利用對稱性計算積分域無方向性的積分

王慶東

（商丘師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河南 商丘 476000）

利用對稱性計算積分域無方向性的積分

王慶東

（商丘師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河南 商丘 476000）

利用積分域的對稱性簡化積分計算是優(yōu)先考慮的計算策略之一.如果積分域由對稱的兩部分組成且無方向性，若被積函數(shù)在對稱點處的函數(shù)值相等，則積分簡化成半個積分域上積分的 2倍.若被積函數(shù)在對稱點處的函數(shù)值相反，則積分為 0.如果積分域具有輪換對稱性，當(dāng)對被積函數(shù)也做相應(yīng)的坐標(biāo)輪換時，積分值不變.

積分域；對稱性；方向性；對稱點;輪換對稱性

0 引 言

定積分、重積分、第一型曲線積分和第一型曲面積分，都是積分域不分方向、不分側(cè)的沒有方向性的積分，對于這一大類積分，依據(jù)積分范圍的對稱性予以簡化，是計算所需要的.如果積分域由對稱的兩部分組成、且無方向性，或積分域具有輪換對稱性，文獻［1］—［8］已經(jīng)進行了討論，所得結(jié)果簡化了相關(guān)問題，但是結(jié)果繁瑣難記，不利于學(xué)生的學(xué)習(xí).對此，筆者通過討論，使結(jié)論呈現(xiàn)成簡明的形式.

1 積分域?qū)ΨQ

定理 1 設(shè)函數(shù)f可積,積分域D由D1和 D2組成，D1和 D2關(guān)于某種方式對稱，

（1）若對稱點處的函數(shù)值相等，則 f在 D1和D2的積分相等，且f在D上的積分等于半個積分域上積分的 2倍；

（2）若對稱點處的函數(shù)值相反，則 f在 D1和D2的積分值相反，且 f在 D上的積分等于 0.

證明 用任一分割 T把 D1分成若干小積分域 Di，Di的度量為 ΔDi，λ為細(xì)度， 則必有對 D2的分割 T'，把 D2分成 Di'，Di'的度量為 ΔDi'，且使 Di與 Di'對稱.任取對稱的介點 pi∈Di和 pi'∈ Di'，則

2 積分域輪換對稱

定義 若點 p（x1，x2，…，xi-1，xi，xi+1，…，xn）∈D，就有 p'=（xi，xi+1，…，xn，x1，x2，…，xi-1）∈D，則稱D具有輪換對稱性.

坐標(biāo)的輪換對稱性的本質(zhì)是將坐標(biāo)軸重新命名，積分范圍沒有改變.因此，將被積函數(shù)進行相應(yīng)的改變，不改變積分值的大小.結(jié)論如下：

若積分域D具有輪換對稱性，則

例 2 （2012年數(shù)學(xué)一，填空題 4分）

故結(jié)論成立.

例 4 （南開大學(xué) 2011考研題）曲面 S：x2+ y2=（1-z）2，0≤z≤1.（錐面下半部分）求

解 由輪換對稱性，

因交線為大圓，故與 xoy面上的大圓周長相同，故

例7 （2001年北京市第十三屆大學(xué)數(shù)學(xué)競賽題）設(shè)函數(shù) f（x）在［0，1］上為正的連續(xù)函數(shù)，則

3 結(jié)語

定積分、重積分、第一型曲線積分和第一型曲面積分，對于這一大類積分域不分方向、不分側(cè)的沒有方向性的積分，利用積分范圍的對稱性簡化的方法是：如果積分域由對稱的兩部分組成，考察對稱點處被積函數(shù)的函數(shù)值是否相等或者相反.相等時積分簡化成一半積分域上積分的 2倍；相反時積分為 0；如果積分域具有輪換對稱性，將被積函數(shù)中的變量也做相應(yīng)的輪換，不改變積分值.

［1］曹斌，孫艷.對稱性在積分計算中的應(yīng)用［J］.吉林師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2012,(3)：125-127.

［2］馬德炎.對稱性在重積分及曲面積分中的應(yīng)用［J］.高等數(shù)學(xué)研究,2011,14(4)：93-94.

［3］李治飛.多元函數(shù)積分的簡化計算［J］.高等數(shù)學(xué)研究,2011,14(2)：34-36.

［4］常浩.對稱性在積分學(xué)中的應(yīng)用［J］.高等數(shù)學(xué)研究,2011,14(2)：59-63.

［5］吳克堅，李文潮，王連昌.積分計算中的對稱性定理及應(yīng)用［J］.高等數(shù)學(xué)研究,2008,11(2)：24-26,35.

［6］秦勇.再談輪換對稱性［J］.高等數(shù)學(xué)研究,2007,10 (2)：20-22.

［7］王建剛.輪換對稱性在解題中的應(yīng)用［J］.高等數(shù)學(xué)研究,2005,8(2)：12-13.

［8］嚴(yán)永仙.多元函數(shù)積分中的對稱性［J］.浙江師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2001,24(4)：341-343.

［責(zé)任編輯：劉 昱］

Utilizing Symmetry to Calculate Integral when the Integral Domain has no Directionality

WANG Qingdong
(College of Mathematics and Information Science,Shangqiu Normal University,Henan Shangqiu 476000)

Using the symmetry of integral domain to simplify integral calculation is one of the priority calculation strategies.If the integral domain is composed of two symmetrical parts and the integral domain has no directionality,then the integral twice times reduced to half an integral domain if the value of integrand on the symmetrical points are equal.If the value of integrand on the symmetrical points are opposite,then the integral is zero.If the integral domain has translatable symmetry,then the integral value unchanged when the integrand also be done the corresponding coordinate translation.

integral domain;symmetry;directionality;symmetrical points;translatable symmetry

O 172.2

A

1672-402X（2016）08-0004-04

2016-03-30

國家級特色專業(yè)建設(shè)點項目（項目編號：TS11575）.

王慶東（1963-），男，河南太康人，商丘師范學(xué)院教授.研究方向：函數(shù)論.