏安特性Fig.2 Nonlinear resistance volt-ampere characteristic

根據(jù)圖1所示的電路可得出蔡氏對偶電路的狀態(tài)方程為：

對式（1）整理可得：

為了方便分析，對方程（2）進(jìn)行變量代換處理。令x = i2，y = i，z =，t =）τ，dτ=dt，則可得：

從方程組（4）可以觀察出，由蔡氏對偶電路得到的三個狀態(tài)方程式與經(jīng)典蔡氏電路的動態(tài)方程具有高度的一致性［5］。

2 Simulink仿真模型的建立及仿真研究

Simulink是matlab軟件中的一部分，由于其操作方便功能強大的特點，從而在線性系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)、數(shù)字信號處理及數(shù)字控制的建模和仿真領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用［6］。Simulink中有蔡氏對偶混沌電路建模所需的各個仿真模塊，以此為基礎(chǔ)可以很方便的對電路進(jìn)行仿真模型的搭建，同時能夠在模型的基礎(chǔ)上修改其中的一些參數(shù)，進(jìn)一步觀察電路在這些參數(shù)下產(chǎn)生的各種仿真結(jié)果。

2.1 建立可視化仿真模型

圖3 方程組（4）的三個分方程及g（x）的仿真圖Fig.3 The simulation diagram of equation（4）′s three small equation and g（x）

從方程組（4）可以看出，在對蔡氏對偶混沌電路進(jìn)行建模過程中，要用到常數(shù)模塊、增益模塊、積分器、加法器等單元，這些模塊可以從Simulink標(biāo)準(zhǔn)模塊庫中很方便地直接提取到。除上述幾種模塊外，根據(jù)蔡氏對偶混沌電路的電路結(jié)構(gòu)，還選用了示波器和顯示x和y信號相圖的平面圖形顯示器模塊。然后，將方程組（4）中各個方程按照運算功能進(jìn)行一定方法的分解，結(jié)合simulink模塊庫中的加、乘、積分模塊，按照方程組（4）中的運算關(guān)系構(gòu)建出3個方程及g（x）的仿真圖，接著將x方程、y方程、z方程以及g（x）封裝成為四個子系統(tǒng)，如圖3所示。最后，把封裝好的子系統(tǒng)按方程組（4）中的關(guān)系連接起來，得到用基本模塊元素建立的數(shù)字仿真模型，如圖4所示。

圖4 蔡氏對偶混沌電路的simulink模型Fig.4 The simulink model of Chua′s dual chaotic circuit

2.2 電路在不同參數(shù)下的仿真研究

利用四階“龍格庫塔”算法對電路的參數(shù)進(jìn)行計算，“龍格庫塔”算法是一種“高精度單步算法”，其一般公式為：

該算法算后所得結(jié)果具有四階精度，可以滿足仿真需要，而且編程比較簡便，仿真結(jié)果可以利用Scope模塊和XY Graph模塊在仿真進(jìn)行的過程中觀看［7］。

根據(jù)運算所得結(jié)果，對蔡氏對偶電路的參數(shù)進(jìn)行設(shè)置，然后根據(jù)混沌運動的特點進(jìn)行調(diào)整，并觀察記錄各種混沌狀態(tài)仿真所得結(jié)果：

1）當(dāng)a =9.000 5，b = -14.283 1，a1 = -1.248 05，b1 = -0.756 35，系統(tǒng)進(jìn)入雙渦卷混沌狀態(tài)，其相圖和時序圖如圖5所示。

2）當(dāng)a =8.149 1，b = -14.283 1，a1 = -1.248 05，b1 = -0.756 35，系統(tǒng)進(jìn)入單渦卷混沌狀態(tài)，其相圖和時序圖如圖6所示。

3）當(dāng)a =7.386 3，b = -14.283 1，a1 = -1.248 05，b1 = -0.756 35，系統(tǒng)進(jìn)入多倍周期狀態(tài)，其相圖和時序圖如圖7所示。

圖5 雙渦卷混沌狀態(tài)的時序圖和相圖Fig.5 The sequence diagram and phase diagram of double turbination chaotic status

圖6 單渦卷混沌狀態(tài)的時序圖和相圖Fig.6 The sequence diagram and phase diagram of single turbination chaotic status

圖7 多倍周期狀態(tài)的時序圖和相圖Fig.7 The sequence diagram and phase diagram of multiple period status

4）當(dāng)a =7.105 5，b = -14.283 1，a1 = -1.248 05，b1 = -0.756 35，系統(tǒng)進(jìn)入單倍周期狀態(tài)，其相圖和時序圖如圖8所示。

圖8 單倍周期狀態(tài)的時序圖和相圖Fig.8 The sequence diagram and phase diagram of single period status

5）當(dāng)a =5.935 4，b = -14.283 1，a1 = -1.248 05，b1 = -0.756 35，系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)，其相圖和時序圖如圖9所示。

圖9 穩(wěn)定狀態(tài)的時序圖和相圖Fig.9 The sequence diagram and phase diagram of a steady status

通過上述可知，利用Simulink仿真對蔡氏對偶混沌電路建模仿真后，可以通過調(diào)節(jié)參數(shù)，直觀地觀察到系統(tǒng)處于各種狀態(tài)下的相圖和時序圖，進(jìn)一步認(rèn)識到電路在不同參數(shù)下的各種非線性現(xiàn)象，認(rèn)識到混沌對初始參數(shù)的敏感性與依賴性以及混沌長期行為的不可預(yù)見性。同時蔡氏對偶混沌電路作為一種典型的三元自治混沌電路，本次仿真研究再次證明了三元自治混沌電路所描述的一些混沌特性，進(jìn)一步正確的揭示了大自然中的一些工程物理現(xiàn)象的非線性機理，同時復(fù)現(xiàn)了蔡氏混沌電路的非線性動態(tài)方程，也是對自然界的這些工程物理現(xiàn)象的非線性機理的一種復(fù)現(xiàn)。

3 結(jié)論與分析

本文通過對蔡氏對偶混沌電路的理論研究，認(rèn)識到蔡氏對偶混沌電路是一個結(jié)構(gòu)非常簡單而又可靠的混沌電路，其與蔡氏電路具有一樣的非線性動態(tài)方程，同時其電路結(jié)構(gòu)與蔡氏混沌電路是完全對偶的；通過對混沌電路simulink建模仿真的研究可以觀察到，改變電路參數(shù)和初始值，蔡氏對偶電路在仿真過程中呈現(xiàn)出了多種多樣的混沌動力學(xué)行為，在混沌振蕩過程中出現(xiàn)了與蔡氏電路同樣的單渦旋混沌及雙渦旋混沌現(xiàn)象等。

本文研究的混沌電路是由蔡氏電路延伸出的另一種典型混沌電路，蔡氏混沌電路已經(jīng)得到了廣泛而深入的研究，取得了許多重要成果，已進(jìn)入實用階段，而有關(guān)蔡氏對偶混沌電路的研究不多，加緊對這個具有典型電路結(jié)構(gòu)的新型混沌電路的研究，一定能促進(jìn)混沌相關(guān)理論的研究與發(fā)展，因此可以把蔡氏對偶混沌電路當(dāng)做混沌電路家族里除了蔡氏電路之外的另一個典型三元自治混沌電路進(jìn)行研究。

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Modeling of Chua′s Dual Circuit and Simulation

SHANG Guang-chao，PAN Feng
（Taiyuan University of Science and Technology，Taiyuan 030024，China）

Abstract：Chua′s dual circuit and typical Chua's chaotic circuit are completely dual in structure.Furthermore，the former's circuit components are less，which is a kind of autonomous chaotic circuit.This paper has done a deeply study on Chua′s dual circuit from which the non-linear dynamic equations of Chua′s chaotic circuit was got.Based on the result，a visualization model of Chua's dual chaotic circuit was established，and different parameters were chosen to study the different chaotic states of circuit.

Key words：Chua′s dual circuit，chaotic phenomenon，simulink simulation

中圖分類號：TM132

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

doi：10.3969/ j.issn.1673 -2057.2016.03.004

收稿日期：2015-09-10

作者簡介：尚廣超（1991 -），男，碩士研究生，主要研究方向為電力電子與電力傳動。

文章編號：1673 -2057（2016）03 -0181 -05